ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
На правах рукописи
Козлитин
Иван Алексеевич
Микрополевая модель квазинезависимых частиц и неидеальная плазма
Специальность 05.13.18 – математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Москва
2008
Работа выполнена в Институте математического моделирования РАН
Научный руководитель – член-корреспондент РАН Калиткин Н.Н.
Официальные оппоненты – доктор физико-математических наук,
профессор …
– доктор физико-математических наук,
профессор …
Ведущая организация – …
Защита состоится «____» _______________________________2008 года в _______часов на заседании диссертационного совета Д.002.058.01 при институте Институт математического моделирования РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4а.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН.
Автореферат разослан «_____»________________2008г.
Ученый секретарь диссертационного совета
доктор физико-математических наук Змитренко Н.В.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Традиционно для описания оптических свойств плазмы применялись одни модели, а для описания ее термодинамических свойств – другие, причем результаты этих двух групп моделей противоречили друг другу. Особенно ярко это проявляется в том, что число видимых спектральных линий, которое можно получить исходя из термодинамических моделей плазмы, резко отличается от того, что дает эксперимент и оптические модели.
Самой первой моделью неидеальниости была модель Дебая в малом каноническом ансамбле (МДХ, Тиман, 1954). Затем появились другие: Дебай в большом каноническом ансамбле (БДХ, Ликальтер, 1969), однокомпонентной плазмы (ОКП, Hansen, Pollock, 1973) и ее обобщение на случай многокомпонентной плазмы (МКП, Калиткин, 1983) и т.п. Большинство из этих моделей (кроме БДХ) предсказывали плазменный фазовый переход, условия возникновения которого отличались в разных моделях. Экспериментаторы искали такой плазменный фазовый переход, но не обнаружили. Кроме того, в моделях МДХ, МКП и БДХ нарушается электронейтральность среды в целом, а в моделях МДХ и МКП существуют области неединственности решения уравнений ионизационного равновесия [1].
Между тем для расчета спектра плазмы давно и успешно применяются модели плазменного микрополя. В последнее время все больше ученых склоняются к тому, что плазменные микрополя оказывают существенное влияние не только на оптические, но и на термодинамические свойства плазмы. Еще в дискуссиях 70-х годов было установлено, что именно действие микрополя вызывает аномальное уменьшение заселенности возбужденных уровней в слабо неидеальной плазме.
Первым, кто применил плазменное микрополе к расчету термодинамических свойств плазмы был Севастьяненко (1980). В его работах микрополе использовалось для обрезания статистических сумм атомов и ионов. Однако эта работа не имела продолжения. В непротиворечивой (самосогласованной) модели неидеальной плазмы способ обрезания статистических сумм должен быть согласован с поправкой на неидеальность плазмы. Этого у Севастьяненко сделано не было.
Первой моделью неидеальности плазмы с микрополевой поправкой на неидеальность была модель Волокитина-Голосного-Калиткина (ВГК, 1994). В ней модель микрополя MAPEX (Голосной, 1991) использовалась как для обрезания статистических сумм, так и для построения поправки на неидеальность плазмы. Модель ВГК хорошо описывала число видимых спектральных линий в плотной плазме в экспериментах Гаврилова [2] и Рочестерского университета [3]. В ней не возникало областей отрицательного давления, характерных для моделей МДХ и МКП, и свидетельствовавших о наличии фазового перехода. Однако модель ВГК была не вполне самосогласованна. Кроме того, она была неудобна для выполнения массовых расчетов, поскольку поправки к термодинамическим величинам не записывались в явном виде. Для их вычисления требовались весьма громоздкие численные расчеты.
Следующим шагом в развитии микрополевого подхода была модель Калиткина-Павлова (КП, 2005). В ней поправки к термодинамическим функциям записывались в явном виде. Был построен численный алгоритм расчета состава и термодинамики многократно ионизованной плазмы одного элемента от водорода ( ) до лоуренсия ( ).
