3.4. Содержание дисциплины 3.4.1. Основные вопросы разделов и тем модулей
Раздел 1. Введение в математический анализ
Тема 1. Множества. Действительные числа.
Понятие множества. Операции над множествами. Множество R действительных чисел. Изображение действительных чисел на прямой. Модуль действительного числа. Ограниченные и неограниченные множества. Числовые промежутки. Понятие окрестности точки.
Тема 2. Функция и ее предел.
Функциональная зависимость. График функции. Способы задания функций. Обратная функция. Сложная функция. Основные элементарные функции и их графики. Числовые последовательности.
Понятия предела числовой последовательности и предела функции. Единственность предела. Предел суммы, произведения и частного. Предельный переход в неравенствах. Односторонние пределы. Бесконечно малые величины их сравнение.
Замечательные пределы и пределы, связанные с ними.
Тема 3. Непрерывность функции.
Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции в интервале и на отрезке. Непрерывность суммы, произведения и частного. Переход к пределу под знаком непрерывной функции. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции. Непрерывность обратной функции. Глобальные свойства непрерывных функций.
Раздел 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Тема 4. Производная и дифференциал.
Производная и дифференциал, их геометрический и механический смысл. Непрерывность дифференцируемой функции. Дифференцирование суммы, произведения и частного. Производная и дифференциал сложной функции. Производная обратной функции. Производные основных элементарных функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Механический смысл второй производной. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Касательная и нормаль к кривой.
Тема 5. Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения.
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции в точке и на промежутке. Максимум и минимум функции. Нахождение наибольших и наименьших значений функции на отрезке. Выпуклость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты. Применение дифференциального исчисления к построению графиков функций.
Раздел 3. Неопределенный интеграл
Тема 6. Первообразная и неопределенный интеграл.
Понятие первообразной и ее связь с производной. Свойства первообразной. Первообразная функция и неопределённый интеграл. Понятие неопределенного интеграла и его свойства. Таблица основных неопределённых интегралов. Непосредственное интегрирование.
Тема 7. Методы вычисления неопределенных интегралов.
Метод интегрирования подстановкой (заменой переменой). Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций.
Раздел 4. Определенный интеграл
Тема 8. Определённый интеграл
Определённый интеграл как предел интегральной суммы. Геометрический смысл определённого интеграла. Интегрируемость непрерывной функции. Основные свойства определённого интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование подстановкой и по частям. Интегрирование чётных и нечётных функций в симметричных пределах.
Вычисление площадей плоских фигур в полярных и декартовых координатах. Вычисление длины дуги плоской кривой. Вычисление объема тела вращения. Вычисление площади поверхности вращения.
Тема 9. Несобственные интегралы
Понятие несобственного интеграла. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода). Интеграл от неограниченной функции (несобственный интеграл II рода).
Раздел 5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Тема 10. Функции нескольких переменных. Дифференцирование функции нескольких переменных
Действительная функция n действительных переменных как функция точки пространства Rn. График функции двух переменных. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции нескольких переменных.
Частные производные, дифференцируемость и дифференциал функции нескольких переменных. Достаточное условие дифференцируемости. Частные производные высших порядков. Равенство смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Производная сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала. Производная по направлению. Градиент.
Тема 11. Геометрический смысл функции нескольких переменных. Экстремум функции нескольких переменных
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Определение максимума и минимума. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области. Условные экстремумы.
Раздел 6. Дифференциальные уравнения и их системы
Тема 12. Общие сведения о дифференциальных уравнениях. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
Основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка. Теорема единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные уравнения. Уравнение Я. Бернулли.
Тема 13. Дифференциальные уравнения высших порядков. Системы дифференциальных уравнений.
Основные понятия. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго и n-го порядков. Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений второго и n-го порядков с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. Метод вариации произвольных постоянных. Интегрирование линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго и n-го порядков с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Раздел 7. Классические методы оптимизации
Тема 14. Методы безусловной оптимизации
Постановка задачи. Необходимые условия для точки локального минимума (максимума). Достаточные условия. Критерий Сильвестра. Метод Эйлера. Процедуры одномерного поиска.
Тема 15. Классическая задача условной оптимизации.
Постановка задачи. Метод исключения и Метод множителей Лагранжа
Раздел 8. Экономико-математические модели
Тема 16. Функции в экономико-математических моделях
Функция спроса и функция предложения. Функция полезности. Кривые безразличия. Кривые “доход-потребление” и кривые “цены-потребления”. Коэффициенты эластичности. Функции выпуска продукции, производственные функции затрат ресурсов
Тема 17. Экономико-математические модели
Модели поведения фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции. Модели общего экономического равновесия. Материальные балансы. Статистическая и динамическая модели межотраслевого баланса.
