ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Гений состоит из 1% вдохновения и 99% потения.
Т. Эдисон.
Цель: познакомить учащихся с начальными понятиями теории вероятностей; обсудить вопросы, связанные с построением матема тических моделей реальных ситуаций; сформулировать на интуитивном уровне начальные вероятностные представления.
Историческая справка:
«Математика случая» - так в 17 веке назвал теорию вероят ностей один из ее основателей, французский ученый Блез Паскаль. Еще в древности было замечено, что случай вовсе не исключение из правила, а правило. Вот почему возникла наука о случайных явле ниях. Знать законы случая необходимо.
Теория вероятностей - математическая наука, которая как раз и изучает математические модели случайных явлений, с ее по мощью вычисляются вероятности наступления определенных со бытий. Мы часто слышим и говорим сами: .«Это невозможно»; «Это возможно»; «Это обязательно произойдет»; «Это маловероятно». Такие выражения обычно употребляют, когда говорят о возможнос ти наступления события, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти.
Например, если на небе собрались тучи, то дождь может пойти, но может и не пойти. Мы говорим: «Возможно, пойдет дождь...».
Событие, которое при данных условиях обязательно происхо дит, называется достоверным.
Событие, которое при данных условиях иногда происходит, а иногда - нет, называется возможным или случайным.
Событие, которое в определенных условиях наступить не может, называют невозможным событием.
Думая про наступление достоверного события, вы слово «вероятно» использовать, скорее всего, не будете. Например, если сегодня среда, то завтра четверг, это — достоверное со бытие. Вы в среду не станете говорить: «Вероятно, завтра чет верг», вы скажете коротко и ясно: «Завтра четверг». Правда, если вы склонны к красивым фразам, то можете сказать так: «Со стопроцентной вероятностью утверждаю, что завтра чет верг». Напротив, если сегодня среда, то наступление назавт ра пятницы — невозможное событие. Оценивая это событие в среду, вы можете сказать так: «Уверен, что завтра не пятни ца». Или так: «Невероятно, что завтра пятница». Ну а если вы склонны к красивым фразам, то можете сказать так: «Ве роятность того, что завтра пятница, равна нулю». Итак, дос товерное событие — это событие, наступающее при данных условиях со стопроцентной вероятностью (т. е. наступающее в 10 случаях из 10, в 100 случаях из 100 и т. д.). Невозмож ное событие — это событие, не наступающее при данных ус ловиях никогда, событие с нулевой вероятностью.
Один из основателей математической статистики, шведский ученый Харальд Крамер писал: «По-видимому, невозможно дать точное определение того, что подразумевается под словом "случайный". Смысл этого слова лучше всего разъяснить на примерах».
Какие из следующих событий достоверные, а какие невоз можные?
а) Попугай учится говорить.
б) Вы садитесь в поезд и доезжаете до Северного полюса.
в) Вы наугад берете с полки книгу, и она оказывается учебни ком математики.
г) Вы приходите в кинотеатр, а все билеты проданы.
д) В полдень бьют Кремлевские куранты.
е) Вода в Тихом океане закипит.
Впишите в таблицу следующие события:
а) Завтра будет хорошая погода.
б) Тебя пригласят в гости.
в) В мае в городе пойдет снег.
г) В 12 часов ночи в городе идет дождь, а через 24 часа будет све тить солнце.
д) В день рождения тебе подарят говорящего крокодила.
е) В день рождения тебе подарят собаку.
ж) Ты получишь «5» за контрольную работу по математике.
з) Сорванный цветок погибнет.
и) Камень, брошенный в воду, не утонет,
к) Следующий год будет високосный.
л) Новая лампочка не загорится,
м) Тебя изберут президентом США.
н) Выпадет желтый снег.
Достоверные
|
Возможные
|
Маловероятные
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как вы думаете, в каких случаях говорят:
а) Когда рак на горе свистнет;
б) Как гром среди ясного неба.
Отметьте, какие из следующих событий случайные (С); дос товерные (Д); невозможные (Н):
а) Черепаха научится говорить;
б) Вода в чайнике, стоящем на плите, закипит;
в) Ваш день рождения 19 октября;
г) День рождения вашего друга 30 февраля;
д) Вы выиграете, участвуя в лотерее;
е) Вы завтра встретите инопланетянина;
ж) После четверга будет пятница.
Теория вероятностей возникла в XYII веке при анализе различных азартных игр. Неудивительно поэтому, что первые примеры носят игровой характер.
Большую роль в развитии теории вероятностей как науки сыгра ли обычные монеты и игральные кубики.
Монета, используемая в теории вероятностей, лишена многих качеств настоящей монеты. У нее нет цвета, размера, массы и досто инства. Монета с точки зрения теории вероятностей имеет лишь две стороны, одна из которых называется орел, а другая - решка. Моне ту бросают, и она падает одной из сторон вверх. Название орел для сторон монеты происходит от того, что на реверсе изображен герб Российского государства - двуглавый орел. Впервые орел появился на монетах при великом князе Иване III. А название решка для дру гой стороны монеты (аверса) возникло потому, что рисунок на авер се российских монет в XVIII-XIX вв. напоминал решетку, на фоне которой был написан номинал монеты (ее достоинство).
Математическая монета считается симметричной. Брошенная на стол монета имеет равные шансы выпасть орлом или решкой. Никакой другой исход бросания монеты невозможен.
Игральный кубик (игральная кость) также служит прекрасным средством для получения случайных событий. Игра в кости - одна из древнейших. Игральные кости находили при раскопках в Египте и Китае. Об играх с костями животных (игры в «лодыжки», «косты- ги», «козули») упоминается в летописи у славян языческой Руси. Ранние упоминания о костях в древнеиндийской поэзии отражают популярность игры в кости в Древней Индии. «Гимн игрока» - пер вый литературный текст, упоминающий кости, изображает их как враждебную человеку стихию:
Ведь кости усеяны колючками и крючками,
Они порабощают, они мучают, испепеляют.