Однако и модель КП не является строго самосогласованной. Поправка на неидеальность и сдвиг потенциалов в этой модели согласуются с помощью аппроксимации с точностью в несколько процентов. Кроме того, статистические суммы обрезаются по величине среднего микрополя без учета формы функции распределения микрополя, что не вполне точно. Более правильным является непосредственное введение микрополевого формфактора в статистические суммы.
Отметим также, что программа расчета состава плазмы, написанная Павловым, неоправданно долго рассчитывала состав плазмы большой плотности в области однократной ионизации.
Требовалась доработка не только микрополевой модели неидеальности плазмы и алгоритма расчета состава плазмы, но и самой модели микрополя. Дело в том, что традиционные модели микрополя имеют существенный изъян – бесконечную плотность энергии микрополя в случае разреженной плазмы, что абсурдно с физической точки зрения.
Цель работы - построение строго самосогласованной микрополевой модели неидеальности газовой плазмы и программы расчета состава и термодинамических функций плазмы по этой модели. Модель должна быть пригодна для расчета свойств плазмы плотностью от разреженной до твердотельной (до начала ионизации сжатием) в диапазоне температур 1 эВ – 10 КэВ. Программа должна обеспечивать возможность расчета в этой области за приемлемое время.
Научная новизна. Создана оригинальная первопринципная модель плазменного микрополя, позволяющая единообразно описывать оптические и термодинамические свойства плазмы. Также впервые удалось построить строго самосогласованную микрополевую модель неидеальности плазмы. Предложено усовершенствование алгоритма расчета состава плазмы, позволяющее вести расчет по модели ионизационного равновесия при существенно больших плотностях и более низких температурах, чем это было возможно ранее.
Практическая ценность работы. Эта работа является частью более общей работы по созданию базы данных теплофизический свойств вещества ТЕФИС. В результате работы была создана программа, позволяющая быстро (за несколько секунд на современных персональных компьютерах) рассчитывать подробные таблицы состава и термодинамических функций плазмы одного элемента в огромном диапазоне температур (1 эВ – 10 КэВ), и концентраций (1016 – 1024 см-3).
Апробация работы. Полученные результаты докладывались и обсуждались на конференциях «VIII тематические Харитоновские чтения» (Саров, 2006), «IX тематические Харитоновские чтения» (Саров, 2007), 3rd Moscow Workshop TARGETS & APPLICATIONS (Lebedev Physical Institute, Moscow, October, 2007). Также они докладывались на сессиях РАН по неидеальной плазме в 2005, 2006 и 2007 годах и на семинаре в Институте механики МГУ (май 2007). По материалам диссертации сделан доклад на совместном семинаре Института математического моделирования РАН и кафедры математического моделирования Московского физико-технического института (март 2008).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации … страниц, рисунков …, таблиц …. Список литературы включает … наименований.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ. Их список представлен в конце автореферата.
Краткое содержание работы.
Введение включает обоснование актуальности темы, содержит формулировку основных целей работы и краткое содержание глав.
Первая глава посвящена моделированию плазменного микрополя. Сначала рассматривается классическая модель Хольцмарка (Holtsmark, 1919) и ее уточнения. Обсуждается проблема ошибочности асимптотики распределения Хольцмарка при  , приводящая к бесконечной плотности энергии микрополя. Далее кратко затронут вопрос моделирования микрополя по методу Монте-Карло (МК) и приводится методика МК-моделирования распределения Хольцмарка на персональном компьютере. Затем рассмотрен вариант модели Хольцмарка с запретом на бесконечное сближение частиц, в котором вместо распределения Хольцмарка получается распределение Максвелла. Потом дается описание новой первопринципной модели неидеальности QUIP с конечной плотностью энергии микрополя и проводится сравнение различных моделей микрополя.
