3.4. Содержание дисциплины 3.4.1. Основные вопросы разделов и тем модулей
Раздел 1. Основы численных методов. Погрешности вычислений. Сложность
алгоритма.
Представление чисел в ЭВМ. Особенности машинных вычислений
переполнение, исчезновение порядка, машинное эпсилон. Классификация
погрешностей: неустранимая погрешность, погрешность метода, погрешность округления. Прямой и обратный анализ ошибок. Понятие устойчивости алгоритма. Чувствительность (обусловленность) задачи Понятие сложность алгоритма по памяти и по времени. Примеры NP-полных и полиномиальных алгоритмов. Пакеты программ: MATLAB, DERIVE.
Раздел 2. Численные методы линейной алгебры
Норма матрицы. Число обусловленности матрицы, его нахождение и оценка. Связь между числом обусловленности и погрешностью решения системы линейных уравнений. Треугольная (LU) факторизация матрицы. Ортогональная (QR) факторизация матрицы. Решение систем с факторизованной матрицей. Изменение числа обусловленности при факторизации. Оценка сложности различных методов.
Раздел 3. Итерационные методы решения линейных систем уравнений
Метод последовательных приближений. Методы простых итераций, метод Зейделя, методы последовательной релаксации. Итерационное уточнение решения линейных систем уравнений. Сравнительный анализ прямых и итерационных методов по точности и сложности вычислений.
Раздел 4. Решение нелинейных уравнений и систем
Постановка задачи. Локализация собственных чисел. Решение полной проблемы собственных чисел и собственных векторов симметричной матрицы методом Якоби. QR - алгоритм нахождения собственных чисел и собственных векторов произвольной матрицы
Раздел 5. Интерполяция функций
Построение интерполяционных формул Лагранжа и Эрмита, оценка погрешности интерполяции. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени сложности, различные методы построения гауссовских квадратур, оценка погрешности.
Раздел 6. Методы приближения и аппроксимации функций
Общая постановка задачи. Равномерное приближение полиномами, точки альтернанса, Теорема Чебышева. Построение полинома наилучшего приближения по алгоритму Бахвалова Алгоритм Ремеза. Приближение функций рациональными дробями. Аппроксимации Паде.
Раздел 7. Преобразование Фурье
Ортогональные системы функций и разложение по ним. Ортогональные полиномы, функции Уолша. Дискретное преобразование Фурье. Алгоритм быстрого преобразования Фурье программная реализация, сложность.
Раздел 8. Математические и программные системы
Интерполяция сплайнами, сглаживающие сплайны, оценки погрешности. Стандартные программы построения сплайнов.
Раздел 9. Численное дифференцирование и интегрирование
Численные методы дифференцирования. Приближенное вычисление интегралов по формуле трапеций, Симпсона, Ньютона. Интегрирование метода Монте-Карло.
Раздел 10. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Методы Рунге-Кутты различного порядка решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Локальная и глобальная оценки погрешности. Многошаговые методы. Явные и неявные методы Адамса, метод предиктор-корректор. Анализ устойчивости, точности и сложности различных алгоритмов. Понятие о жестких системах обыкновенных дифференциальных уравнений и методах их решения.
Примерный перечень практических занятий
Задачи 1-10.
Определить:
число верных знаков приближенного числа, если известна абсолютная погрешность;
число верных десятичных знаков приближенного числа, если известна абсолютная погрешность;
абсолютную погрешность числа, если известно число верных знаков;
абсолютную погрешность, если известна относительная;
относительную погрешность, если известна абсолютная;
абсолютную погрешность функции, если известны абсолютные погрешности аргументов:  .
