 «Юность, творчество, поиск»
МБОУ «Тирянская СОШ»
Научно-исследовательская работа по теме
«Тригонометрия и тригонометрические уравнения»
Работу выполнил
ученик 10 класса
Субботин Антон.
Руководитель
учитель математики
Кезикова Л.Н.
Нетризово
2012
План.
Введение. Стр. 3.
История возникновения тригонометрии. Стр. 4.
Тригонометрические уравнения. Стр. 7.
3.1. Простейшие тригонометрические уравнения. Стр. 7.
3.2. Схема решения тригонометрических уравнений. Стр. 9.
3.3. Введение вспомогательного аргумента. Стр. 11.
3.4. Универсальная тригонометрическая подстановка. Стр. 12.
3.5. Решение тригонометрических уравнений с помощью
формул. Стр. 14.
3.6. Решение тригонометрических уравнений с помощью
разложения на множители . Стр. 15.
3.7.Решение однородных тригонометрических уравнений. Стр. 16.
3.8. Решение нестандартных тригонометрических
уравнений. Стр. 17.
Практические применения тригонометрии. Стр. 19.
4.1.Применение тригонометрии в искусстве и архитектуре.Стр. 19.
4.2. Тригонометрия в биологии. Стр. 21.
4.3.Тригонометрия в медицине. Стр. 22.
Заключение. Стр. 23.
Список литературы. Стр. 24.
Введение
В школьной программе по математике есть очень важный раздел «тригонометрия». «Тригонометрические уравнения» - одна из самых сложных тем в школьном курсе математики. Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Тригонометрические уравнения и неравенства из года в год встречаются среди заданий централизованного тестирования. Я решил писать данную работу, чтобы узнать побольше об истории появления тригонометрии, способах решения тригонометрических уравнений и рассмотреть применение тригономентрии в современной жизни.
Объект исследования: тригонометрия и тригонометрические уравнения.
Предмет исследования: практическое применение тригонометрии .
Цель исследования: установить картину возникновения понятий тригонометрии и выявить примеры применения.
История возникновения тригонометрии
Слово «тригонометрия» впервые встречается в 1505 г. в заглавии книги немецкого теолога и математика Бартоломеуса Питискуса (Bartholomäus Pitiscus, 1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре.
Происхождение этого слова греческое: τρίγωνον — треугольник, μετρεω — мера. Иными словами, тригонометрия — наука об измерениях треугольников. Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом. Хотя название возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны уже 2000 лет назад
Длительную историю имеет понятие синуса. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в 3 в. до н.э. в работах великих математиков Древней Греции — Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. В римский период эти отношения уже достаточно систематично исследовались Менелаем (I в. н. э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус угла α, например, изучается как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной α, или как хорда удвоенной дуги.
В последующий период математика долгое время наиболее активно развивалась индийскими и арабскими учёными. В 4-5 веках появился, в частности, уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты (476-ок. 550), именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок он назвал ардхаджива (ардха—половина, джива—тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее привилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IXв. слово джива (или джиба) было заменено на арабское словоджайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в XIIв. это слово было заменено латинскимсинус (sinus—изгиб, кривизна).
Слово косинус намного моложе. Косинус — это сокращение латинского выражения complementlysinus, т.е. «дополнительный синус» (или иначе «синус дополнительной дуги»; вспомните cosα= sin( 90° - a)).
Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.
Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.
Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.
Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).
Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) , Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.
Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с поставленными задачами.
Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.
Тригонометрические уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида  , где  - одна из тригонометрических функций:  ,  , tgx. Элементарные тригонометрические уравнения имеют бесконечно много корней. Например, уравнению  удовлетворяют следующие значения:  ,  ,  ,  и т. д. Общая формула по которой находятся все корни уравнения  , где  , такова:
Здесь  может принимать любые целые значения, каждому из них соответствует определенный корень уравнения; в этой формуле (равно как и в других формулах, по которым решаются элементарные тригонометрические уравнения) называют параметром. Записывают обычно  , подчеркивая тем самым, что параметр принимать любые целые значения.
