Евклид и его «начала». Восточная математика возникла как прикладная наука, имевшая целью облегчить календарные расчеты, распределение урожая, организация общественных работ и сбор налогов. Вначале главным делом были арифметические расчеты и измерения. Однако в науке, чьей задачей было не только ее применение, но и посвящение в ее тайны, должен был развиться абстрактный уклон. И постепенно наукой стали заниматься ради нее самой.
В течение последних столетий второго тысячелетия до н.э. в бассейне Средиземного моря и в прилегающих к нему областях очень много изменилось в экономике и в политике. Бронзовый век сменился веком железа и происходило это в смутное время переселений и войн.
В 334 г. до н.э. начались завоевания Персии А Македонским. В 323 г., когда он умер, в Вавилоне весь Ближний Восток был в руках греков. Прямым последствием походов Александра было то, что ускорилось проникновение греческой цивилизации в обширные районы восточного мира. И греческая математика была пересажена в новую среду. Она сохранила свои прежние особенности, но и испытала влияние тех административных и астрономических запросов, которые выдвигал Восток. Такое тесное соприкосновение греческой науки с Востоком оказалось исключительно плодотворным, особенно в первые столетия. Наибольшего расцвета математика достигла в Египте Птоломеев. Возможно, что это было обусловлено центральным положением Египта той эпохи в средиземноморском мире. Его новая столица Александрия, построенная на берегу моря, стала умственным и хозяйственным центром. Кроме Александрии были и другие центры математической науки, прежде всего Афины и Сиракузы. Афины стали образовательным центром, а Сиракузы дали Архимеда, величайшего греческого математика.
В эту эпоху появляются профессиональные ученые – люди, посвящающие свою жизнь развитию науки. Некоторые из наиболее выдающихся представителей такой группы людей жили в Александрии, где Птоломей построил большой научный центр, так называемый музей с его знаменитой библиотекой. Там оберегали и умножали научное и литературное наследие греков. Одним из первых, связанных с Александрией ученых был Евклид, который являлся одним из наиболее влиятельных математиков всех времен.
О жизни Евклида не существует достоверных фактов. Вероятно, он жил во времена первого Птоломея (1306-285). Его наиболее знаменитое и наиболее выдающееся произведение – тридцать книг его «Начал».
«Начало» написано в раннюю эпоху эллинизма в период подъема античной военной и строительной техники и расцвета точных наук. Евклид подвел в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейших математических исследований. «Начала» - образец дедуктивной системы, содержащей исходные предложения геометрии и других разделов математики, на основе которых все теории развиваются строго логически. Все произведение представляет собой единое целое, части которого находятся в тесной взаимосвязи. «Начала» составлены по определенной схеме, сложившейся еще до Евклида и кратко зложенной в сочинениях Аристотеля: сначала приводятся определения, постулаты, и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательства. Помимо теорем в «Началах» имеются и проблемы, решаемые построением или с помощью арифметических алгоритмов. Вслед за определением основных геометрических понятий и объектов Евклид доказал существование остальных гобъектов геометрии путем их построения, которые выполняются на основании пяти постулатов. В постулатах утверждается возможность выполнения следующих элементарных построений:
- через две точки можно провести прямую;
- отрезок прямой можно неограниченно продолжить;
- данным радиусом из данной точки можно провести окружность;
- все прямые углы равны между собой (этим обеспечивается единственность продолжения прямой);
- если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то прямые пересекутся при неограниченном их продолжении с той стороны, с которой эта сумма меньше.
Все они (кроме постулата 1, который заменяется требованием, чтобы через две точки проходила единственная прямая) вошли в качестве аксиом в современные курсы основ геометрии. За постулатами в «Началах» приводятся аксиомы-предложения о свойствах отношений равенства и неравенства между величинами.
С современной точки зрения система аксиом и постулатов «Начала» недостаточно для дедуктивного построения геометрии, так как здесь нет ни аксиом движения, ни аксиом конгруэнтности (за исключением четвертой аксиомы), а без этого невозможно доказать основные теоремы равновеликости фигур. На самом деле Евклид при доказательствах пользовался движением, не ограничивая возможности этого в аксиомах. Отсутствуют в «Началах» аксиомы расположения. Из аксиом, характеризующих непрерывность, представлена только так называемая аксиома Архимеда. Она приводится, поскольку нужна была Евклиду для построения будущего учения об отношениях.