Хаотическое тепловое движение зарядов в плазме порождает флуктуирующее микроскопическое электрическое поле (микрополе). Первой моделью микрополя была модель Хольцмарка. В ней частицы плазмы движутся свободно и некоррелированно. Все конфигурации частиц плазмы считаются равновероятными и вносят одинаковый вклад в распределение микрополя.
Плотность распределения модуля микрополя в этой модели дается распределением Хольцмарка
где  - безразмерная напряженность поля,  - масштаб хольцмарковского микрополя и
- хольцмарковский заряд. Здесь  - заряд частиц  - того сорта, а  - их концентрация. В сумму логично включить и электроны, так как при расчете микрополя необходимо учитывать влияние всех заряженных частиц.
Традиционно считается, что приближение Хольцмарка верно для горячей разреженной плазмы. Это подтверждается оптическими экспериментами по определению спектра такой плазмы. Модель Хольцмарка дает правильную величину полуширины спектральных линий. Это значит, что район максимума микрополя передается в этой модели разумно.
Асимптотическое поведение распределения Хольцмарка при больших напряженностях микрополя неверно, так как большие поля соответствуют близким пролетам частиц, а в этом случае считать движение частиц некоррелированным и пренебрегать их взаимодействием уже нельзя. К сожалению, оптические эксперименты не позволяют выяснить правильную асимптотику распределения микрополя, так как «хвосту» распределения микрополя соответствуют «крылья» спектральных линий, форму которых определить затруднительно, поскольку они сливаются с непрерывным фоном.
Другой серьезной проблемой модели Хольцмарка является бесконечность плотности энергии. Распределение убывает как  , поэтому у него не существует второй начальный момент, соответствующий плотности энергии микрополя. Такой результат абсурден с точки зрения физики и дополнительно свидетельствует о грубой ошибочности асимптотики распределения Хольцмарка.
В модели Хольцмарка частицы плазмы считаются невзаимодействующими. В дальнейшем были созданы модели, которые учитывали взаимодействие частиц плазмы как между собой, так и с пробной частицей, на которой определялась напряженность микрополя.
Одной из последних и наиболее совершенных моделей этого типа является APEX. В ней учитывается взаимодействие частиц плазмы с пробной частицей и, в меньшей степени, взаимодействие частиц плазмы между собой. При этом учитывались не только парные, но и множественные корреляции [4-6].
Общим для всех моделей такого типа будет, очевидно, хольцмарковский предел для случая горячей разреженной плазмы. Поэтому, независимо от используемого способа учета взаимодействия, все рассмотренные модели имеют те же недостатки, что и модель Хольцмарка при применении к такой плазме.
Наиболее точным и надежным способом расчета плазменного микрополя традиционно считается метод Монте-Карло (МК). Теоретические модели плазменного микрополя обычно верифицируются по результатам МК-расчетов. Обычно считается что, физическая точность метода составляет порядка 5-10%. Однако на такую точность можно рассчитывать только в случае, если верны исходные положения, лежащие в основе МК-модели.
МК-моделирование, проведенное на персональном компьютере, подтвердило, что предположения о невзаимодействии частиц и равновероятности конфигураций частиц плазмы приводит к распределению Хольцмарка с его характерным зарядом  . При этом хорошо воспроизводится медленно убывающий «хвост» распределения, приводящий к бесконечной плотности энергии микрополя.
Это типичный результат для МК-моделирования микрополя. Медленно убывающий «хвост» плотности распределения получается изо того, что в модели Хольцмарка заряженные частицы считаются точечными. Давно известно, что представление о точечных зарядах при рассмотрении энергии электрического поля одиночного заряда приводит к абсурдным выводам. Здесь имеет место похожая ситуация.
Введение в модель запрета на слишком близкое сближение частиц немедленно приводит к тому, что в результате МК-моделирования вместо распределения Хольцмарка сразу получается распределение Максвелла.
