Теория и методы цифровой обработки сигналов
Теория и методы цифровой обработки сигналов
ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ И ПЕРЕПОЛНЕНИЯ В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ БАТТЕРВОРТА И ЧЕБЫШЕВА
Брюханов Ю.А., Лукашевич Ю.А.
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Фильтры Баттерворта и Чебышева широко используются при обработке аналоговых и цифровых сигналов. Применение цифровых фильтров сопряжено со специфическими искажениями полезных сигналов, обусловленными эффектами квантования и переполнения, возникающими из-за конечного числа разрядов в представлении чисел (особенно при использовании арифметики с фиксированной запятой) [1,2]. Арифметические операции (сложения и умножения) в цифровых фильтрах выполняются с ошибками, зависящими от способа аппроксимации и кодирования чисел, а также от числа разрядов в их представлении. Специфическими являются также ошибки, обусловленные переполнением разрядной сетки. Ошибки квантования и переполнения связаны с видом характеристик квантователей, которые являются существенно нелинейными, что и определяет характер процессов в системах дискретного времени. На практике характеристики переполнения квантователей бывают двух видов: с насыщением и пилообразная.
Методика исследования установившихся процессов в системах дискретного времени с нелинейным сумматором без учета эффектов квантования при периодических внешних воздействиях разработана в [3]. В работе [4] предложен метод расчета вынужденных колебаний в нелинейных системах дискретного времени при периодических внешних воздействиях.
Важной характеристикой качества передачи сигналов через любой фильтр является величина нелинейных искажений, вносимых в сигнал. Эти искажения обусловлены нелинейностью характеристики вход-выход фильтра. Количественно они оцениваются коэффициентом нелинейных искажений K, равным отношению среднеквадратического уровня всех высших гармоник реакции фильтра в установившемся режиме к амплитуде полезного сигнала (первой гармоники) [5].
Целью настоящей работы является расчет установившихся (вынужденных) периодических колебаний в цифровых фильтрах нижних частот Баттерворта и Чебышева типа 1 при гармонических воздействиях с учетом эффектов квантования и переполнения (насыщения), расчет спектрального состава реакции и нелинейных искажений в фильтрах, определение зависимости нелинейных искажений от способа кодирования, аппроксимации чисел и от количества разрядов в представлении чисел
При каскадной реализации цифрового фильтра в виде последовательного соединения G нелинейных рекурсивно–нерекурсивных цепей второго порядка уравнения состояний фильтра имеет вид
 (1)
Здесь y(n) – реакция системы, x(n) – входное воздействие, i – номер каскада, ai и bi – коэффициенты нерекурсивной и рекурсивной частей цепи соответственно, mi – весовые коэффициенты между каскадами, обеспечивающие требуемый динамический диапазон фильтра.
С позиций теории многомерных точечных отображений [6] уравнения (1) описывают нелинейное дискретное отображение некоторой точки Y(n) G –мерного пространства в точку Y(n+1), т. е.
 , (2)
где F – функция последования. При периодическом воздействии стационарный режим характеризуется последовательностью инвариантных (неподвижных) точек дискретного отображения
 ,
где  – означает i-кратное применение отображения (2), Т=TС /TД , TС – период входного воздействия (сигнала), TД – период дискретизации, Т – целое число,  .
Ключевым для расчета стационарного режима является соотношение  .
Применительно к последовательно соединенным G нелинейных цепям второго порядка согласно (1) это означает выполнение системы равенств:
Эти соотношения вместе с уравнениями состояний (1) позволяют определить значение yi(0). Далее, опять используя (1), находим все необходимые инвариантные точки от yi(1) до yi(T-1).
Для нахождения спектрального состава реакции фильтра применяется дискретное преобразование Фурье (ДПФ). При этом для целых Т используется классическая формула [2]
 . (3)
А при нецелом отношении T=M/N, M>N (числа М и N не имеют общих множителей) согласно методике [3] для спектрального разложения вместо (3) используется выражение
 .
