Тригонометрические функции
Скачать 135.62 Kb.
|
Тригонометрические функцииТригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников ( - треугольник, а - измеряю). В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников. Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом. Впервые способы решения треугольников, основанные на изависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н .э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Пожднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями. Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вефа Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину. Теорему тангенсов доказал Региомонтан (латинизированное имя немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436-1476)). Региомонтан составил также плдробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе. Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным. Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Постепенно тригонометрия органически вошла в математический анализ, механику, физику и технические дисциплины. Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались и приобрели важное значение для всей математики. Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII в. Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях. Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе – наука об измерении углов, от греч. - угол, - измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется. Изучение свойств тригонометрических функций и зависимостей между ними отнесено к школьному курсу алгебры, а решение треугольников – к курсу геометрии. Тригонометрические функции острого углаВ     прямоугольном треугольнике, имеющем данный угол , отношения сторон не зависят от размеров треугольника. Рассмотрим два прямоугольных треугольника АВС и А1В1С1 (рис.1), имеющих равные углы А=А1 =. Из подобия этих треугольников имеем:   Если величину угла измерить, то написанные равенства остаются справедливыми, а измениться л    ишь числовое значение отношений и т.д. Поэтому отношения м В1ожно рассматривать как функции угла .В  а1c1cС  а9090С1АА1b1bРис.1. Синусом острого угла называется отношение противоположного этому углукатета к гипотенузе. Обозначают это так:  sin= Значения тригонометрических функций (отношений отрезков) являются отвлеченными числами. Приближенные значения тригонометрических функций острого угла можно найти непосредственно согласно их определениям. Построив прямоугольный треугольник с острым углом a и измерив его стороны, согласно определениям мы можемвычислить значение, например, sina. Пользуясь тем, что значения тригонометрических функций не зависят от размеров треугольника, для вычисления значений sin углов a=30; 45; 60 рассмотрим прямоугольный треугольник с углом a=30°; и катетом ВС=a=1, тогда гипотенуза этого треугольника с=2, а второй катет b=3; рассмотрим также треугольник с углом a=45 и катетом a=1, тогда для этого треугольника c=2 и b=1. Полученные результаты запишем в таблицу.
Р   ис.2. Приближенные значения тригонометрических функций для углов от 0 до 90 можно получить построив четверть круга, радиус которогопримем за 1, и его дугу разделимна 45 равных частей. Тогда градусная мера каждой части будет равна 2. 90 NB 52  0,79 а А b С 0,62 0 M Рис.3. Радиусы АМ и АN разделим на 100 равных частей. Построим прямоугольный треугольник с вершиной в центре круга и катетом совпадающим с радиусом АМ и гипотенузой АВ=1. Если угол ВАС=, то по определению тригонометрических функций мы имеем: sin=а Для угла 52 на шкале радиуса АN находим, что а=0,79, а на шкале радиуса АМ находим, что b=0,62., то есть sin52=0,79. Построив прямоугольные треугольники для углов =2, 4, 6, 8,…, 88, согласно рис.3., найдем значения (при аккуратных измерениях и вычислениях) с точностью до 0,01. Для углов 0 и 90 прямоугольных треугольников не существует. Однако, если гипотенуза АВ будет стремиться по положению к радиусу АМ, то угол 0, а катеты а0 и b1. В таком случае для полноты значений тригонометрических функций принимают, что sin0=а=0; cos0=b=1. Ч     то касается значений tg и ctg, то при 0 отношение ®0, т.е. , а отношение при a®0 неограниченно возрастает. Этот результат записывают как ®, где символ указывает, что величина неограниченно возрастает и не может быть выражена никаким числом, так как знак ¥ не является каким-либо числом. Таким образом, принимают, что tg0=0, а ctg0 не существует, что чаще записывают как ctg0=¥.Рассуждая аналогично при a®90 приходим к целесообразности принять что sin90=1; cos90=0, tg90 не существует (tg90°®¥) и ctg90°=0. Приведем таблицу значений синусов для углов от 0° до 90° с шагом 2°, которую можно получить указанным выше способом.
