3.4. Диффузия в газах
Диффузией называется явление проникновения двух или нескольких соприкасающихся веществ друг в друга. Процесс диффузии возникает в газе (так же как и в любом другом веществе), если газ неоднороден по со-ставу, т. е. если он состоит из двух или нескольких различных компонен-тов, концентрация которых изменяется от точки к точке. Процесс диффу-зии заключается в том, что каждый из компонентов смеси переходит из тех частей объема газа, где его концентрация больше, туда, где она меньше,
т. е. в направлении падения концентрации.
Перемещение того или иного компонента под действием разности концентраций называется диффузионным потоком этого компонента. Измеряется он количеством диффундирующего компонента, проходящего в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной к направлению диффузии, т. е. к направлению падения концентрации.
Основной закон диффузии (закон Фика)
Диффузионный поток какого-либо компонента пропорционален градиенту концентрации этого компонента, взятому с обратным знаком (закон Фика).
Градиентом какой-нибудь величины, зависящей от координат, называется вектор, характеризующий быстроту изменения этой величины в пространстве. Этот вектор направлен в сторону наиболее быстрого возрастания величины и численно равен быстроте этого возрастания.
Если концентрация n интересующего нас компонента газовой смеси меняется вдоль оси х, то градиентом концентрации n называется величина
 .
Основной закон диффузии (закон Фика), следовательно, гласит
(3.4.1)
где - диффузионный поток компонента в направлении оси х;
D – коэффициент диффузии, м2/с;
- градиент концентрации, кг/м4.
Знак минус в правой части показывает, что диффузионный поток направлен в сторону убывания концентрации.
Если диффузия в газе происходит при низком вакууме (ср ар), то коэффициент диффузии D представляется величиной, пропорциональной произведению пути ср на скорость ар , а именно
.
Подставляя значения ар и ср , получаем, что
, м2/с. (3.4.2)
Уравнение (3.4.2) позволяет рассчитать значение так называемой самодиффузии газов, когда процесс диффузии реализуется для одинаковых газов, находящихся при различных концентрациях (давлениях).
Если же речь идет о смеси двух разных газов, то тогда уравнение (3.4.2) преобразуется в коэффициент диффузии D12 одного газа в другой (взаимной диффузии):
, м2/с (3.4.3)
где D1, D2 – коэффициенты диффузии для газов, участвующих в процессе взаимопроникновения;
1, 2 – плотности газов, диффундирующих друг в друга;
- плотности смеси газов .
Если соблюдается условие (ср ар), то диффузия в газах, в сущности говоря, преобразуется в свободное перемещение частиц газа, которое определяется их тепловыми скоростями:
.
Подставляя значения n и ар, получаем следующее значение:
, . (3.4.4)
3.5. Нестационарная диффузия
Всякий процесс, при котором параметры системы, участвующей в нем, с течением времени изменяются, называется нестационарным процессом, в отличие от стационарного процесса, при котором величины, характеризующие систему, не изменяются со временем. Диффузия, приводящая к выравниванию концентраций, т. е. к изменению разностей концентраций и самих концентраций компонентов, называется нестационарной диффузией.
Пусть два сосуда с объемами V1 и V2 соединены между собой трубкой длиной l с площадью сечения S (рис. 3.4) и наполнены смесью газов разного состава при одинаковых, однако, давлениях и температурах. Пусть концентрации интересующего нас компонента в обоих сосудах равны соответственно п1 и п2, причем п1 п2.
Вследствие диффузии концентрации в обоих сосудах будут выравниваться, т. е. будет убывать со временем разность концентраций:
п = п1 п2.
Определим, по какому закону происходит это убывание.
S
Рис. 3.4
Из закона Фика следует, что диффузионный поток
 . (3.5.1)
Для простоты рассуждений положим, что , тогда число молекул N, участвующих в диффузии,
.
В процессе диффузии молекулы диффундирующего компонента будут переходить из сосуда I в сосуд II. За бесконечно малый промежуток времени dt число молекул, продиффундировавших в сосуд II, равно
. (3.5.2)
Изменение разности концентраций за время dt будет равно
, (3.5.3)
где - так называемый приведенный объем.
Опуская несложные математические преобразования, получим, что
. (3.5.4)
Это равенство и дает ответ на поставленный вопрос о законе убывания разности концентраций со временем. Очевидно, что n со временем убывает по экспоненциальному закону и тем быстрее, чем больше значение величины , которая является постоянной величиной. Величина, обратная этой постоянной , имеет размерность времени. Физический смысл ее легко понять из уравнения (3.5.4), из которого следует, что при t = разность концентраций n становится равной n0/е, т. е. уменьшается в е раз по сравнению с начальной. Таким образом, смысл постоянной состоит в том, что она равна тому промежутку времени, которое требуется для того, чтобы концентрация диффундирующего компонента уменьшилась в е раз. Величину обычно называют постоянной времени процесса.
Уравнение (3.5.4) можно теперь переписать в виде
.