Решения уравнения  , где , находятся по формуле
Особо отметим некоторые частные случаи простейших тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул:
Схема решения тригонометрических уравнений
Основная схема, которой мы будем руководствоваться при решении тригонометрических уравнений следующая:
решение заданного уравнения сводится к решению элементарных уравнений. Средства решения: преобразования, разложения на множители, замена неизвестных. Ведущий принцип: не терять корней. Это означает, что при переходе к следующему уравнению (уравнениям) мы не опасаемся появления лишних (посторонних) корней, а заботимся лишь о том, чтобы каждое последующее уравнение нашей "цепочки" (или совокупность уравнений в случае ветвления) являлось следствием предыдущего. Одним из возможных методов отбора корней является проверка. Сразу заметим, что в случае тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, с проверкой, как правило, резко возрастают по сравнению с алгебраическими уравнениями. Ведь проверять приходится серии, состоящие из бесконечного числа членов.
Особо следует сказать о замене неизвестных при решении тригонометрических уравнений. В большинстве случаев после нужной замены получается алгебраическое уравнение. Более того, не так уж и редки уравнения, которые, хотя и являются тригонометрическими по внешнему виду, по существу таковыми не являются, поскольку уже после первого шага - замены переменных - превращаются в алгебраические, а возращение к тригонометрии происходит лишь на этапе решения элементарных тригонометрических уравнений.
Еще раз напомним: замену неизвестного следует делать при первой возможности, получившееся после замены уравнение необходимо решить до конца, включая этап отбора корней, а уж затем возвратится к первоначальному неизвестному.
Одна из особенностей тригонометрических уравнений заключается в том, что ответ во многих случаях может быть записан различными способами. Даже для решения уравнения  ответ может быть записан следующим образом:
1) в виде двух серий:  ,  ,  ;
2) в стандартной форме представляющей собой объединение указанных выше серий:  , ;
3) поскольку  , то ответ можно записать в виде  , . (В дальнейшем наличие параметра  , ,  или  в записи ответа автоматически означает, что этот параметр принимает всевозможные целочисленные значения. (Исключения будут оговариваться.)
Очевидно, что тремя перечисленными случаями не исчерпываются все возможности для записи ответа рассматриваемого уравнения (их бесконечно много).
Обычно ответ записывается на основании пункта 2. Полезно запомнить следующую рекомендацию: если на решении уравнения работа не заканчивается, необходимо еще провести исследование, отбор корней, то наиболее удобна форма записи, указанная в пункте 1. (Аналогичную рекомендацию следует дать и для уравнения .)
Введение вспомогательного аргумента
Стандартным путем преобразования выражений вида  является следующий прием: пусть  - угол, задаваемый равенствами  ,  . Для любых  и  такой угол существует. Таким образом  . Если  ,  или ,  ,  , в других случаях  .
Пример. Решим уравнение 12cosx - 5sinx = -13
Решение: разделим обе части уравнения на  , получим
 cosx -  sinx = -1.
Одним из решений системы cos = 12/13, sin = 5/13 является = =arccos(12/13). Учитывая это, запишем уравнение в виде:
и, применив формулу для косинуса суммы аргументов, получим
Откуда  т.е.
Эта формула и дает все решения исходного уравнения.
Универсальная тригонометрическая подстановка
Многие тригонометрические уравнения можно решить с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки
Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку  не определен в точках  , поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы , корнями исходного уравнения.
Пример. Решим уравнение 
Решение:
Обращение к функции  предполагает, что  , то есть  , .
По формулам универсальной тригонометрической подстановки исходное уравнение примет вид:
 ;
 ;
 |:2
 ;
Ответ:  ,;  , .
Решение тригонометрических уравнений с помощью формул
Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений.
Пример.
1) Уравнения, сводящиеся к квадратным.
Это уравнение является квадратным относительно cosx. Введем замену переменных cosx=y, тогда получим уравнение:  . Его корни  ,  . Таким образом решение сводится к решению двух уравнений:
cosx=1 имеет корни  ,
cosx=-2 не имеет корней.