Для нахождения коэффициента нелинейных искажений К воспользуемся свойством симметрии ДПФ для вещественных последовательностей [2]. Это позволяет для целого T использовать формулу
 , (4)
где  (5)
Если Т – нецелое число, то в выражения (4) и (5) вместо Т следует подставить М.
Рассчитаем нелинейные искажения в цифровых фильтрах нижних частот Баттерворта и Чебышева типа 1 при периодических воздействиях вида x(n)=Acosn, где 2T. Проектирование цифровых фильтров (без учета эффектов квантования и переполнения) и разложение их на каскады рекурсивно-нерекурсивных фильтров 2 порядка проводилось с использованием функций вычислительной среды MatLab.
Полагаем, что в фильтрах используется дробная арифметика, учитываются только нелинейности характеристик квантователей сумматоров, характеристики переполнения квантователей имеют вид с насыщением, а характеристики умножителей линейны, т.е. f2()=.
На рис. 1 и 2 приведены зависимости коэффициента нелинейных искажений К гармонических сигналов в фильтрах нижних частот соответственно Баттерворта и Чебышева типа 1 в диапазоне частот 0; с, где с- частота среза фильтра, с=0,2, для порядка фильтров 2G6; 8 от количества разрядов R в представлении чисел при двух способах кодирования (прямой и дополнительный коды) и аппроксимации чисел (усечение и округление). Всюду сплошные линии соответствуют порядку фильтра 2G=6, а штриховые - 2G=8. Номера линий соответствуют следующим видам кодирования и аппроксимации чисел: 1 – прямой код с усечением, 2 - прямой код с округлением, 3 – дополнительный код с усечением, 4 - дополнительный код с округлением. Фильтр Чебышева типа 1 имеет в полосе пропускания неравномерность 0,2 дБ.
 
Рис. 1 Рис. 2
Расчеты показывают, что наименьшие искажения имеют место при использовании округления чисел. В диапазоне значений R[5,8] в фильтрах обоих типов наибольшие искажения имеют место при использовании дополнительного кода с усечением, что, вероятно, обусловлено асиммитричностью соответствующей характеристики квантователя . В фильтрах Баттерворта величина К не превышает 10% при числе используемых разрядов R≥7 (за исключением использования усечения в дополнительном коде при 2G=8, где требуется R≥8). Следует отметить больший уровень искажений в фильтрах Чебышева, что объясняется большей неравномерностью амплитудно-частотной характеристики в пределах полосы пропускания данного типа фильтров. При R≤5 искажения в несколько раз больше, чем в фильтрах Баттерворта. В фильтрах Чебышева величина К не превышает 10% при числе используемых разрядов R≥ 8 (за исключением использования усечения в дополнительном коде при 2G= 8, где требуется R> 8). Искажения возрастают с увеличением числа каскадов фильтра, что объясняется увеличением количества нелинейных преобразований сигнала.
Результаты работы могут использоваться при проектировании цифровых систем передачи информации.
Литература
1. Каппелини В., Константинидис А.Дж., Эмилиани П. Цифровые фильтры и их применение. М.: Энергоатомиздат. 1983.
2. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир. 1978.
3. Брюханов Ю.А. Методика исследования нелинейных колебаний в системах дискретного времени при периодических воздействиях // Радиотехника и электроника. Т. 51, N 2. 2006. С. 196.
4. Брюханов Ю.А. Метод расчета вынужденных колебаний в нелинейных системах дискретного времени при периодических внешних воздействиях // Изв. вузов. Радиофизика. Т. 53, N 3. 2010. С. 228.
5. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая школа. 1988.
6. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1972.
QUANTIZATION AND OVERFLOW EFFECTS IN BUTTERWORTH AND CHEBYSHEV DIGITAL FILTERS
Bruhanov Yu., Lukashevich Yu.