Пусть частицы независимы, а их взаимодействие – пренебрежимо, как это было и в модели Хольцмарка. Каждая компонента микрополя, например  , является суммой декартовых компонент отдельных частиц, порождающих микрополе. Все частицы равноправны и независимы, а их число огромно. Понятно, что плотность энергии микрополя, создаваемого одной частицей, должна быть конечна. Это значит, что конечным будет и второй начальный момент для плотности распределения вероятности модуля микрополя от одной частицы.
Идентичность распределений случайных величин, их независимость и наличие конечного второго начального момента являются достаточными условиями для применения ЦПТ. Значит, согласно ЦПТ будет иметь нормальное распределение, а  - максвелловское
 ,
где  - масштаб микрополя.
Плотность энергии микрополя, распределенного по , конечна
Приведенные выше рассуждения справедливы только для разреженной плазмы. Но для сверхплотной плазмы модель простых гармонических осцилляторов (SHO, Mayer, 1947) дает точно такое же распределение. Поэтому можно предположить, что распределение микрополя справедливо для плазмы любой плотности.
Величину найдем из соображений размерности. Рассмотрим плазму одинаковых зарядов величины  с температурой  и средним радиусом ячейки  (используется атомная система единиц). Из этих параметров можно составить лишь одну величину размерности напряженности электрического поля  и одну безразмерную величину  . Поэтому самый общий допустимый вид масштабного множителя есть
 .
Здесь  - обычный параметр неидеальности, а  - произвольная функция этого параметра. Надо определить вид этой функции.
Для разреженной плазмы  . Частицы при этом независимы, а их распределение однородно. Известно, что в этом случае энергия взаимодействия зарядов в расчете на одну атомную ячейку с хорошей точностью равна  (разумеется, она меньше кинетической энергии  ). Сделаем естественное предположение, что именно эта энергия перешла в энергию поля, и приравняем ее , умноженной на объем сферической атомной ячейки. Получим
 .
Для сверхплотной плазмы  . Потребуем при этом перехода распределения , в модель SHO. В модели SHO возьмем пробный заряд  . Это дает
 при  .
Построим простейшую интерполяцию между и :
 .
Асимпототики при и довольно близки, поэтому и неопределенность в способах интерполяции не превышает 10-15%. Тем самым , и является хорошей моделью в огромном диапазоне температур и плотностей. Заметим, что в плазменных экспериментах температура и плотность измеряются не слишком точно. С учетом этого предложенная формула описывает оптические эксперименты не хуже всех предшествующих моделей.
Пусть плазма является смесью зарядов  с относительными концентрациями  . В этом случае необходимо использовать общий вид энергии взаимодействия
где  - электронная концентрация и
 -
эффективный заряд. Такая форма эффективного заряда довольно неудобна. Оказывается, хольцмарковский заряд неплохо аппроксимирует . Поэтому в нашей модели мы берем  .
Описанная модель микрополя с максвелловским распределением модуля микрополя , масштабом , задаваемом формулами , и хольцмарковским эффективным зарядом получила название модели квазинезависимых частиц QUIP (QUasi Independent Particles). Она применима для газовой плазмы любой неидеальности.
Рис. 1 Зависимость положения максимума  от . Линия – модель QUIP. Звездочки – расчеты по МК[7], пустые кружочки – точки МК[4], квадраты – точки МК[5], закрашенные кружочки – точки МК[6], треугольники – точки SHO. Около маркеров указаны значения пробного заряда  .
Было проведено сравнение новой модели микрополя QUIP с традиционными моделями и расчетами по МК. На рис. 1 в двойном логарифмическом масштабе показана зависимость положения максимума от параметра неидеальности в огромном диапазоне  . Маркерами показаны расчеты как по моделям типа APEX и его модификаций, так и расчеты методом МК. Традиционные модели характеризуются большим разбросом: работы разных авторов, разных методов и даже разных лет отстоят друг от друга в разы. При этом их авторы избегают сравнения с другими авторами и с собственными работами других лет. Это показывает, что традиционным моделям доверять нельзя.