Вариант
|
Исходные данные
|
Вариант
|
Исходные данные
|
1
|
x=1,109, Ax=0,110-2;
x=0,01111, Ax=0,510-3;
x=1,72911, m=3;
x=0,3771, x=1%;
x=32,11511, Ax=0,1110-2;
|
6
|
x=1,609, Ax=0,110-2;
x=0,06666, Ax=0,510-3;
x=1,72916, m=3;
x=0,377766, x=0,5%;
x=32,61516, Ax=0,1110-2;
|
Вариант
|
Исходные данные
|
Вариант
|
Исходные данные
|
2
|
x=1,209, Ax=0,110-2;
x=0,02222, Ax=0,510-3;
x=1,7292, m=3;
x=0,3772, x=1%;
x=32,21512, Ax=0,2210-2;
|
7
|
x=1,709, Ax=0,110-2;
x=0,07777; Ax=0,510-3;
x=1,7297, m=3;
x=0,3777, x=0,5%;
x=32,71517, Ax=0,7710-2;
|
3
|
x=1,309, Ax=0,110-2;
x=0,03333, Ax=0,510-3;
x=1,7293, m=3;
x=0,3773, x=1%;
x=32,91513, Ax=0,3310-2;
|
8
|
x=1,809, Ax=0,110-2;
x=0,08888, Ax=0,510-3;
x=1,7298, m=3;
x=0,3778, x=0,5%;
x=32,91515, Ax=0,8810-2;
|
4
|
x=1,409, Ax=0,110-2;
x=0,07214, Ax=0,510-3;
x=1,42914, m=3;
x=0,4774, x=1%;
x=32,41514, Ax=0,4410-2;
|
9
|
x=1,909, Ax=0,110-2;
x=0,07219, Ax=0,510-3;
x=1,92919, m=3;
x=0,9779, x=0,5%;
x=32,91519, Ax=0,9910-2;
|
5
|
a) x=1,509, Ax=0,110-2;
x=0,07215, Ax=0,510-3;
x=1,52915, m=3;
x=0,37715, x=1%;
x=32,51515, Ax=0,5510-2;
|
10
|
a) x=1,9010, Ax=0,110-2;
x=0,07210, Ax=0,510-3;
x=1,72910, m=3;
x=0,97791, x=0,5%;
x=32,915191, Ax=0,9110-2;
|
Составить алгоритм нахождения суммы ряда с точностью до =0,0001:
Задачи 11-20.
Найти приближенное значение функции f(x) по таблице значений этой функции:
а) используя интерполяционную формулу Лагранжа;
б) используя схему Эйткена.
Вариант
|
Исходные данные
|
Вариант
|
Исходные данные
|
1
|
х0=0,35
х1=0,48
х2=0,97
х3=1,08
х4=1,18
х5=1,40
х6=1,71
х7=1,74
х8=2,09
х9=2,46
х10=2,69
|
у0=1,419
у1=1,616
у2=2,637
у3=2,944
у4=3,254
у5=4,055
у6=5,528
у7=5,697
у8=8,084
у9=11,704
у10=14,731
|
6
|
х0=0,38
х1=0,49
х2=0,99
х3=1,09
х4=1,19
х5=1,40
х6=1,71
х7=1,72
х8=2,04
х9=2,38
х10=2,53
|
у0=1,462
у1=1,632
у2=2,691
у3=2,974
у4=3,287
у5=4,055
у6=5,528
у7=5,584
у8=7,690
у9=10,804
у10=12,553
|
|
х=0,58
|
|
х=2,95
|
2
|
х0=0,32
х1=0,73
х2=0,97
х3=1,13
х4=1,52
х5=1,57