На протяжении более 2 тысяч лет «Начала» служили недосягаемым образом математической строгости. До 18 века включительно «Начала» или их сокращенные или переработанные варианты служили основными пособиями по геометрии.
«Начала» Евклида состоят из 30 книг. В книге 1 рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. В книге 2 излагается так называемая геометрическая алгебра, то есть строится геометрический аппарат для решения задач, сводящимся к квадратным уравнениям. При этом величины изображаются отрезками, а произведение двух величин площадями. Алгебраическая символика в «Началах» отсутствует. В книге 3 рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд, в книге 4 – правильные многоугольники. В книге 5 дается общая теория отношения величин, созданная Евклидом книдским, она отличается особенной логической завершенностью и, в основном, эквивалентна теории дедекиндовых сечений, являющейся одним из обоснованных учений о действительных числах. Общая теория отношений является основой теории учения о подобии (книга 6) и метода исчерпывания (книга 7), также восходящих к Евклиду. В книгах 7-9 изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя. В эти книги входит теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и бесконечности числа простых чисел, а также строится учение об отношении целых чисел, эквивалентное, по существу. Теории иррациональностей и обосновываются некоторые правила их преобразования. В книге 11 определяются ребра пяти правильных многогранников. В книге 12 определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношение объемов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Наконец, в книге 13 определяется отношение объемов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что других правильных тел не существует. Последующими греческими математиками были присоединены к «Началам» книги 14 и 15, не принадлежащие Евклиду.
Архимед: оригинальность мысли и мастерская техники вычислений. Величайшим математиком эпохи эллинизма и всего древнего мира был Архимед (287-212), живший в Сиракузах, где он был советником царя Гиерона. Он был убит, когда римляне взяли Сиракузы, при осаде которых техническое искусство Архимеда было использовано защитниками города. Веселовский М.Н. писал: «Если придерживаться фактов, то Архимед и начал свою научную деятельность как механик, и закончил ее как механик, и в математических его произведениях механика является могучим средством для получения математических результатов, да и сами эти результаты не являются бесплодно висящими в воздухе, а применяются для обоснования механической теории».
Наиболее важный вклад Архимеда в математику относится к той области, которую сейчас называют интегральным исчислением: теоремы о площадях плоских фигур и об объемах тел. В «Измерении круга» он нашел приближенное выражение для окружности, пользуясь вписанными и описанными правильными многоугольниками.
В книге Архимеда «О сфере и цилиндре» мы находим выражение для поверхности сферы: поверхность сферы в четыре раза больше площади большого круга; и для объема сферы: объем сферы = 2/3 объема описанного цилиндра.
В своей книге «Квадратура параболы» Архимед дал выражение для пощади параболического сегмента (4/3 площади вписанного треугольника с основанием таким же как у сегмента, и с вершиной в точке, в которой касательная параллельна основанию). В книге «О спиралях» мы находим «спираль Архимеда» и вычисление площадей, а в книге «О коноидах и сфероидах» - объем некоторых тел, образованных вращением кривых второго порядка.
«Архимедова спираль» - линия, описываемая точкой М при равномерном ее движении в плоскости вокруг одной из своих точек О.
Имя Архимеда связано также с его теорией о потере веса телами, погруженными в жидкость. Эта теорема находится в трактате по гидростатике «О плавающих телах».
Во всех этих трудах Архимеда поразительная оригинальность мысли сочетается с мастерской техникой вычислений и со строгостью доказательств.
Об архимедовом способе обозначения больших чисел можно узнать из сочинений самого Архимеда, носящего название «Псаммит», по-русски «О числе песка». В этом произведении Архимед хочет показать, что люди, считающие число песчинок на Земле бесконечным, ошибаются. Чтобы еще резче оттеснить ошибочность такого мнения, Архимед берется доказать, что не только на земле, но и во всей Вселенной, если бы она была целиком заполнена песком, число песчинок было бы конечным и легко можно было бы если не подсчитать точное число песчинок во Вселенной, то указать число, которое заведомо больше этого числа песчинок.
Эта постановка вопроса дает Архимеду основание заняться вопросом о размерах Вселенной, под которой он подразумевает пространство, заключенное внутри звездной сферы. Центром этой сферы он считает не Землю, как считало большинство греческих философов, а Солнце.