Во второй главе рассматривается вопрос согласования способа обрезания статистических сумм и поправки на неидеальность плазмы. Также в ней дан краткий обзор существующих методов обрезания статистических сумм и предложен новый способ обрезания плазменным микрополем.
Статистическую сумму атома или иона в плазме можно записать следующим образом (все величины и формулы даются в атомной системе единиц):
Здесь  - статистические веса уровней,  - энергии возбуждения, отсчитанные от основного состояния ( ,  , где  - потенциал очередной ионизации),  - формфакторы, обусловленные взаимодействием частиц и уменьшающие заселенность уровней.
Если атом или ион окружен другими частицами, то это приводит к ограничению статистических сумм, которое математически описывается введением формфактора  .
Р ассмотрим ион кратности  (для нейтрального атома ). У него оторван электрон. Тогда наружный электрон ионного остова находится в поле заряда и одновременно в плазменном микрополе напряженности  . Для высоковозбужденных ридберговских уровней поле ионного остова можно считать кулоновским. Поэтому суммарный потенциал будет
 ,
где  - радиус-вектор электрона. Этот потенциал имеет седловую точку глубиной (см. рис. выше)
Ясно, что в статистической сумме данного иона следует оставить только уровни, лежащие ниже значения  , то есть удовлетворяющие условию
 ,
где - потенциал - овой ионизации.
Из , следует, что для исчезновения  - ного уровня с энергией возбуждения необходимо поле , превышающее некоторый критический уровень  (которое зависит от и ):
Эта формула строга лишь для ридберговских уровней, поскольку рассчитана в предположении кулоновского характера внутреннего иона. Однако фактически ей можно пользоваться и для нижележащих состояний.
Формфактор является вероятностью сохранения уровня и равен
В модели QUIP он точно вычисляется
На рис.2 дан график формфактора для модели QUIP. На нем показано, как убывает формфактор уровня при уменьшении критического уровня напряженности микрополя . Такое уменьшение критического уровня происходит с ростом главного квантового числа уровня . Поэтому рис.2 также служит иллюстрацией обрезания микрополевым формфактом статистической суммы атома.
Рис. 2 Формфактор для микрополевой модели QUIP.
В разреженной плазме наблюдается большое число узких спектральных линий. В плотной плазме число линий невелико, а их ширины значительны. При этом лучше выявляются различия моделей.
Рассмотрим эксперимент, поставленный в Рочестерском университете [3] - плазма с  и  , полученная при лазерном нагреве мишени. Расчетная заселенность уровней для такой плазмы показана на рис. 3. Жирные линии – данная микрополевая модель, тонкие сплошные – модель дебаевского типа, штрихи – модель Планка-Ларкина, пунктир – квазиклассическая модель. Черными кружками обозначены уровни, переход с которых наблюдается в экспериментах, а светлыми кружками – ненаблюдаемые уровни. Предельно наблюдаемая заселенность изображена заштрихованным коридором. Микрополевая модель предсказывает 3 интенсивные линии, слабую 4 и практически невидимую 5, что хорошо согласуется с экспериментом. Модели дебаевского типа и квазиклассическая модель предсказывают гораздо больше линий, причем очень ярких. Модель Планка-Ларкина предсказывает меньше линий, чем видно в экспериментах. Таким образом, только микрополевая модель верно предсказывает число наблюдаемых спектральных линий.
Рис. 3 Заселенности  уровней  с главным квантовым числом .
В третьей главе подробно описывается метод расчета состава и термодинамики плазмы по модели ионизационного равновесия без конкретизации вида поправок на неидеальность плазмы. Предложено усовершенствование алгоритма расчета состава плазмы.
Рассмотрим плазму, состоящую из ионов различной кратности и свободных электронов, находящуюся в локальном термодинамическом равновесии. Пусть плазма образовалась из смеси  - х элементов, относительные концентрации которых по числу атомов равны  . При нагревании появляются  - кратные ионы - х элементов и электроны с концентрациями  и  (значение  соответствует нейтральным атомам). Эти концентрации должны удовлетворять балансным соотношениям
где  - атомные номера элементов.