х6=2,02
х7=2,52
х8=2,96
х9=3,40
х10=3,79
|
у0=1,377
у1=2,075
у2=2,637
у3=3,095
у4=4,572
у5=4,806
у6=7,538
у7=12,428
у8=19,297
у9=29,964
у10=44,256
|
7
|
х0=0,14
х1=0,28
х2=0,57
х3=1,00
х4=1,22
х5=1,36
х6=1,73
х7=1,74
х8=2,11
х9=2,49
х10=2,74
|
у0=1,150
у1=1,323
у2=1,768
у3=2,718
у4=3,387
у5=3,896
у6=5,640
у7=5,697
у8=8,248
у9=12,061
у10=15,486
|
|
х=1,96
|
|
х=0,80
|
Вариант
|
Исходные данные
|
Вариант
|
Исходные данные
|
3
|
х0=0,32
х1=0,48
х2=0,97
х3=1,11
х4=1,25
х5=1,53
х6=1,94
х7=2,14
х8=2,25
х9=2,56
х10=2,97
|
у0=1,377
у1=1,616
у2=2,637
у3=3,034
у4=3,490
у5=4,618
у6=6,958
у7=8,499
у8=9,487
у9=12,935
у10=19,491
|
8
|
х0=0,38
х1=0,40
х2=0,81
х3=1,25
х4=1,59
х5=1,86
х6=1,98
х7=2,36
х8=2,37
х9=2,76
х10=3,16
|
у0=1,462
у1=1,491
у2=2,247
у3=3,490
у4=4,903
у5=6,423
у6=7,242
у7=10,590
у8=10,697
у9=15,799
у10=23,570
|
|
х=1,34
|
|
х=1,72
|
4
|
х0=0,09
х1=0,41
х2=0,83
х3=1,06
х4=1,22
х5=1,61
х6=1,65
х7=2,08
х8=2,56
х9=2,96
х10=3,35
|
у0=1,094
у1=1,506
у2=2,293
у3=2,886
у4=3,387
у5=5,002
у6=5,206
у7=8,004
у8=12,935
у9=19,297
у10=28,502
|
9
|
х0=0,18
х1=0,65
х2=0,80
х3=0,92
х4=1,20
х5=1,59
х6=1,77
х7=1,83
х8=2,07
х9=2,38
х10=2,43
|
у0=1,197
у1=1,915
у2=2,225
у3=2,509
у4=3,320
у5=4,903
у6=5,870
у7=6,233
у8=7,924
у9=10,804
у10=11,358
|
|
х=1,75
|
|
х=2,14
|
5
|
х0=0,17
х1=0,64
х2=0,78
х3=0,89
х4=1,14
х5=1,50
х6=1,62
х7=2,10
х8=2,19
х9=2,25
х10=2,41
|
у0=1,185
у1=1,896
у2=2,181
у3=2,435
у4=3,126
у5=4,481
у6=5,053
у7=8,166
у8=8,935
у9=9,487
у10=11,133
|
10
|
х0=0,40
х1=0,66
х2=0,83
х3=1,27
х4=1,37
х5=1,40
х6=1,54
х7=1,71
х8=2,02
х9=2,50
х10=2,79
|
у0=1,491
у1=1,934
у2=2,293
у3=3,560
у4=3,935
у5=4,055
у6=4,664
у7=5,528
у8=7,538
у9=12,182
у10=16,281
|
|
х=1,35
|
|
х=1,61
|
в) Подобрать интерполяционную формулу и с помощью этой формулы найти приближенное значение интерполируемой функции в точке х[1,2].
При построении интерполяционной формулы использовать только правые разности, считая =0,510-3 и h=0,1. Обосновать выбор интерполяционной формулы.
