Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «томский государственный педагогический университет» ( тгпу ) утверждаю проректор по учебной работе

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

ДПП.Ф.04 ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

• 
  сформировать представления об аналитических функциях, конформном отображении, комплексном интеграле, аналитическом продолжении, римановой поверхности и особых точках функции, рядах аналитических функций, вычетах;
  
• 
  выработать умения и навыки дифференцирования функций комплексного переменного, построения конформных отображений простейших областей, вычисления комплексных интегралов, разложения функций в ряд Тейлора и ряд Лорана, а также вычисления вычетов функций;
  
• 
  научить применять методы комплексного анализа для вычисления определённых и несобственных интегралов и решения других задач алгебры и анализа;
  
• 
  познакомить с современными направлениями развития комплексного анализа.
  

• 
  иметь представление об основных понятиях теории функций комплексного переменного;
  
• 
  знать и уметь доказывать основные теоремы курса;
  
• 
  уметь вычислять производные и интегралы функций комплексного переменного,
  
• 
  восстанавливать аналитическую функцию по её действительной или мнимой части;
  

• 
  уметь производить конформные отображения с помощью линейной и дробно-линейной функций, степенной и радикала, экспоненты и логарифма, а также тригонометрических функций;
  

• 
  уметь представлять элементарные функции комплексного переменного рядами Тейлора и Лорана, находить их области сходимости;
  
• 
  уметь применять теорию вычетов для вычисления комплексных и вещественных интегралов;
  
• 
  иметь представление о современных направлениях развития комплексного анализа и его приложениях.
  

1. 
   Комплексные числа: определение и геометрическая интерпретация; арифметика комплексных чисел; алгебра комплексных чисел: Сфера Римана. Бесконечно удаленная точка. Области и их связность.
   
2. 
   Аналитические функции и их свойства: определение функции комплексной переменной и ее геометрическое истолкование, выделение действительной и мнимой части. Последовательность комплексных чисел и ее предел. Предел функции комплексной переменной. Непрерывность. Понятия производной функции комплексной переменной. Дифференциал. Условие дифференцируемости функции комплексной переменной. Понятие аналитической функции. Гармонические функции. Восстановление аналитической функции по ее действительной (мнимой) части. Элементарные аналитические функции в комплексной области: Показательная и тригонометрическая функции в комплексной области и их свойства. Применение формул Эйлера. Логарифмы комплексных чисел.
   
3. 
   Интеграл по комплексной переменной: понятие интеграла от функции комплексной переменной и его свойства. Интегральная теорема Коши для односвязной области, интегральная теорема для многосвязной области. Интегральная формула Коши и ее следствия. Аналитичность непрерывно дифференцируемой функции. Применение формулы Коши к вычислению определенных интегралов.
   
4. 
   Ряды аналитических функций: степенные ряды в комплексной области; ряд Тейлора; теорема единственности аналитических функций; понятие об аналитическом продолжении функций. Ряд Лорана: теорема Лорана; изолированные особые точки; классификация изолированных особых точек. Устранимые особые точки, полюсы, существенно особые точки. Вычеты: определение и применение к вычислению определенных интегралов.
   
5. 
   Основные понятия теории конформных отображений, отображение кривых и областей. Дифференцирование функций комплексной переменной и конформные отображения: геометрический смысл аргумента и модуля производной. Конформные отображения I и II рода. Функция Жуковского, конформное отображение . Гиперболические функции в конформной области и их свойства.
   
6. 
   Преобразование Лапласа: определение и свойства; операционное исчисление; решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.
   

1. 
   “Арифметика” комплексных чисел; определение операций над комплексными числами и их выполнение. Решение задач.
   
2. 
   Дифференцирование комплексных функций, аналитические функции, гармонические функции. Решение задач.
   
3. 
   Интегрирование комплексных функций, теорема и формула Коши. Вычеты. Вычисление интегралов.
   