Среднюю свободную энергию, приходящуюся на одну атомную ячейку, представим в следующем виде [8]:
Здесь  - свободная энергия электронного газа,  - энергии разных сортов ионов, и  - поправка на взаимодействие.
Состояние равновесия соответствует минимуму свободной энергии по всем концентрациям при условии соблюдения балансных соотношений . В результате минимизации получим следующее обобщение уравнений Саха:
Здесь  - химический потенциал, - ионная температура,  - электронная температура,  - статистические суммы атомов и ионов,  - потенциалы - кратной ионизации - того сорта частиц,  - снижение потенциалов ионизации, вызванное взаимодействием частиц,  - дополнительные сдвиги потенциалов ионизации, вызванные обрезанием статистических сумм,  - число элементов в плазменной смеси.
Алгоритм создан и реализован для случая многократно ионизованной плазмы одного элемента. Нетрудно обобщить его на случай плазмы сложного состава.
Статистические суммы рассчитываются по основному состоянию атома или иона
Здесь  - статистический вес основного состояния, а  - микрополевой формфактор.
Система обобщенных уравнений Саха сводится к одному уравнению относительно электронной концентрации
Здесь  и  - функция обратная к функции Ферми-Дирака  . Значения вычисляются по формулам
Уравнение легко решается в случае, если ионизация плазмы не превышает однократной. Тогда по электронной концентрации легко получить концентрацию нейтральных частиц  и однократно ионизованных атомов  . Для многократно ионизованной плазмы приходится использовать итерационный процесс, одна итерация которого представляет из себя решение уравнения при фиксированном векторе концентраций  с последующим пересчетом этого вектора по формулам . Итерации заканчиваются, когда разность значений , полученных с двух последних итераций, становится по модулю меньше некоторого  .
Описанный процесс хорошо сходится для плазмы не слишком большой плотности, но иногда зацикливается для плотной не слишком горячей плазмы в области однократной ионизации. Для борьбы с зацикливанием был предложен гибридный алгоритм, объединяющий достоинства алгоритмов для случаев однократной и многократной ионизации.
Суть усовершенствования состоит в том, что вектор концентраций ионов не остается неизменным в ходе решения уравнения , как это было раньше, а пересчитывается с помощью балансных соотношений по текущему значению
Здесь  - вектор концентраций на входе в процедуру решения уравнения .
Поскольку итерации гибридного алгоритма требует значительно больших вычислительных затрат, то для уменьшения времени расчета их стоит начинать только в том случае, если достаточно большое количество итераций исходного алгоритма не дало результата (в нашей программе они начинались после 100 итераций исходного алгоритма).
Описанная модификация алгоритма расчета состава плазмы позволила вести расчет при существенно большей плотности и при более низкой температуре плазмы.
Пример расчета степени ионизации плазмы Fe по модели QUIP дан на рис. 4. Плотность и температура плазмы меняются в огромных пределах - от  г/см3 до  г/см3 и от 0.3 эВ до 30 КэВ соответственно. Конечно, при низких температурах и плотности в г/см3 использовать модель ионизационного равновесия уже нельзя, но сама возможность проведения расчета в таких условиях доказывает надежность предложенного алгоритма расчета состава плазмы.
Модель QUIP предсказывает ступенчатую ионизацию (толстые линии на рис. 4). При росте температуры электроны атома последовательно ионизируются. В пределах одной оболочки потенциалы ионизации отличаются незначительно, и поэтому кривая идет гладко. При переходе к следующей оболочке, потенциал ионизации увеличивается с большим скачком. Поэтому на кривой ионизации появляется длинная ступенька. Для разреженной плазмы при низкой температуре также можно заметить ступеньки при ионизации в пределах одной оболочки. С ростом плотности плазмы оболочечные эффекты уменьшаются. Это связано с возрастанием концентраций ионов соседних кратностей.