Установив нижний предел размеров песчинки и верхний предел радиуса Вселенной, Архимед приходит к выводу, что число песчинок не превосходит числа 1063. Чтобы выразить такое число, Архимед расширяет границы ионийской системы нумерации. Это он делает следующим образом: все числа от1 до «мириады мириад» (108) (т.е. числа, для которых в языке существовало словесное выражение) он объединяет названием «первых чисел». Само число 108 сюда не включается, оно получает название «единица вторых чисел». Таким образом, открывается возможность дальнейшего счета вплоть до мириады единиц «вторых чисел», т.е. до 1028. Это последнее, конечно, исключается и получает название «единицы третьих чисел». Таким образом, идем дальше и получаем «единицы четвертых», «пятых чисел», т.е. 103*8, 104*8 и т.д. Здесь Архимед преследует такую цель: он желает показать возможность беспредельного расширения числовой области.
Между тем, образованным ниже способом мы дойдем «только» до числа 108*8. Для последнего числа нет места среди построенных чисел. Оно открывает «второй период» и получает название «единицы первых чисел второго периода». Мириада единиц первых чисел второго периода, т.е. число 10(10+1)*8, получает название «единицы вторых чисел второго периода» и т.д.
Здесь Архимед остановился, но не упускает из виду указать на возможность дальнейшего неограниченного построения чисел этим способом. Вводя для обозначения каждого последующего класса чисел термин «октада», он указывает, что существует сколь угодно много «октад».
Октада охватвает числа от 1 до 108 – 1
Октада охватывает числа от 108 до 1016 – 1
________________________________________
k-ая Октада охватывает от 108(К-1) до 108К – 1.
Для обозначения выполнения действия со сверхбольшими числами, Архимед устанавливает предложение, которое в наших обозначениях запишется так:
10 х 10 = 10.
Это предложение можно рассматривать как первый шаг в открытии логарифмирования.
Во всяком случае здесь Архимед предвосхитил потребности будущего. Здесь Архимед несомненно дал только одно из применений своего широкого теоретического замысла – построения неограниченного ряда чисел, их классификации, письменного изображения и вычислений над ними.
Обилие вычислений у Архимеда отличает его от большинства творческих математиков Греции. Это придает его трудам новый оттенок. Это более всего заметно в его «Задаче о быках» - очень сложной задачи неопределенного анализа.
На заре нашей эры. Математику в течение всей ее истории вплоть до современности нельзя отрывать от астрономии. Запросы ирригации и сельского хозяйства в целом, а в известной мере и мореплавания обеспечили астрономии первое место в науке Востока и Эллинистической науке. Ход развития астрономии в немалой мере определял ход развития математики. Астрономия во многом определяла содержание вычислительной математики, а порой и математических понятий, равным образом прогресс астрономии зависел от того, насколько сильна была доступная математическая литература. Строение солнечной системы таково, что сравнительно простыми математическими методами можно получить далеко идущие результаты, но в то же время оно достаточно сложно для того, чтобы стимулировать совершенствование этих методов и самих астрономических теорий. На Востоке, в эпоху, непосредственно предшествующей эллинистической, добились значительного продвижения в вычислительной астрономии, особенно в Месопотамии в позднеассирийскую и персидскую эпохи. Здесь систематически проводившиеся в течение длительного времени наблюдения дали возможность отлично разобраться во многих Эфемеридах. (Эфемериды – координаты тел солнечной системы, вычисленные для различных значений времени и данные в виде таблицы). Движение Луны для математика было одной из самых трудных и увлекательных астрономических проблем как в древности, так и в восемнадцатом веке и вавилонские («халдейские») астрономы много сил положили на его исследование. Установление связей между греческой и вавилонской наукой в эпоху Селевкидов многое дало и в вычислительной, и в теоретической астрономии, и там, где наука Вавилона продолжала следовать древней календарной традиции, греческая наука смогла добиться некоторых из своих наиболее замечательных достижений.
Самым древним из известных нам греческих достижений в теоретической астрономии является планетная теория Евдокса, вдохновителя Евклида. Это была попытка объяснить движение планет вокруг Земли с помощью четырех вращающихся концентрических сфер, каждая из которых имела особую ось вращения, с концами, закрепленными в охватывающей сфере. Это было нечто новое и типично греческое, больше объяснение, чем регистрация небесных явлений. При всей своей внешней примитивности теория Евдокса заключала в себе основную всех планетных теорий вплоть до семнадцатого столетия – объяснение неправильностей видимого движения Луны и планет, наложениям круговых движений. Эта идея лежит в основе и вычислительной части современной динамической теории, поскольку мы водим ряды Фурье.