2) Уравнения, допускающие понижение степени.
Понижение степени происходит с использованием формул:
cos2α =2cos2α - 1
|
cos2α =1-2sin2α
|
 .
Выразим  через cos2x.
 , 
Решение тригонометрических уравнений с помощью разложения на множители
Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.
Пример.
1) sin2x+cosx=0
2sinxcosx+cosx=0
cosx (2sinx+1) =0
cosx=0
 ,
или sinx=1/2
|
2) cos3x+sin5x=0
 =0
 ,
  .
|
Решение однородных тригонометрических уравнений
Решим уравнение  .
Решение. Это уравнение однородное второй степени. Разделим обе чести уравнения на  , получим: tg .
Пусть tg , тогда
 ,
 ,  .
 ,  , ;  ,  , .
Ответ.  .
Решение нестандартных тригонометрических уравнений
Пример 1. Решим уравнение 
Решение. Преобразуем выражение  :
 .
Уравнение запишется в виде:
Принимая  , получаем  .  ,  . Следовательно
Ответ.  .
Пример 2. Решим уравнение: 
Решение. Уравнение равносильно смешанной системе:
Но  - не годится.
Ответ.  .
Раскрывая знак модуля получаем более громоздное решение. А ответ в этом случае принимает вид:
Ответ.  .
Практические применения тригонометрии
Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.
Применение тригонометрии в искусстве и архитектуре
С того времени как человек стал существовать на земле, основой улучшения быта и других сфер жизни стала наука. Основы всего, что создано человеком – это различные направления в естественных и математических науках. Одна из них – геометрия. Архитектура не единственная сфера науки, в которой используются тригонометрические формулы. Большинство композиционных решений и построений рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Хочу привести пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства.
Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой. Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы (тоже самое мы можем сделать и с нижней точкой зрения), тем самым найдем точку зрения (рис.1)
На рис.2 ситуация меняется, так как статую поднимают на высоту АС и НС увеличиваются, можно рассчитать значения косинуса угла С, по таблице найдем угол падения взгляда. В процессе можно рассчитать АН, а также синус угла С, что позволит проверить результаты с помощью основного тригонометрического тождества cos 2 + sin 2 = 1.
Сравнив измерения АН в первом и во втором случаи можно найти коэффициент пропорциональности. Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой зрительно фигура будет приближена к идеалу
РИС. 1
А
С
Н
А
А
РИС. 2
Н
С
Тригонометрия в биологии.
Биоритмы.
Экологические ритмы : суточные, сезонные (годовые), приливные и лунные циклы
Физиологические ритмы: ритмы давления, биения сердца, артериальное давление, три биоритма, лежащие в основе «теории трех биоритмов»
Теория трех ритмов.
Физический цикл -23 дня. Определяет энергию, силу, выносливость, координацию движения
Эмоциональный цикл - 28 дней. Состояние нервной системы и настроение
Интеллектуальный цикл - 33 дня. Определяет творческую способность личности
Тригонометрия в медицине.
Бета-ритм - 14-30 Гц, активная умственная деятельность
Альфа-ритм – 8-13 Гц, монотонная, рутинная деятельность
Тета-ритм – 4-8 Гц, состояние близкое ко сну, полудрема
Дельта-ритм - 1-4 Гц, глубокий сон
Многим людям приходится делать кардиограмму сердца, но немногие знают, что кардиограмма человеческого сердца – график синуса или косинуса.
Заключение
В результате выполнения данной исследовательской работы:
Я подробнее узнал об истории возникновения тригонометрии.
Систематизировал методы решения тригонометрических уравнений.
Узнал о применениях тригонометрии в архитектуре, биологии, медицине.
Список литературы.
1. А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. "Алгебра и начала анализа" Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, М., Просвещение, 2010.
2. Глейзер Г.И. История математики в школе: VII-VIII кл. - М.: Просвещение, 1982.
3. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. — М.: Просвещение, 1983.
4. Рыбников К.А. История математики: Учебник. — М.: Изд-во МГУ, 1994.
5. http://www. yandex.ru. |
;
;
,
,