Тонкие линии на рис. 4 соответствует модели Томаса-Ферми с квантовыми и обменными поправками (ТФП, Киржниц, 1957). В этой модели не учитывается оболочечная структура атома. Поэтому она дает плавную кривую ионизации без ступенек. Модели ТФП и QUIP хорошо согласуются для разреженной плазмы, удовлетворительно для умеренно плотной (до  г/см3) . Далее кривые существенно расходятся, но в этой области уже неприменима модель ионизацинного равновесия (возникает ионизация сжатием).
Рис. 4 Зависимости степени ионизации от логарифма температуры для плазмы Fe. Слева от кривых указан десятичный логарифм плотности плазмы в г/см3. Толстые линии – модель QUIP, тонкие – модель ТФП.
Термодинамика плазмы рассчитывалась обычным способом [8].
В четвертой главе строится новая самосогласованная модель неидеальной плазмы на основе микрополевой модели QUIP, выводятся поправки на неидеальность ко всем термодинамическим функциям, а также сдвиг потенциала ионизации. Дан обзор традиционных и микрополевых моделей неидеальности.
В модели QUIP энергия микрополя вычисляется следующим образом:
 .
Мы считаем, что энергия взаимодействия зарядов в плазме и есть энергия микрополя. Поэтому поправка на неидеальность к энергии плазмы будет равна энергии микрополя взятой с обратным знаком
 .
Поправка к свободной энергии получается интегрированием
 .
Дифференцируя нетрудно получить поправки к термодинамическим функциям и выражение для сдвига потенциала
Кроме основных поправок, перечисленных выше, мы вводим дополнительные поправки, связанные с обрезанием статистических сумм
где  - мирополевой формфактор , а  - его производная .
Эти поправки вносят небольшой вклад в конечный результат и обычно гораздо меньше, чем , . Совокупные поправки получаются суммированием , и .
На рис.5 дано сравнение различных моделей неидеальности плазмы по величине давления. Жирные линии – изобары нулевого давления для моделей МДХ (сплошная линия), ОЭГ (одноэлектронный газ, обозначена частым пунктиром), МКП (редкий пунктир). Тонким пунктирам обозначена модель БДХ, тонкой сплошной – модель QUIP. На графике видно, что модель QUIP в области разреженной и умеренно плотной плазмы близка к БДХ, а в области плотной плазмы дает большую неидеальность, чем БДХ, но меньшую, чем другие модели.
Можно показать, что в модели QUIP не может быть отрицательного давления и энергии (как и в БДХ). В традиционных моделях имеются области отрицательного давления. При увеличении плотности плазмы сперва отрицательное давление возникает в модели МДХ, затем в ОЭГ, а потом и в МКП.
Складывается впечатление, что истинная неидеальность (т.е. отличие от модели идеальной плазмы) невелика. Сильнее всего неидеальность влияет на степень ионизации. Отрицательный сдвиг потенциалов, возникающий в большинстве разумных моделей, приводит к увеличению степени ионизации. На давлении и энергии неидеальность склазывается значительно меньше: подскок ионизации компенсируется отрицательными поправками на неидеальность. В результате в модели БДХ давление и энергия мало отличаются от идельноплазменных. В других моделях неидеальность больше, но более точные модели дают меньшую неидеальность (сравните МДХ и МКП). Поведение микрополевой модели QUIP близко к БДХ – неидеальность получается небольшая.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
В приложении приводится текст программы расчета состава и термодинамических функций плазмы.
Рис. 5 Изолинии отношения давления, рассчитанного по разным моделям к давлению идеальной плазмы для плазмы Cs. На кривых указана величина отношения. По оси абсцисс – логарифм плотности в г/см3. По оси ординат – логарифм температуры в эВ.
|