P.G. Demidov Yaroslavl State University
Butterworth and Chebyshev filters are widely used in the analog and digital signal processing. Quantization and overflow errors in digital filters connected with types of the quantizers characteristics, which are essentially nonlinear, and determines the nature of processes in discrete-time system.
The method for investigation of steady processes in discrete-time system with a nonlinear adder without taking into consideration the quantization effects under influence of periodic external influence is developed at [1]. The method for calculating of the forced oscillations in nonlinear discrete-time system with periodic external influence is proposed at [2].
The purpose of this work is the calculation of the steady periodic oscillations in low pass Butterworth and Chebyshev (type 1) digital filters when the input is harmonic signal and the quantization and saturation effects are taking into consideration. Also the calculation of spectral components of the filter output, estimation of nonlinear distortion is done. Definition of nonlinear distortion from coding method, the approximation numbers and the number of bits in the numbers representation is given.
For calculation of spectral components of the filter output and the nonlinear distortion of harmonic signals technique developed in [1] is applied.
Nonlinear distortions in low pass Butterworth and Chebyshev type 1 filters were calculated for the case of periodic input influence: x(n)=Acosn, where 2/T. Digital filters design (without the consideration of quantization and overflow effects) and their decomposition into cascades of 2 order filters were carried out using MatLab environment.
Let’s consider that filters use fractional arithmetics, the characteristics of adder’s quantizers are purely nonlinear, the characteristics of overfill quantizers are given by the saturation, and the characteristics of multipliers are linear, i.e. f2()=.
Calculation shows that the least distortion take place when using the rounding of numbers. In the range of values of R[5,8] in the filters of both types the greatest distortions occur when using an additional code with a truncation, which is probably due to the corresponding asymmetric characteristics of quantizer. In Butterworth filter value of K does not exceed 10% when the number of bits used by R≥7 (except use of truncation in the additional code for 2G=8, which requires R≥8). It should be noted that a greater level of distortion in the Chebyshev filter, which is explained more uneven frequency response within the bandwidth of the filter types. When R≤5 distortion is several times greater than in the Butterworth filter. In Chebyshev filter magnitude to less than 10% when the number of bits used by R≥8 (except for the use of truncation in the additional code for 2G=8, which requires R>8). Distortion increases with the number of stages filter, which is explained by an increase in the number of nonlinear transformations of the signal.
Received results can be used for digital information transmission system design.
References
1. Bryukhanov Yu.A. A technique for investigating nonlinear oscillations in discrete-time systems under periodic forcing // Journal of Communications Technology and Electronics. Vol 51. № 2, 2006. p. 186-191.
2. Bryuhanov Yu.A. The method of calculating forced oscillations in nonlinear discrete-time systems under periodic external actions // Radiophysics and Quantum Electronics. Vol 53. № 3, 2010. p. 207-213.
ОБОБЩЕННАЯ ПОЛИФАЗНАЯ СТРУКТУРА КОСИНУСНО-МОДУЛИРОВАННОГО БАНКА ФИЛЬТРОВ
Вашкевич М.И., Петровский А.А.
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники
ул. П.Бровки, 6, БГУИР, каф. ЭВС, 220013, Минск Беларусь, palex@bsuir.by.
Реферат
Рассматривается обобщенная полифазная структура косинусно-модулированного банка фильтров (КМБФ), в которой в качестве элемента задержки выступает фазовое звено. Данная обобщенная полифазная структура КМБФ описывается неравнополосный банк фильтров, получающийся путем деформации частотной оси. Показывается способ уменьшения вычислительной сложности блока косинусной модуляции КМБФ.
Введение
В последние два десятилетия системы анализа/синтеза с использованием банков фильтров получили широкое распространение [1]-[2]. Что обусловлено гибкостью и удобством обработки и анализа сигналов при помощи банков фильтров. Большую популярность получили банки фильтров, основанные на принципах модуляции, где фильтры анализа и синтеза образуются путем модуляции КИХ фильтра-прототипа.