Вариант
|
Исходные данные
|
Вариант
|
Исходные данные
|
1
|
y0=0,322
y1=0,284
y2=0,241
y3=0,193
y4=0,135
y5=0,063
y6=-0,031
y7=-0,164
y8=-0,369
y9=-0,741
y10=-1,664
|
у0=6,850
у1=5,539
у2=4,601
у3=3,902
у4=3,363
у5=2,937
у6=2,594
у7=2,313
у8=2,079
у9=1,882
у10=1,715
|
6
|
y0=-0,417
y1=-0,751
y2=-0,966
y3=-0,972
y4=-0,713
y5=-0,211
y6=0,396
y7=0,876
y8=0,980
y9=0,592
y10=-0,146
|
у0=24,901
у1=26,244
у2=27,541
у3=28,790
у4=29,992
у5=31,144
у6=32,251
у7=33,313
у8=34,334
у9=35,320
у10=36,275
|
|
х=0,98
|
x=1,32
|
|
х=2,01
|
x=1,45
|
2
|
y0=0,070
y1=-0,134
y2=-0,343
y3=-0,544
y4=-0,724
y5=-0,870
y6=-0,966
y7=-1,000
y8=-0,962
y9=-0,846
y10=-0,654
|
у0=0,614
у1=0,614
у2=0,640
у3=0,685
у4=0,741
у5=0,801
у6=0,856
у7=0,902
у8=0,936
у9=0,956
у10=0,970
|
7
|
y0=-2,186
y1=-1,710
y2=-1,374
y3=-1,120
y4=-0,917
y5=-0,748
y6=-0,602
y7=-0,473
y8=-0,356
y9=-0,247
y10=-0,143
|
у0=0,794
у1=0,773
у2=0,723
у3=0,662
у4=0,600
у5=0,543
у6=0,494
у7=0,450
у8=0,412
у9=0,380
у10=0,351
|
|
х=0,96
|
x=1,71
|
|
х=2,03
|
x=1,05
|
3
|
y0=5,430
y1=5,816
y2=6,211
y3=6,620
y4=7,051
y5=7,509
y6=8,001
y7=8,535
y8=9,119
y9=9,762
y10=10,475
|
у0=21,779
у1=25,505
у2=29,577
у3=34,017
у4=38,852
у5=44,109
у6=49,822
у7=56,027
у8=62,768
у9=70,091
у10=78,052
|
8
|
y0=108,240
y1=104,312
y2=99,184
y3=93,097
y4=86,314
y5=79,108
y6=71,733
y7=64,418
y8=57,353
y9=50,683
y10=44,510
|
у0=4,860
у1=4,462
у2=3,906
у3=3,169
у4=2,222
у5=1,027
у6=-0,475
у7=-2,363
у8=-4,755
у9=-7,829
у10=-11,870
|
|
х=1,46
|
x=1,67
|
|
х=1,95
|
x=1,44
|
4
|
y0=1,257
y1=1,524
y2=1,728
y3=1,849
y4=1,867
y5=1,768
y6=1,547
y7=1,215
y8=0,798
y9=0,339
y10=-0,104
|
у0=3,981
у1=3,837
у2=3,648
у3=3,424
у4=3,175
у5=2,910
у6=2,638
у7=2,369
у8=2,109
у9=1,864
у10=1,637
|
9
|
y0=6,492
y1=6,879
y2=7,340
y3=7,889
y4=8,547
y5=9,339
y6=10,300
y7=11,479
y8=12,939
y9=14,777
y10=17,127
|
у0=6,462
у1=7,567
у2=8,808
у3=10,256
у4=11,966
у5=14,009
у6=16,481
у7=19,514
у8=23,291
у9=28,076
у10=34,255
|
|
х=1,02
|
x=1,63
|
|
х=1,92
|
x=1,55
|
Вариант
|
Исходные данные
|
Вариант
|
Исходные данные
|
5
|
y0=1,449
y1=1,161
y2=0,805
y3=0,396
y4=-0,045
y5=-0,488
y6=-0,894
y7=-1,225
y8=-1,438
y9=-1,505
y10=-1,411
|
у0=1,000
у1=1,215
у2=1,465
у3=1,754
у4=2,088
у5=2,473
у6=2,915
у7=3,423
у8=4,005
у9=4,673
у10=5,436
|
10
|
y0=0,909
y1=0,660
y2=0,258
y3=-0,237
y4=-0,703
y5=-0,978
y6=-0,919
y7=-0,483
y8=0,195
y9=0,805
y10=0,989
|
у0=2,718
у1=3,004
у2=3,320
у3=3,669
у4=4,055
у5=4,481
у6=4,953
у7=5,473
у8=6,049
у9=6,685
у10=7,389
|
|
х=1,15
|
x=1,51
|
|
х=1,13
|
x=1,42
|
Задачи 21-30
Решить систему уравнений методом простой итерации и методом Зейделя с точностью  , сравнить эти итерационные методы по числу итераций; по эффективности (трудность реализации метода, объем памяти, общие затраты времени выполнения на ЭВМ)
|