3.6. Течение газа
Если в соединенных между собой объемах газ имеет различные концентрации (давления), происходит его течение из объема с большей концентрацией (более высоким давлением) в объем с меньшей концентрацией (меньшим давлением).
При данной разности давлений между двумя объемами поток газа зависит от размеров и формы части системы, которая соединяет эти объемы, и от числа Кнудсена Кn, соответствующего давлению газа и характеристическому размеру системы. В качестве характеристического размера системы принимается самый малый размер соединительной части. Например, в случае длинной трубы – это диаметр D.
В зависимости от числа Кнудсена различают течение газа в вязкостном, молекулярном и промежуточном режимах.
В вязкостных условиях (при Кn 100) различают турбулентное те-чение газа, когда молекулы наряду с поступательным движением всей мас-сы газа движутся хаотически со скоростями, подвергающимися случайным изменениям, и слоистое (ламинарное) течение, при котором частицы дви-жутся по параллельным траекториям со скоростями, мало отличающимися друг от друга. Очевидно, что в обоих случаях кроме направленного движения, вызванного градиентом давления, существует хаотическое тепловое движение частиц, соударяющееся друг с другом и со стенками.
В молекулярных условиях (при Кn 1) течение газа сводится к независимому движению отдельных молекул по прямым линиям в периоды между соударениями, главным образом, со стенками системы.
В промежуточных условиях (при 1 Кn 100) в системе могут существовать все виды движения частиц.
Величины, связанные с течением газа
При течении газа приходится иметь дело с величинами, относящимися к самому газу, либо к параметрам вакуумной системы, через которую газ протекает.
Поток газа. Количество газа (в единицах PV), протекающего в течение секунды через произвольное сечение, называется потоком газа:
. (3.6.1)
Поток газа может быть выражен с помощью количества молекул , проходящих через сечение в единицу времени. Обратимся к уравнению (2.7.4)
и продифференцируем его по V , тогда
,
где - изменение массы газа, проходящего через данное сечение в единицу времени.
Представим , тогда
.
Следовательно, поток газа Q через произвольную площадку равен
(3.6.2)
где А – площадь поперечного сечения, м2.
Объемная скорость течения.
В выражении (3.6.1) величина
есть скорость изменения объема при постоянном давлении (объемная скорость течения, объемный поток).
Подставим в выражение (3.6.2) значение и получим
,
где , а , откуда следует, что Q = P S, .(3.6.3)
Таким образом, объемная скорость течения характеризует изменение (положительное или отрицательное) объема газа в единицу времени при постоянном давлении.
Проводимость вакуумной системы
Если течение газа возникает вследствие разности давлений Р1 и Р2 в двух разных точках вакуумной системы, то отношение потока газа Q к разности давлений Р1 - Р2 определяет проводимость (пропускную способность) вакуумной системы между указанными точками:
, м3/с, л/с. (3.6.4)
Сопротивление вакуумной системы
Обратная величина проводимости вакуумной системы называется сопротивлением (импедансом) этой системы:
, с/л, с/м3. (3.6.5)
Очевидно, что по аналогии с течением электрического заряда при параллельном соединении коммуникаций их проводимости складываются
. (3.6.6)
При последовательном соединении коммуникаций складываются их сопротивления:
. (3.6.7)
Проводимость элементов вакуумных систем
Для вакуумной техники важным вопросом является количественное определение течения газов, вызванного известной разностью давлений. При определении проводимости элементов (соединительных трубопроводов, отверстий) учитывается форма проточных каналов и отверстий и режим течения (вязкий, молекулярный).
Течение газов через отверстия
Самым простым элементом вакуумной системы, на котором может возникнуть перепад давлений (Р1 - Р2), является отверстие (рис. 3.5).
Р1
Р2
D
А
l
Рис. 3.5. Проводимость отверстия площадью А (диаметром D)
в плоской стенке толщиной l
Под отверстием будем понимать элемент, длина которого L 0,01 D.
Другими словами, толщина стенки настолько мала, что частицы газа не соударяются с поверхностью, образующей окружность диаметром D, а молекулы попадают в отверстие под пространственным углом 1800.
Молекулярные условия. В случае молекулярных условий (ср l) вывод выражения для проводимости отверстия довольно прост.
Пусть Р1 Р2, тогда через отверстие будут двигаться два встречных потока газа:
и .
Подставив значение , получим
, .
Тогда результирующий поток Q будет равен
. (3.6.8)
Подставив вместо , получим
. (3.6.9)
Проводимость же отверстия в соответствии с формулой (3.6.9) будет
, м3/с, л/с. (3.6.10)
После подстановки значения ар получаем выражение
, м3/с (3.6.11)
где М – в кг/к моль; Т – в К; А – в м2.