В работе рассматривается банк фильтров, построенный на основе косинусной модуляции фильтра-прототипа [3]. Эта идея позволяет свести проектирование целого банка фильтров к расчету одного КИХ фильтра-прототипа. Также в рассматриваемом банке фильтров в качестве элемента временного сдвига используется фазовое звено    .
Как было показано в [4], использование фазового звена как элемента задержки позволяет получать неравнополосный банк фильтров за счет деформации частотной оси:  ,
где  .
Таким образом, использование в банке фильтров фазовых звеньев является естественным обобщением операции временного сдвига, поскольку единичная задержка  является частным случаем фазового звена при  (соответствующий данному значению банк фильтров является равнополосным).
Импульсные характеристики фильтров анализа  и синтеза  КМБФ имеют следующий вид:
 ,
|
(1)
|
 ,
|
(2)
|
где  – порядок фильтра-прототипа,  номер канала,  ,  – коэффициенты фильтра-прототипа.
Обобщенная полифазная структура КМБФ
Интерес к КМБФ [2-5] объясняется хорошо разработанной теорией алгоритмов их реализации. В работе [3] предлагается эффективная схема реализации КМБФ на основе полифазного представления фильтра-прототипа. Для случая, когда порядок фильтра-прототипа  , где  – произвольное положительное число, выражение для банка фильтров анализа можно записать в следующем виде:
 ,
|
(3)
|
где  компоненты матрицы косинусной модуляции MC, а в качестве элементов задержки используются фазовые звенья  . Из свойства периодичности функции косинус следует, что  .
Это выражение позволяет представить матрицу косинусной модуляции  в блочном виде
 ,
|
(4)
|
где  . Регулярная структура матрицы косинусной модуляции дает возможность записать её в виде следующего произведения:
 ,
|
(5)
|
где  – единичная матрица  -го порядка. Вычисление по формуле (5) требует в  раз меньше операций умножения по сравнению с (4). Далее выражение для банка фильтров анализа с учетом подстановки (5) принимает вид
 ,
|
(6)
|
Последнее выражение служит основой для построения полифазной структуры обобщенного КМБФ. Элементами вектора-столбца в последнем выражении служат т.н. полифазные компоненты фильтра-прототипа. Аналогичное выражение может быть получено и для банка фильтров синтеза.
Эффективность полифазной структуры банка фильтров заключается в возможности построения быстрого алгоритма для вычисления матрицы косинусной модуляции. Под быстрым алгоритмом понимается представление матрицы  в виде произведения слабозаполненных матриц. В [3] показано, что матрица косинусной модуляции может быть записана в виде:
 ,
|
(7)
|
где  – матрица дискретного косинусного преобразования типа 4 (ДКП-4),
 ,  .
|
(8)
|
Выражение (7) позволяет свести задачу реализации КМБФ к задаче синтеза быстрого алгоритма для дискретного косинусного преобразования типа 4. Наиболее общий подход к построению быстрых алгоритмов для всего семейства дискретных синусных и косинусных преобразований, основанный на привлечении методов теории групп и абстрактной алгебры, дается в [6].
Заметим, что (7) представляет собой произведение матрицы предсложений на матрицу ДКП-4. При этом умножение на матрицу предсложений требует  операций сложения. Это число может быть уменьшено до  . В качестве примера рассмотрим случай, когда  и четные числа, тогда матрица предсложений имеет блочный вид:
 .
|
(9)
|
Используя элементарные преобразования, (9) приводится к блочному ступенчатому виду:
 ,
|
(10)
|
Откуда  может быть выражена как:
 .
|
(11)
|
Для реализации (11) требуется выполнение операций сложения. Аналогичные выражения получаются в случае, если число каналов банка фильтров нечетно [7]. На основании (6), (7) и (11) может быть построена полифазная структура обобщенного КМБФ (рис. 1). Через  на рис. 1 обозначены коэффициенты полифазных компонент фильтра-прототипа, которые согласно (6) связаны с коэффициентами фильтра-прототипа соотношением  ,  
Аналогичная полифазная структура может быть получена для банка фильтров синтеза.
