3.4. Содержание дисциплины 3.4.1. Основные вопросы разделов и тем модулей
1. Комплексные числа
Определение, комплексная плоскость, модуль и аргумент, алгебраическая и тригонометрическая формы, действия. Извлечение корня из комплексного числа. Корни /7-й степени из единицы.
2. Многочлены
Деление с остатком, теорема Безу, схема Горнера, разложение многочлена на множители с вещественным и комплексными коэффициентами. Рациональные функции, правильные дроби, разложение правильной дроби на простейшие.
3. Матрицы и определители
Действия над матрицами. Перестановки, определители. Свойства определителей и их вычисление. Линейная зависимость и независимость строк и столбцов матрицы. Ранг матрицы. Обратная матрица, ее вычисление.
4. Системы линейных уравнений
Матричная запись, метод Гаусса. Элементарные преобразования, как умножение матриц, ЬИ- разложение. Теорема Кронекера-Капелли. Связь решений однородной и неоднородной систем, фундаментальная система решений.
5. Векторы и координаты в плоскости и пространстве
Скалярное, векторное и смешанное произведения. Линейные объекты на плоскости и в пространстве; кривые и поверхности 2-го порядка.
6. Понятие поля, поля с конечным числом элементов
Линейное пространство. Сумма и пересечение, теорема о линейной зависимости линейных комбинаций. Базис и размерность. Размерность суммы и пересечения подпространств. Преобразование координат при изменении базиса.
7. Пространства со скалярным произведением
Неравенство Коши-Буняковского. Процесс ортогонализации, ортогональные матрицы. QR-разложение матриц. Ортогональное дополнение. Интерпретация линейных систем.
8. Линейные отображения и их матрицы
Образ, ядро линейного отображения, их размерность. Линейные операторы и их матрицы, изменение матрицы линейного оператора при замене базиса. Инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные числа. Линейная независимость собственных векторов.
9. Линейные операторы
Характеристический многочлен, теорема Гамильтона - Кэли. Комплексификация и овеществление, поведение матрицы линейного отображения при этих операциях. Жорданова форма матрицы линейного оператора. Функции от матриц.
10. Квадратичные формы, их матрицы
Преобразование матрицы формы при замене переменных. Связь квадратичных форм и самосопряженных операторов. Метод Лагранжа, теорема Якоби, сигнатура квадратичной формы, закон инерции. Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра, экстремальные свойства собственных чисел.
11. Основные понятия теории групп, примеры
Теоремы о гомоморфизмах групп. Группы подстановок, конечные абелевы группы. Абелевы группы с конечным числом образующих.
12. Основные понятия теории колец, примеры
Кольцо целых чисел, делимость, сравнения, кольцо вычетов по модулю т. Кольцо многочленов, делимость, приводимость многочленов. Идеалы, фактор-кольцо.
13. Основы теории полей
Алгебраические расширения полей. Конечные поля.
3.4.2. Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы по разделам
Вариант № 1
Вычислить матричный полином P(A), где p(x)= x2 - 3x + 9,
 .
Решить систему уравнений методом Гаусса (исключения неизвестных)
 .
Посчитать Определитель матрицы системы из п.4
а) по Правилу Звезды (Правилу Треугольников)
в) разложением Определителя по строке (столбцу)
Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы
(Выписать Определитель системы, все Алгебраические дополнения,
Присоединенную матрицу системы).
 .
Решить систему уравнений из п.4 по правилу Крамера
Вариант № 2
Решить матричное уравнение:
Исследовать систему линейных уравнений на совместность и неопределенность, не решая ее.
 .
Исследовать систему линейных уравнений. Если она совместна, указать базисный минор, базисные и свободные переменные. Решить систему методом Крамера. Выписать общее и одно частное решение.
 .
4. а) Комплексные числа изобразить векторами на плоскости и представить в
тригонометрической форме.
 .
в)Записать в тригонометрической форме.
5. Записать квадратичную форму в матрично-векторном виде.
Выяснить, является ли квадратичная форма положительно определенной,
отрицательно определенной, неопределенной.
 .
Вариант №3
Даны матрицы  и  . Найти значение многочлена  при  .
Решить систему линейных уравнений двумя способами:
Вариант №4
Даны точки А(1;-1;2), В(0;3;-1), С(-2;0;1), D(2;1;0). Найти
1.  , где 
2. 