В Древней Греции считалось, что игральные кости придумал Паламед во время Троянской войны. По версии Геродота, кости изобрели лидийцы, населявшие Малую Азию, чтобы отвлечься от голода, болезней и других напастей.
Правильные (симметричные) кости обеспечивают одинаковые шансы выпадения каждой грани.
Математическая реальность - это математический образ пра вильной кости, подобно математической монете, не имеет цвета, размера, массы, никаких других материальных качеств.
В нашем веке в связи с физическими, биоло гическими, инженерными и другими исследо ваниями возникла необходимость рассматри вать случайные процессы ξ(t), т.е. случайные функции от одного независимого переменного t, под которым обычно понимается время.
Теория случайных процессов в наши дни является одним из основных математических средств изучения явлений реального мира.
Первые задачи теории вероятностей были рассмотрены Л. Пачоли (1445-ок. 1514), Д. Кардано (1501-1576), Н. Тарталья (ок. 1499-1557), Б. Паскалем (1623-1662), П. Фер ма (1601-1665), X. Гюйгенсом (1629-1695). В качестве самостоятельной научной дисцип лины теория вероятностей стала оформляться в работах Я. Бернулли (1654-1705), А. Муавра (1667-1754), П. Лапласа (1749-1827), С. Пуас сона (1781-1840). Ее последующее разви тие связано с именами П.Л. Чебышева, А.А.Маркова, А.М.Ляпунова (1857-1918), А. Я. Хинчина (1894-1959), С. Н. Бернштейна (1880-1968), А. Н. Колмогорова (1903-1987) и других.
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ИХ ВЕРОЯТНОСТЬ
Цель: познакомить учащихся с возможными подходами к вы числению вероятности того или иного события.
К сожалению (а может быть, и к счастью), не все в жизни так четко и ясно: это будет всегда (достоверное собы тие), этого не будет никогда (невозможное событие). Чаще всего мы сталкиваемся именно со случайными событиями, одни из которых более вероятны, другие менее вероятны. Обычно люди используют слова «более вероятно» или «менее вероятно», как говорится, по наитию, опираясь на то, что называют здравым смыслом. Но очень часто такие оценки оказываются недостаточными, поскольку бывает важно знать, на сколько процентов вероятно случайное событие или во сколько раз одно случайное событие вероятнее другого. Иными словами, нужны точные количественные характеристики, нужно уметь охарактеризовать вероятность числом.
Первые шаги в этом направлении мы с вами уже сделали. Мы говорили, что вероятность наступления достоверного со бытия характеризуется как стопроцентная, а вероятность на ступления невозможного события — как нулевая. Учитывая, что 100% равно 1, люди договорились о следующем:
1.вероятность достоверного события считается рав ной 1;
2.вероятность невозможного события считается рав ной 0.
А как подсчитать вероятность случайного события? Ведь оно произошло случайно, значит, не подчиняется законо мерностям, алгоритмам, формулам. Оказывается, и в мире случайного действуют определенные законы, позволяющие вычислять вероятности. Этим и занимается раздел математики, который так и называется — теория вероятностей.
В теории вероятностей используются различные стандартные игровые ситуации. Это бросание монеты или игрального кубика, вытаскивание карт из колоды. К этому списку добавим еще одну, назовем ее «урновая схема»: в темном ящике (урне) лежат неотличимые на ощупь шары различного цвета Один или несколько шаров вытаскивают. Вычисляют вероятность того, что выбранные шары имеют какой-то определенный набор цветов.
Игральный кубик име ет 6 граней, на каждой из которых отмечены точки от 1 до 6. Играю щий бросает кубик и смотрит, сколько точек выпало на той грани, которая сверху. Иногда точки заменяют числами. Бросание кубика считают опытом (экспериментом или испытанием), а полученный результат - исходом испытания или случайным событием. Людям интересно угадывать наступление того или иного события, предска зывать его исход. Какие предсказания можно сделать, бросая игральный кубик?
Например, такие:
Событие А - выпадает цифра 1, 2, 3, 4, 5 или 6.
Событие В - выпадет цифра 7, 8 или 9.
Событие С - выпадет цифра 1.
Событие А, предсказанное в первом случае, обязательно насту пит, оно достоверное.
Событие В не наступит никогда, так как оно невозможное.
Событие С может наступить, а может и нет, так как оно случайное.
Вероятностные события (случайные) будем обозначать Р (от французского слова probability - возможность, вероятность).
КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Вероятностью события А при проведении некоторого испыта ния называют отношение числа исходов, в результате которых на ступает событие А, к общему числу всех возможных исходов этого испытания.
КЛАССИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТНАЯ СХЕМА
Эксперимент 2. Вырежьте из бумаги правильный пятиугольник, проткните его спичкой так, чтобы получился волчок. Прокручивая волчок, проведите 100 опытов, результаты занесите в таблицу.
Число очков
|
Подсчеты
|
Итого
|
Вероятность
|
1
|
|
|
|
2
|
|
|
|
Найдите вероятность выпадения четного числа очков.
Найдите вероятность выпадения очков, меньших 5.
Задача. Грани кубика окрашены в красный и желтый цвета.
Сколько граней окрашено в желтый цвет, если:
а) вероятность выпадения красной грани равна  ;
б) вероятность выпадения красной грани равна ;
в) вероятность выпадения желтой грани равна ;
г) вероятность выпадения желтой и красной граней равна  ? |