Расчет проводимости отверстия для воздуха (М=29 кг/к моль) при комнатной температуре Т=298 К дает из (3.6.11)
Uотв = 116 А, м3/с (3.6.12)
а для круглого отверстия
Uотв = 91 D2, м3/с. (3.6.13)
Вязкостные условия. Формулы, описывающие течение газа через отверстия в вязких условиях, сложнее, а проводимость зависит от отношения давлений Р1/Р2 перед отверстием и после него.
Для первого приближения всегда можно принять, что проводимость отверстия по воздуху равна минимальному значению:
Uотв = 200 А, м3/с или Uотв = 160 D2, м3/с. (3.6.14)
Течение газов в трубопроводах
В вакуумной технике коммуникациями служат трубопроводы, как правило, круглого сечения. Движение газа по каналу в вязкостных условиях определяется трением газа о стенки, если соблюдается условие
(ср Dтр).
Вязкостные условия. Вязкостному режиму течения газа присуще слоистое (ламинарное) движение, отличающееся тем, что слой газа у поверхности остается неподвижным, а другие слои толщиной ср перемещаются с разной скоростью (см. рис. 3.6).
Рис. 3.6. Схема течения газа в трубопроводе при вязкостном режиме
Из рис. 3.6 следует, что при стационарном (не изменяющемся со временем) потоке газа Q элемент потока – цилиндр радиусом r и толщиной dr, находится в равновесии от действия двух противоположно направленных сил: движущей силы F+, вызываемой разностью давлений, и тормозящей силой F- (внутреннего трения в газах).
;
.
Приравнивая эти силы, получаем условие равновесия в виде
F+ - F- = 0, или
. (3.6.15)
Принимая d/dr не зависящим от L (распределение скоростей по всей длине трубопровода постоянно), после интегрирования в пределах от 0 до L получим
.
Вновь интегрируя по радиусу трубопровода при начальных условиях r=r0, =0, получим параболическое распределение скоростей слоев по сечению трубопровода:
,
откуда ,
тогда . (3.6.16)
Элементарный объемный расход газа, проходящий через кольцевую площадку радиусом r и шириной dr со скоростью , можно выразить следующим образом:
.
После интегрирования получаем выражение
. (3.6.17)
В свою очередь поток газа Q можно представить как произведение объемного расхода на среднее давление в трубопроводе
Рср =(Р1 + Р2)/2, т.е.
,
и окончательно . (3.6.18)
Таким образом, поток газа в вязкостном режиме пропорционален четвертой степени радиуса трубопровода. Это важнейшее научное открытие было сделано Пуазейлем и получило его имя – закон истечения жидкости через тонкую цилиндрическую трубку.
Тогда выражение для проводимости трубопровода круглого сечения при вязкостном режиме течения таково:
м3/с. (3.6.19)
Для воздуха при Т=293 К и =1,8210-5 Н/(м2с) формулу (3.6.19) можно преобразовать к виду
, м3/с. (3.6.20)
Молекулярные условия. При высоком вакууме и молекулярном режиме течения газа выполняется условие (ср Dтр), поэтому молекулы движутся независимо друг от друга, соударяясь только со стенками трубопровода.
Будем полагать, что каждая из частиц газа, хаотически движущихся в трубопроводе, имеет постоянную составляющую переносной скорости п, направленной по оси коммуникации в область с меньшим давлением (рис. 3.7).
Рис. 3.7. Схема течения газа в трубопроводе при молекулярном
режиме
Элемент газового цилиндра с размерами r и dL находится в равновесии от действия двух сил:
;
.
Упростим выражения для значений F+, F-, приняв
а
тогда , а .
Уравнение равновесия F+ - F- =0 можно записать в виде
. (3.6.21)
Если ввести в (3.6.21) объемный расход и значение , то получим
.
В стационарном режиме произведение PV=const. Проинтегрируем это выражение в пределах от Р1 до Р2:
,
откуда поток газа Q примет значения
. (3.6.22)
С учетом функции распределения молекул по скоростям Кнудсеном получено более точное (и окончательное) выражение для расчета потока газа, двигающегося по коммуникации в молекулярном режиме:
, . (3.6.23)
В этом случае проводимость коммуникации равна
, . (3.6.24)
В случае круглого поперечного сечения проводимость трубопровода
, . (3.6.25)
Для воздуха (М=29 кг/к моль) при Т= 293 К проводимость цилиндрического трубопровода круглого поперечного сечения равна
, . (3.6.26)
В области среднего вакуума в молекулярно-вязкостном режиме течения газа проводимость трубопроводов можно рассчитывать по полуэмпирической формуле Кнудсена:
Uсмеш. = 0,9Uмол. + Uвязк. (3.6.27)
Как следует из (3.6.27) проводимость трубопровода является суммой проводимостей трубопровода при вязкостном режиме Uвязк и молекулярном режиме Uмол.
Определить проводимости некруглых трубопроводов можно по той же методике, которая была использована для определения проводимостей круглых трубопроводов. Расчетные формулы для некоторых форм трубопроводов представлены в табл. 3.2.
Таблица 3.2 |