Пользуясь значениями тригонометрической функции y=sinx из таблицы, построим график. y  y=sinx 1 0 30 60 90 x Рис.4. Основные соотношения между тригонометрическими функциями острого углаДля прямоугольного треугольника в соответствии с теоремой Пифагора a2+b2=c2 и  ли По определению тогда  (1) Легко также найти следующие зависимости  (2)  (3) (4)  (5) И  з соотношений (1)-(5), которые называют основными, можно вывести и другие вспомогательные соотношения, например: (6) (7)(8) Соотношения (1)-(8) связывают все тригонометрические ф  ункции так, что по значению одной из них для данного острого угла можно найти значения всех остальных функций для этого же угла. Тригонометрические функции произвольного угла П   усть в прямоугольной системе координат x0y задан радиус-вектор образующий с положительным направлением оси 0x угол . Будем считать, что ось 0x – начальная сторона, а вектор - конечная сторона угла . Проекция вектора на координатные оси соответственно обозначим ax и ay.М  ожно показать, что отношения где а – длина вектора , зависят только от в еличины угла и не зависят от длины вектора . Поэтому эти отношения можно рассматривать как функции произвольного угла .Синусом угла ,образованного осью 0x и произвольным радиусом-вектором , называется отношение проекции этого вектора на ось 0y к его длине:   yAay  ax 0 x Рис. 6. Е сли не указано сколько оборотов совершил вектор вокруг точки 0, то положение вектора определяет угол с точностью до целого оборота, т.е углу с начальной стороной 0x и конечной стороной соответствует бесчисленное множество углов, которые выражаются формулой360n+, где n=0; 1; 2; 3; 4; … и sin(+360 n)=sin Длина радиуса-вектора всегда число положительное. Проекция его на координатные оси величины алгебраические и в зависимости от координатных четвертей имеют следующие знаки: В  I четверти ax>0; ay>0;Во II четверти ax<0; ay>0; В III четверти ax<0; ay <0; В IV четверти ax>0; ay<0/ График функции y=sinxДо сих пор аргументами тригонометрических функций рассматривались именованные величины – углы (дуги), измеренные в градусах или радианах. Значения тригонометрических функций, как отношения отрезков, являются абстрактными величинами (числами). При изучении свойств тригонометрических функций приходится сравнивать изменения функции в связи с изменениями аргумента, а сравнивать можно только однородные или, что еще лучше, абстрактные величины. Кроме того, введение тригонометрических функций от абстрактного аргумента дает возможность применять эти функции в различных вопросах математики, физики, техники и т.д. В  место именованного значения аргумента тригонометрических функций в x (радианов) будем рассматривать абстрактное число где r обозначает радианы, ии по определению принять чтоsinx, где x – абстрактное число, равен sinx, где x измерен в радианах. Тригонометрические функции являются периодическими, то есть существует число а, отличное от 0, такое, что при любом целом nтождественно выполняется равенство: f(x+na)=f(x), n=0; 1; 2 ... Число а называется периодом функции. Период функции sinx равен 2. Для нее имеет место формула: sin(x+2n)= sinx, где n=0; 1; 2 ... График функции y=sinx называют синусоидой. Для построения графика можно взять значения аргумента x с определенным интервалом и составить таблицу значений y=sinx, соответствующих выбранным значениям x, а затем по точкам, как это часто делается в алгебре, построить график. С   троим в системе координат x101y1 единичную окружность R=1 с центром 01 на оси абсцисс x1. Дугу этой окружности начиная от точки начиная от точки оси абсцисс x1 =+1, делим на n равных частей: З   атем строим вторую систему координат x0y, ось которой 0x совпадает с осью 01 x1 , но сначало координат 01(x1 =0) и 0(x=0) у етих систем различные. В новой системе координат отрезок оси абсцисс от x=0 до x=2 делим на n равных частей: Из точек деления окружности проводим прямые параллельные оси 0x, а из точек деления отрезка [0, 2] проводим прямые, перпендикулярные этой осм. Точки пересечения соответствующих прямых будут точками графика y=sinx, так как ординаты этихточек равны значениям синуса, соответствующим значениям аргумента в точках деления отрезка [0, 2].Рис.8. Некоторые свойства функции y=sinx1. Непрерывность. Функция y=sinx существует при всех действительных значения x, причем, график ее является сплошной кривой линией (без разрывов), т.е. функция sinx непрерывна. 2. Четность, нечетность. Функция y=sinx нечетная и ее график симметричный относительно начала координат. 3. Наибольшие и наименьшие значения. Все возможные значения функции sinx ограничены неравенствами -  1 sinx +1,причем sinx=+1, если  и sinx=-1, если 4.Нулевые значения (точки пересечения графика функции с осью абсцисс). sinx=0, если x=n (n=0; 1; 2;…). 5. Интервалы возрастания и убывания. Функция возрастает, т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции на интервалах  (n=0; 1; 2;…). И убывает, т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции на интервалах  (n=0; 1; 2;…). |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Учебного заведения Данный проект посвящен учебным темам "Тригонометрические функции, Решение тригонометрических уравнений". Основными теоретическими... | | Тема занятия Обратные тригонометрические функции. Решение простейших тригонометрических уравнений |
 | «Тригонометрические функции и их свойства» Образовательные: обобщить и систематизировать знания обучающихся по изучаемой теме, провести контроль уровня усвоения материала | | Решение: Рассмотрим 1-ю функцию Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... ... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Обучения: повторить теоретический материал по теме тригонометрические тождества, формировать умения применять основные тригонометрические... |
| Зачет №1 «Тригонометрические функции» Дисциплин как алгебра, теория чисел, теория сложности. Студентам, изучающим криптографию всерьез, необходимо знание ее математических... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель урока: обобщить знания учащихся о понятии функции, аргумента, функции вида y= kx, y= kx + b, y= x2, y= kx2, y= x3, y= kx3, ввести... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Предел функции в точке. Предел последовательности. Общие свойства предела функции. Предел функции в точке по множеству. Необходимое... | | Геометрические преобразования Бласти определения функции ставит в соответствие некоторое число f(X) – значение функции f в точке Х. В геометрии рассматриваются... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели урока: сформировать навыки построения графика функции, определять наибольшее и наименьшее значение функции, область значений... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Ввести определение функции, области определения функции, области значений функции |
| Сценарий конкурсного урока по теме: «Функции, их свойства» Выработать прочные навыки применения полученных знаний при решении уравнений графическим способом вычислении значения функции и выполнении... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель урока: рассмотреть построение графика функции y = x2 и её свойства, используя график функции y = x2, научиться находить значение... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Функции их свойства, графики и периодичность. Построение графиков функций y = m f (X) и y = f (kx), если известен график функции... | | Типовые тригонометрические задания, используемые в вариантах егэ,... |