3. 
4. 
Вариант №5
1. Даны точки А(1;-1), В(0;3), С(-2;1). Найти
1.1 Уравнения сторон 
1.2 Уравнение медианы AD
1.3 Уравнение высоты АН
1.4 Длину высоты АН
2. Написать каноническое уравнение эллипса с параметрами 
3. Даны точки А(1;-1;2), В(0;3;-1), С(-2;0;1), D(2;1;0). Найти
3.1. Уравнение плоскости АВС
3.2. Уравнение плоскости, проходящей через точку А, для которой вектор  является нормальным.
3.3. Расстояние от точки D до плоскости АВС
3.4. Каноническое и параметрические уравнения прямой АD
3.5. Угол между прямой АD и плоскостью АВС.
Примерный перечень практических занятий
Задание 1. Произвести умножение матриц в указанном порядке:
а)  ; б)  ; в)  ;
г)  ; д)  ; е)  ; ж)  ;
з)  ; и)  ; к)  ;
л)  ; м) ; н)  ; о)  .
Проверить на примерах а), д), к), что произведение зависит от порядка сомножителей.
Задание 2. По правилу Крамера решить систему линейных уравнений
 .
Задание 3. В системе векторов v1= (1,0,1), v2= (1,-1,0), v3= (0,1,1), v4= (1,1,2) пространства R3 найдите максимальную линейно независимую подсистему и выразите все векторы системы линейно через векторы найденной подсистемы.
Задание 4. Выяснить, лежит ли вектор v= (1,2,3,4) в линейной оболочке, натянутой на векторы u1= (1,1,1,1) и u2= (-1,1,3,5), а если лежит, то найти его координаты в каком-нибудь базисе этой оболочки.
Задание 5. Дана прямая 2х+3у+4 = 0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M0(2; 1):
1) параллельно данной прямой;
2) перпендикулярно к данной прямой.
Задание 6. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:
1) его полуоси равны соответственно 7 и 2;
2) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с = 8;
3) расстояние между его фокусами 2с = 24 и эксцентриситет 
4) его малая ось равна 16, а эксцентриситет 
5) расстояние между его фокусами 2с = 6 и расстояние между директрисами равно 16
6) расстояние между его директрисами равно  и эксцентриситет 
Задание 7. Представить в алгебраической форме комплексное число  .
Задание 8. Показать, что  не является корнем из 1,хотя  .
Найти  и  .
Вычислить: .
Вычислить  .
Вычислить 
Задание 9. Найти общую стоимость сырья, планируемую для производства продукции двух видов P1 и P2, если план выпуска продукции задан матрицей P=(p1, p2); нормы расхода сырья трёх типов S1, S2, S3 на единицу продукции Pi заданы матрицей S и известна стоимость (у.е.) единицы сырья каждого вида – матрица С.
 ;  ;  .  ;  ;  .
 ;  ;  .  ;  ;  .
Задание 10. По заданным (в таблице) данным межотраслевого баланса (условные денежные единицы) найти необходимый объем валового выпуска каждой из двух отраслей, если конечное потребление первой отрасли увеличится на 100%, а второй – сохраниться на прежнем уровне.
№ зад.
|
Отрасль
|
Потребление
|
Конечный продукт
|
Валовой выпуск
|
Р1
|
Р2
|
1
|
Производство
|
Р1
|
5
|
20
|
62
|
100
|
Р2
|
10
|
14
|
110
|
200
|
2
|
Производство
|
Р1
|
6
|
25
|
80
|
200
|
Р2
|
12
|
50
|
121
|
250
|
Задание 11. Дана структурная матрица торговли A трёх стран S1, S2 и S3. Найти национальные доходы стран для сбалансированной торговли.
1  2  3 
4  5  6 
Задание 12. Какова размерность матрицы: а)  ; б)  ; в)  ; г)  , если  ,  ?
Задание 13. Исследовать системы на совместность. Найти общее решение в случае совместности.
1.  2. 
3.  4. 
Задание 14. Даны матрицы А, В, С, D. Найти:
а) P=(2А–3В)C
б) ранг и базисный минор матрицы D.
1.   ;
Задание 15. Показать, что системы уравнений имеют единственное решение.
Найти решение с помощью:
а) обратной матрицы
б) формул Крамера.
1.  2. 
|