4. 
   Ряды на множестве комплексных чисел: ряд Тейлора и ряд Лорана. Основные понятия теории.
   
5. 
   Понятие о конформном отображение. Решение задач.
   

1. 
   Волковыский, Л.И. Сборник задач по теории функций комплексного переменного: учебное пособие для вузов/ Л.И. Волковыский, Г.Л. Лунц, И.Г. Араманович. - М.: Наука, 2006. – 312с.
   
2. 
   Лунц, Г.Л. Функции комплексного переменного: учебник для вузов/ Г.Л. Лунц, Л.Э. Эльсгольц. - М.: Наука, 2002. – 296 с.
   

1. 
   Евграфов, М.А. Сборник задач по теории аналитических функций: учебное пособие для вузов/ М.А. Евграфов [и др.]. - М.: Наука, 1972. -187с.
   
2. 
   Куваев, М.Р. Математический анализ: учебник для вузов. В 3 ч. Ч. 3/ М.Р. Куваев. - Томск: ТГУ, 1980. – 311с.
   
3. 
   Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного: учебное пособие для вузов./ М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1987. – 158с.
   
4. 
   Маркушевич, А.И. Краткий курс теории аналитических функций: учебное пособие для вузов/ А.И. Маркушевич. - М.: Наука. 1978. – 319с.
   
5. 
   Маркушевич, А.И. Теория аналитических функций: учебное пособие для вузов/ А.И. Маркушевич. - М.: Наука. 1980. – 329с.
   
6. 
   Привалов, И.И. Введение в теорию функций комплексной переменной: учебник для вузов/ И.И.Привалов. - М.: Наука. 1999. – 432с.
   
7. 
   Шабат, М.И. Введение в теорию функций комплексной переменной: учебник для вузов/ М.И. Шабат. - М.: Наука. 1984. – 317с.
   

• 
  изложение материала от простого к сложному, от известного к неизвестному;
  
• 
  логичность, четкость и ясность в изложении материала;
  
• 
  возможность проблемного изложения, дискуссии, диалога с целью активизации деятельности студентов;
  
• 
  тесная связь теоретических положений и выводов с практикой и будущей профессиональной деятельностью студентов.
  

• 
  качество подготовки;
  
• 
  степень усвоения знаний;
  
• 
  активность;
  
• 
  положительные стороны в работе студентов;
  
• 
  ценные и конструктивные предложения;
  
• 
  недостатки в работе студентов;
  
• 
  задачи и пути устранения недостатков.
  

• 
  Изучить теоретический материал, относящийся к каждому из разделов.
  
• 
  Выработать устойчивые навыки в решении типовых практических заданий.
  
• 
  Выполнить контрольные работы, проводимые в течение семестра.
  

1. 
   Определение комплексных чисел, алгебраическая и тригонометрическая формы комплексных чисел. Возведение в натуральную степень и извлечение корня из комплексных чисел. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме. Определение показательной функции и логарифма комплексного числа.
   
2. 
   Комплексные функции действительного аргумента. Геометрия на комплексной плоскости: геометрическая интерпретация комплексных чисел и операций над ними, кривые и множества на комплексной плоскости.
   
3. 
   Комплексные числовые последовательности: определение, сходимость, свойства (теорема о сходимости, ограниченные последовательности, необходимое и достаточное условия сходимости числовых последовательностей, критерий сходимости Коши).
   
4. 
   Множества и области на комплексной плоскости – основные понятия и терминология. Комплексные функции комплексного переменного: определение и геометрическая интерпретация. Кривые и области на комплексной плоскости.
   
5. 
   Предел функции комплексного переменного: определение и геометрическая интерпретация. Свойства функций имеющих предел. Непрерывность функции комплексного переменного: определение и свойства.
   
6. 
   Дифференцирование функции комплексного переменного: определение производной, дифференцируемые функции и их свойства. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Различные формы условий Коши-Римана. Свойства аналитических функций. Геометрический смысл производной комплексной функции (модуль и аргумент производной). Конформные отображения. Восстановление комплексной функции по ее действительной или мнимой части.
   