За Евдоксом последовал Аристарх Самосский (около 280 г. до н.э.), «Коперник античности», которому Архимед приписывает гипотезу, что центром в движении планет является Солнце, а не Земля. У этой гипотезы в древности было мало приверженцев, хотя широко было распространено убеждение в том, что Земля вращается вокруг своей оси. То, что гелиоцентрическая гипотеза имела мало успеха, объясняется преимущественно авторитетом Гиппарха, которого часто называют величайшим астрономом античности.
Александрия оставалась центром античной математики. Велись оригинальные исследования, хотя компилирование и комментирование все более становилось основным видом научной деятельности. Многие результаты античных математиков и астрономов дошли до нас в трудах этих компиляторов, и порой очень трудно выделить то, что они передают и что они открыли сами. Пытаясь проследить постепенный упадок греческой математики, мы должны учитывать и ее техническую сторону: неуклюжий геометрический способ выражения при систематическом отказе от алгебраических обозначений, что делало почти невозможным какое-либо продвижение за «конические сечения» Алгебру и вычисления оставляли презренным людям Востока, на чье учение был нанесен тонкий слой греческой цивилизации. Однако неверно утверждении, что александрийская математика была чисто греческой в традиционном понимании Евклида-Платона: вычислительной арифметикой и алгеброй египетско-вывилонского типа занимались бок о бок с абстрактными геометрическими рассуждениями. Достаточно вспомнить о Птоломее, Героне и Диофанте, чтобы в этом убедиться. Объединяло различные расы и школы только пользование греческим языком.
Одним из самых ранних александрийских математиков римского периода был Никомах из Герасы (около 100г.), чье «Арифметическое введение – наиболее полное из сохранившихся изложений пифагорийской арифметики. Там рассматриваются большей частью те же вопросы, что и в арифметических книгах Евклида, но тогда как у Евклида числа изображаются отрезками, Никомах пользуется арифметическими изображениями и, если имеет дело с неопределенными числами, обычной речью. Полигональные и пирамидальные числа Никомаха оказали влияние на средневековую арифметику, главным образом через Боэция.
Одно из крупнейших произведений этого второго александрийского периода – «Великое собрание» Птоломея, более известное под арабизированным названием «Альмагест» (около 150 г.). «Альмагест» - астрономический труд высшего мастерства и весьма оригинальный, хотя многие из его идей идут от Гиппарха или от Кидинну и других вавилонских астрономов. В нем есть и тригонометрия с таблицей хорд для углов от 00 до 1800 через полградуса. Для синуса угла в 10 Птолемей нашел значение 0,017268.
Точное значение 0,017453. В «Альмагесте» мы находим формулу для синуса и косинуса суммы и разности двух углов и зачатки сферической тригонометрии. Теоремы формулируются геометрически. Наши современные тригонометрические обозначения идут лишь от Эйлера (восемнадцатый век). В «Альмагесте» мы находим и теорему Птоломея о четырехугольник, вписанном в окружность.
В «Планисферии» Птоломея рассматривается стереографическая проекция, а в его «Геометрии» положение на Земле определяется с помощью долготы и широты. Последние, таким образом, являются давним примером координат на сфере. На стереографической проекции основана конструкция астролябии – прибора, который применяли для определения положения на Земле. Астролябия была известна в древности, и ею широко пользовались до введения октанта, позже секстанта. Несколько старше Птоломея Менелай. Всего «Сферике» содержится геометрия сферы и рассматриваются сферические треугольники – предмет, которого нет у Евклида. Здесь мы находим «теорему Менелая» для треугольника в обобщенном для сферы виде. В астрономии Птоломея немало вычислений в шестидесятичных дробях, а трактат Менелая геометричен строго в духе Евклидовой традиции.
К эпохе Менелая, возможно относится и Герон – во всяком случае он точно описал лунное затмение 62 г. Герон был энциклопедистом, он писал на геометрические, вычислительные и механические темы, его произведения – любопытная смесь греческого и восточного.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
К сожалению, начало нового тысячелетия, особенно его первая половина, связана со средневековым застоем в Европе. Творчески мыслящих подвижников постигла трагическая судьба. И только, спустя более тысячи лет, началось второе возрождение математики. Величайшим открытием является введение бесконечно малых величин, понятие производных, интегралов наступила пора бурного развития математического анализа и его приложений, используемых при решении различных научно- технических задач, бурно развивается техника вычислений.
|