Выводы
Рассмотрена обобщенная полифазная структура КМБФ, в которой в качестве элементов задержки выступают фазовые звенья. Показано, что для -канального КМБФ количество сложений для вычисления матрицы косинусной модуляции может быть сокращено на операций. Полученные результаты могут быть использованы для создания системы структурного синтеза неравнополосных косинусно-модулированных банков фильтров.
Рис. 1 – Обобщенная полифазная структура КМБФ
Литература
Вайдьянатхан, П. П. Цифровые фильтры, блоки фильтров и полифазные цепи с многочастотной дискретизацией: Методический обзор / ТИИЭР. – 1990. – №3. – С. 77-119.
Piotrowski A., Parfieniuk M., Digital filter banks: analysis, synthesis and implementation for multimedia systems / Wydawnictwo Politechniki Bialostockiej, Bialystok, 2006. – С. 389.
Koilpillai D., Vaidyanathan P.P. Cosine-modulated FIR filter banks satisfying perfect reconstruction / IEEE transaction on signal processing. – 1992. – vol. 40 – № 4. – P. 770-783.
Bielawski K., Petrovsky A.A. Speech enhancement system for hands-free telephone based on the psychoacoustivally motivated filter bank with allpass frequency transformation / Proc. 6th European Conf. on speech communication and technology, EUROSPEECH’99, Budapest, Hungary, – 1999 – P. 2555-2558.
Парфенюк М., Вашкевич М.И, Петровский А.А. Проектирование банка фильтров для слуховых аппаратов с использованием частотного растяжения и объединения субполос // глава в монографии «Анализаторы речевых и звуковых сигналов: методы, алгоритмы и практика» под ред. Петровского А.А.– Минск: Бестпринт,2009. – С. 331-351.
Püschel M., Moura J.M.F. Algebraic Signal Processing Theory: Cooley-Tukey Type Algorithms for DCTs and DSTs / IEEE Transactions on Signal Processing. – 2008. – Vol. 56, № 4. – P. 1502-1521.
Вашкевич М.И., Петровский А.А. Неравнополосные банки фильтров для слуховых аппаратов: анализ алгоритмов, автоматизация проектирования / Автоматизация проектирования дискретных систем: материалы 7-й междунар. конф., Беларусь, Минск, 16-17 нояб. 2010 г. – С. 53-60.
GENERAL POLYPHASE STRUCTURE OF COSINE-MODULATED FILTER BANK
Vashkevich M.I., Petrovsky A.A.
Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics
Abstract. A general polyphase structure of cosine-modulated filter bank (CMFB) with delay elements replaced by allpass filters is considered. This structure enables to describe warped cosine-modulated filter banks. The method for reducing computational complexity of cosine modulation block of CMFB is proposed.
ЦИФРОВЫЕ АДАПТИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ
Гудкова Н.В.
Таганрогский технологический институт
Южный Федеральный Университет, tala_gud@Rambler.ru
Введение
В современных системах управления технологическими процессами все более широкое применение находят цифровые адаптивные фильтры (АФ). Одним из приложений АФ в таких системах является их использование в качестве адаптивных моделей управляемых объектов с неопределенностью (НО). Необходимым условием функционирования систем данного класса является динамическое, т.е. в режиме реального времени, адаптивное моделирование управляемого объекта.
В статье рассматривается один из способов управления НО, базирующийся на принципах прямого и обратного адаптивного моделирования объекта [1]. При этом адаптивные модели в системе управления реализуются в виде адаптивных трансверсальных фильтров (АТФ) с весовыми коэффициентами, перестраиваемыми по методу наименьших квадратов (LMS).