7. 
   Интегрирование комплексной функции действительного аргумента. Интегрирование комплексной функции комплексного аргумента, связь комплексного интеграла с криволинейным интегралом. Интегральная теорема Коши. Формула Коши и ее следствия. Вычисление интегралов с помощью интегральной теоремы и формулы Коши.
   
8. 
   Ряды числовые и функциональные на множестве комплексных чисел. Степенные ряды: определение, область и радиус сходимости, свойства. Ряды Тейлора: определение, теорема Тейлора, разложение в ряд Тейлора.
   
9. 
   Ряд Лорана: правильные и особые точки аналитических функций, определение ряда Лорана, область сходимости ряда Лорана, Теорема Лорана. Особые изолированные точки аналитических функций: определение и классификация. Теоремы об особых точках.
   
10. 
    Вычеты в особых изолированных точках. Основная теорема теории вычетов. Применение теории вычетов для вычисления интегралов. Логарифмический вычет и его применение.
    

1. 
   Формальные производные. Условия Коши – Римана в полярных координатах.
   
2. 
   Конформные отображения I и II родов.
   
3. 
   Функция Жуковского и ее свойства.
   
4. 
   Интеграл типа Коши и его свойства.
   
5. 
   Формулы Сохоцкого.
   
6. 
   Интеграл Пуассона. Решение задачи Дирихле.
   
7. 
   Целые и мероморфные функции. Примеры. Порядок и тип.
   
8. 
   Бесконечные произведения с комплексными членами.
   
9. 
   Конформные отображения круга на круг или на верхнюю полуплоскость.
   
10. 
    Дробно - линейные функции и интерпретация геометрии Лобачевского.
    
11. 
    Римановы поверхности радикала, логарифма и других функций.
    
12. 
    Гармонические функции и их свойства. Задача Дирихле.
    
13. 
    Плоское векторное поле и комплексный потенциал. Физические представления.
    
14. 
    Краевая задача Римана.
    
15. 
    Сингулярные интегральные уравнения.
    
16. 
    Применение ТФКП в решении уравнений с частными производными.
    
17. 
    Задачи гидродинамики и газовой динамики.
    
18. 
    Разложения мероморфных функций на элементарные дроби.
    
19. 
    Разложения функций в бесконечные произведения.
    
20. 
    Нули аналитических функций и теория устойчивости.
    
21. 
    Методы асимптотических оценок.
    

1. 
   Формальные производные.
   
2. 
   Конформные отображения II рода.
   
3. 
   Функция Жуковского и ее свойства.
   
4. 
   Интеграл типа Коши и его свойства.
   
5. 
   Формулы Сохоцкого.
   
6. 
   Интеграл Пуассона. Решение задачи Дирихле.
   
7. 
   Целые и мероморфные функции.
   
8. 
   Бесконечные произведения с комплексными членами.
   
9. 
   Конформные отображения круга на круг или на верхнюю полуплоскость.
   
10. 
    Теорема Пикара.
    
11. 
    Дробно - линейные функции и интерпретация геометрии Лобачевского.
    
12. 
    Римановы поверхности радикала, логарифма и других функций.
    
13. 
    Гармонические функции и их свойства. Задача Дирихле.
    
14. 
    Плоское векторное поле и комплексный потенциал. Физические представления.
    
15. 
    Краевая задача Римана.
    
16. 
    Сингулярные интегральные уравнения.
    
17. 
    Применение ТФКП в решении уравнений с частными производными.
    
18. 
    Задачи гидродинамики и газовой динамики.
    
19. 
    Разложения мероморфных функций на элементарные дроби.
    
20. 
    Разложения функций в бесконечные произведения.
    
21. 
    Нули аналитических функций и теория устойчивости.
    
22. 
    Методы асимптотических оценок.