«БиномНьютон а» Работу ученик 11 класса «А» Зыбко Иван

Муниципальное общеобразовательное учреждение Школа-интернат лицей-интернат Реферат «Б и н о м Н ь ю т о н а» Работу выполнил: ученик 11 класса «А» Зыбко Иван Руководитель Еремина Людмила Александровна Калининград 2008 год С о д е р ж а н и е. Стр. Понятие бинома Ньютона. 3-4 Свойства бинома и биномиальных коэффициентов. 5-6 Типовые задачи по теме «Бином Ньютона». 7 Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона (нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона») 8-10 Понятие бинома Ньютона. Биномом Ньютона называют разложение вида: Но, строго говоря, всю формулу нельзя назвать биномом, так как «бином» переводится как «двучлен». Кроме того, формула разложения была известна еще до Ньютона, Исаак Ньютон распространил это разложение на случай n<0 и n – дробного. Цель изучения бинома Ньютона – упрощение вычислительных действий. Компоненты формулы «бином Ньютона»: правая часть формулы – разложение бинома; – биномиальные коэффициенты, их можно получить с помощью треугольника Паскаля (пользуясь операцией сложения). Практическая значимость треугольника Паскаля заключается в том, что с его помощью можно запросто восстанавливать по памяти не только известные формулы квадратов суммы и разности, но и формулы куба суммы (разности), четвертой степени и выше. Например, четвертая строчка треугольника как раз наглядно демонстрирует биномиальные коэффициенты для бинома четвертой степени: Альтернатива треугольнику Паскаля: перемножить почленно четыре скобки: ; вспомнить разложение бинома Ньютона четвертой степени: общий член разложения бинома n-й степени: , где Т – член разложения; – порядковый номер члена разложения. Свойства бинома и биномиальных коэффициентов. Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома, то есть равно Сумма показателей степеней a и b каждого члена разложения равна показателю степени бинома, то есть n Доказательство Рассмотрим -й член разложения: Сумма показателей степеней a и b: Ч.т.д. Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой: (правило симметрии) Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна Доказательство Пусть , тогда: левая часть равна ; правая часть равна Тогда: Ч.т.д. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах и равна Правило Паскаля: Любой биномиальный коэффициент, начиная со второго, равен произведению предшествующего биномиального коэффициента и дроби Типовые задачи по теме «Бином Ньютона». К типовым (стандартным) заданиям по данной теме можно отнести задачи на вычисление, среди которых: Найти член (номер члена) разложения бинома Вывести бином по известным членам разложения (по известной сумме) Вычислить сумму биномиальных коэффициентов разложения бинома и другие. Продемонстрируем на примере. Пример 1 В биномиальном разложении найти член разложения, не содержащий х Решение Так как в разложении мы ищем член не содержащий х, то Тогда Ответ: Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона (нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»). К нестандартным заданиям по данной теме можно отнести такие, в которых нет явного намека на необходимость использования бинома. Однако в итоге, решение сводится к нему и выглядит очень интересным. Пример 1 Доказать, что для любых и для любых верно неравенство Бернулли: Доказательство Пусть Так как , то Переформулируем требование: Доказать, что , где Так как , значит в разложении как минимум три члена разложения, тогда: Это означает, что Ч.т.д. Пример 2 Доказать, что при любом натуральном n число делится на 9 Доказательство 1 способ: Ч.т.д. 2 способ: Начнем рассматривать бином в общем виде: Тогда Ч.т.д. Пример 3 Решить уравнение Решение Осуществим замену: Тогда уравнение перепишем: Применим формулу бинома к левой части уравнения: В итоге Ответ: .

Похожие:

	Социальный проект «День самоуправления» Авторский коллектив: Лобов Иван, ученик 9кб класса Каракчеев Дмитрий, ученик 9кб класса Вдовина Алина, ученица 9кб класса Пьянков...		Литература Работу ученик 10 класса План – конспект открытого урока презентации для 4 класса по развитию речи учащихся
	Выполнил Митянин Иван ученик 9 класса Руководитель Сухова Татьяна... Измерение инфляции: индекс потребительских цен (ипц). Формула Пример задачи		Научно-исследовательская работа по теме «Тригонометрия и тригонометрические... Я решил писать данную работу, чтобы узнать побольше об истории появления тригонометрии, способах решения тригонометрических уравнений...
	Положение о конкурсе «Ученик класса» в 5 классе мбоу «Еласовская сош» в 2012-2013 учебном году Конкурс «Ученик класса» направлен на поддержку талантливых детей, повышение уровня учебной мотивации учащихся		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Типы дидактических отношений на уроке: «ученик – ученик», «учитель-ученик», «ученик – учебный материал»
	Контактная информация Олимпийских игр в нашей школе прошли олимпийские уроки, которые подготовили и провели учащиеся нашей школы: Николаев Егор, ученик...		«Возобновляемые источники энергии энергия будущего» Работу выполнил... ...
	Иван грозный тиран или святой «Опричнина Ивана Грозного». Реферат основан на мнениях Скрынникова в его исследовании «Иван Грозный» и работы А. Л юрганова «Страшный...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Формирование нравственных отношений в процессе совместной деятельности учитель – ученик, ученик – ученик
	Работу выполнил Полянский Сергей Ученик «8» класса Вяртсильская средняя школа Лувр это не только архитектурный памятник, как дворец французских королей, но и один из самых известных музеев мира. В нем собрана...		Плесень… Работу Ученик 7 «Б» класса Филиппов Савелий Сергеевич моу... Вагапова Гульназ Азатовна, Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа с. Кугарчи Кугарчинский...
	Кто же он, Иван Мазепа? Выяснить, кем же был в действительности Иван Мазепа- предатель Родины или национальный герой		Реферат Иван Грозный как защитник православия Иван IV васильевич Грозный (25. 08. 1530-18. 03. 1584), Великий Князь с 1533, Русский Царь (1547) 5
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Интегрирующе-дифференцирующая форма обучения позволяет реализовать взаимодействие (ученик-ученик, ученик-учитель), взаимообмен информацией...		Об итогах работы за 1-е полугодие 2013-2014 уч года отдела образования,... Из них с 1 по 4 кл. 660 учеников, с 5 по 9 класс – 906, в 10 11 классах 151 ученик. В 9 классе 193, в 11 классе – 83. В 1-ом полугодии...