Алгоритм функционирования системы управления
Структурная схема адаптивной системы показана на рис. 1. Назначение системы – минимизация сигнала рассогласования (ошибки)  между временными отсчетами задающего (входного) воздействия системы и выходного сигнала управляемого объекта  (k=0,1,2,…).
Рис. 1.
Для этой цели в системе формируются два одновременно протекающих адаптивных процесса: процесс адаптивной идентификации (моделирования) НО и процесс обратного адаптивного моделирования НО.
Подсистема адаптивной идентификации НО предназначена для получения адаптивной модели (АМ) с перестраиваемыми весовыми коэффициентами, минимизирующими ошибку идентификации объекта СКО1 = , где  , (1),  выходной сигнал АМ.
Уравнение АМ имеет вид  (2), где  управляющее воздействие, L длина АТФ,  временные отсчеты l-го весового коэффициента фильтра.
Алгоритм LMS, перестраивающий параметры АМ, представляет собой рекуррентное выражение
 , (3), где параметр сходимости алгоритма идентификации.
Подсистема адаптивного обратного моделирования НО предназначена для формирования управляющего воздействия , которое минимизирует ошибку управления СКО2 = , где  ( ). (4). Здесь  эталонный сигнал для выходного сигнала управляемого объекта, представляющий собой задержанный на m тактов сигнал. Роль устройства, формирующего управляющее воздействие, играет адаптивная обратная модель НО (АОМ), уравнение которой имеет вид  . (5)
Весовые коэффициенты АОМ перестраиваются по аналогии с (3) по формуле
 . (6)
Сигнал , входящий в выражение (6), является выходным сигналом копии АМ управляемого объекта и вычисляется по формуле  . (7)
После завершения адаптивных процессов отклик системы на входное воздействие приближенно равен сигналу , задержанному на m тактов. Строго говоря, оба адаптивных процесса не являются независимыми, но при достаточно медленной адаптации можно считать, что они протекают независимо.
Методика выбора параметров настройки адаптивных фильтров АМ и АОМ
Качество процессов в системе управления динамическим объектом принято оценивать по запасу устойчивости, быстродействию и точности отработки задающих воздействий. В этой связи параметры настройки адаптивных моделей необходимо выбирать из условий обеспечения требуемых показателей качества.
Анализ показал, что в специальной литературе практически отсутствуют рекомендации по выбору параметров настройки адаптивных фильтров в системах управления, а приводимые примеры носят частный характер. Это обусловлено большим разнообразием задач, а также отсутствием во многих случаях строгого математического обоснования их решения.
В работах автора [2] и [3] предложена методика синтеза программируемых АТФ, предназначенных для идентификации и управления объектами типа «черный ящик» при минимальной априорной информации о входных сигналах и динамике управляемого объекта. Эта методика не дает оптимальных решений, но для большого класса систем она обеспечивает приемлемое качество процессов управления.
Итак, исходными данными для расчета являются:
Время установления tуст и, по возможности, вид переходной характеристики неизвестного объекта.
Приблизительный частотный диапазон и предельная мощность входных сигналов адаптивных фильтров.
Параметрами настройки адаптивного фильтра являются его длина L и коэффициент сходимости алгоритма адаптации  Для их выбора необходимо задать желаемые показатели качества адаптации:
допустимую относительную погрешность адаптации (относительное среднее значение СКО) М (в пределах 0 М 1).
время адаптации в секундах (или в других единицах времени) Та .
Как показал анализ, хорошее качество идентификации и управления во многих случаях достигается при м = 0,001 0,1 и та ≤ tуст. поскольку процессы в системе имеют дискретный характер, в первую очередь необходимо выбрать интервал квантования сигналов по времени  . Для систем автоматического управления обычно он выбирается из соотношения  ≤ ≤ (0,01÷0,001) tуст, (8)
где – время обработки информации в управляющем компьютере и преобразователях цап/ацп. |