Общие модели развития экономики.
Примерный перечень практических занятий
Задание 1. Исследовать на непрерывность и построить график функции
f(x)=
Задание 2. Найти пределы:
 б)  в) 
Задание 3. Исследовать на непрерывность и построить график функции
f(x)=
Задание 4. Найти пределы:
 б)  в) 
Задание 5. Исследовать на непрерывность и построить график функции
f(x)=
Задание 6. Найти пределы:
 б)  в) 
Задание 7. Исследовать на непрерывность и построить график функции
f(x)=
Задание 8. Найти пределы:
 б)  в) 
Задание 9. Исследовать на непрерывность и построить график функции
f(x)=
Задание 10. Найти пределы:
 б)  в) 
Задание 11. Найти производную функции:
y=exp(x)+4cos(x)
y=(x3-6x2+3)tg(x)
y=(x4-2x2)/(3+2x)
y=ln(x5+5x3-7)
y=6arctg(x)-3ln(x)
y=(x2-2x+3)cos(x)
y=(x4-3x)/(4-x)
y=sin(x3+5-4x)
y=-tg(x)+4arcsin(x)
y=(x3-6x+2)exp(x)
y=(2x3+6x)/(5x-3)
y=arccos(x3-5x2+3)
y=5ctg(x)-7sin(x)
y=(x5+4x-5)ln(x)
y=(x3+3x)/(1-2x)
y=cos(x2-5x+2)
Задание 12. Найти интегралы
Задание 13. Найти общее решение дифференциального уравнения
(2x+3)y´= y-1
(x+5)y´= 3y+2
(3x+1)y´= 2y-2
(3x²+2y)dx + (2x-1)dy = 0
(2x²+3y)dx + (3x-4)dy = 0
(4x²+3y)dx + (3x-2y³)dy = 0
y´´= x³ + cos 2x +  - 
y´´=  + sin 3x +  - 
y´´=  + sin 7x +  - 
 + 16y´´´= 0
- 2 + y´´´= 0
- 4 + 13 y´´´= 0
y´´´+ 4y´´+ 4y´ = 4x³ + 2x + 1
y´´´- 6 y´´ + 9y´ = x³ + x
y´´´- 10 y´´+ 25 y´ = x² + x + 3
y´´- 6 y´ + 9y = x
Задание 14. Найти: а) производную функции; б) дифференциал функции; в) частные производные и полный дифференциал
1. а)  ; б)  ; в)  .
2. а)  ; б)  ; в)  .
3. а)  ; б)  ; в)  .
4. а)  ; б)  ; в)  .
5. а)  ; б)  ; в)  .
6. а)  ; б)  ; в)  .
7. а)  ; б)  ; в)  .
8. а)  ; б)  ; в)  .
9. а)  ; б)  ; в)  .
10. а)  ; б)  ; в)  .
Задание 15. Применение дифференциального исчисления в экономических исследованиях.
Полные издержки производства продукции на предприятии определяются функцией  , а полная выручка от продажи этой продукции  . При каком объеме производства х прибыль предприятия будет максимальной?
Вычислить показатель эластичности функции  в точке  .
Является ли функция в точке  а) эластичной; б) неэластичной; в) нейтральной?
Функция полных издержек производства  , где х – объем производства. Исследовать динамику К(х), построить ее кривую и дать экономический анализ.
Вычислить показатели эластичности функции
 при  и  , дать экономическую оценку.
5. Дана функция спроса  , где р – цена товара. Определить цены, при которых спрос
– неэластичен,
– эластичен,
– нейтрален,
– совершенно неэластичен,
– совершенно эластичен.
6. Дана функция спроса  , где р – цена товара. Построить (на одной координатной плоскости) кривые спроса  , эластичности спроса  относительно цены, выручки  .
7. Полные издержки производства продукции на предприятии определяются функцией  , а полная выручка от продажи этой продукции  . При каком объеме производства х прибыль предприятия будет максимальной?
Вычислить показатель эластичности функции  в точке  .
Является ли функция в точке а) эластичной; б) неэластичной; в) нейтральной?
Функция полных издержек производства  , где х – объем производства. Исследовать динамику К(х), построить ее кривую и дать экономический анализ.
Вычислить показатели эластичности функции
 при  и  , дать экономическую оценку.
Задание 16. Интегральное исчисление
1. а)  ; б)  ; в)  .
2. а)  ; б)  ; в)  .
3. а)  ; б)  ; в)  .
4. а)  ; б)  ; в)  .
Задание 17. Интегральное исчисление
1. а)  ; б)  ; в)  .
2. а)  ; б)  ; в)  .
3. а)  ; б)  ; в)  .
4. а)  ; б)  ; в)  .
5. а)  ; б)  ; в)  .
|
