Лекции по математике в университете. Талант юного математика был замечен Иоганом Бернулли, который начал заниматься с ним индивидуально
Скачать 138.12 Kb.
|
| Лекция 4 Ранее была получена система уравнений:  (7.1)Уравнения (7.1) есть дифференциальные уравнения Навье1 – Стокса2 движения вязкой жидкости, являющиеся математическим описанием полей скоростей и давлений в подвижной среде. Конечно же, мы повсеместно имеем дело с реальными жидкостями. Но многие закономерности поведения жидкостей удобно изучать на идеализированной модели — модели идеальной жидкости. 8. Дифференциальные уравнения Эйлера движения идеальной жидкости Идеальная жидкость — воображаемая жидкость, обладающая следующими свойствами: 1. Она не оказывает сопротивления движению, то есть она не обладает внутренним трением ( 0). 2. Она абсолютно несжимаема, то есть её объём, а значит, и плотность не зависят от давления (p). 3. Она не изменяет объём с изменением температуры (Т). Так как идеальная жидкость не обладает внутренним трением, то в её потоке поля скоростей и давлений будут описываться системой дифференциальных уравнений:  (8.1)где проекции ускорений на соответствующие оси координат записаны в «сжатой» форме. Эти уравнения впервые были получены в 1755 году Леонардом Эйлером и называются дифференциальными уравнениями Эйлера движения идеальной жидкости. Если жидкость неподвижна, то уравнения (8.1) упрощаются до вида:  (8.2)Уравнения (8.2) называются дифференциальными уравнениями Эйлера покоя (статики) жидкости. Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 года в швейцарском городе Бáзель в семье сельского пастора. Получив неплохое домашнее образование, Эйлер поступил в старшие классы гимназии и в то же время начал посещать лекции по математике в университете. Талант юного математика был замечен Иоганом Бернулли, который начал заниматься с ним индивидуально. В 17 лет Эйлер уже получил степень магистра искусств. В 1727 году Эйлер прибыл по приглашению в только что учреждённую Петербургскую Академию наук, где сначала стал адъюнктом, а в 1731 году (в возрасте 24 лет!) – профессором по математике. В Петербурге Эйлер жил и работал с 1727 по 1741 г. и с 1766 г. до конца жизни. Эйлер привнёс бесценный вклад в развитие Российской науки. За годы работы в России он подготовил около 400 научных работ; полное собрание его сочинений составляет 72 тома. Леонард Эйлер был не только талантливым и плодотворным учёным, но и человеком самоотверженным. Вот только один факт из его биографии. В 1738 году срочно потребовалось провести трудоёмкие, астрономические расчёты для составления карт Российской Империи. Группа академиков требовала на их выполнение несколько месяцев… Блестящий вычислитель, Леонард Эйлер сделал всю работу за трое суток. Но какой ценой! В результате осложнения после тяжёлого нервного переутомления он потерял зрение правым глазом (когда ему было всего-то 30 лет), а постепенное развитие катаракты на левом глазу привело к тому, что в 59 лет он окончательно ослеп. Но, как в литературе Гомер, так в математике Эйлер был подлинно «слепец всевидящий». Эйлер скончался в 1783 году и похоронен в Петербургском некрополе. Для решения тех или иных задач гидравлики дифференциальные уравнения Эйлера следует проинтегрировать. Интегрирование дифференциальных уравнений Эйлера движения идеальной жидкости приводит к уравнению Бернулли. 9. Уравнение БернуллиБудем считать, что имеет место такое движение жидкости, при котором давление в какой-либо точке пространства, занятого идеальной жидкостью, с течением времени не изменяется. Для выполнения процедуры интегрирования уравнений Эйлера (8.1) предварительно умножим каждое уравнение, соответственно, на vx, vy и vz. Тогда интегрированию подлежат уравнения вида:  (9.1)Поскольку компоненты скоростей можно представить в виде  ,  и  , то соответствующая замена в правых частях уравнений и умножение всех слагаемых на dt приводит к системе: (9.2)Просуммируем правые и левые части всех трёх уравнений:  (9.3)Преобразуем это уравнение. Его левая часть может быть представлена в виде:  (9.4)В соответствии с допущением о неизменности давления во времени, то есть, считая, что p (x, y, z), имеем выражение для полного дифференциала этой функции:  . (9.5)Тогда, с учётом (9.4) и (9.5), уравнение (9.3) может быть записано в виде:  , (9.6)или  , (9.7)или, заменяя сумму дифференциалов дифференциалом суммы,  . (9.8)Интегрируя это уравнение, получаем:  . (9.9)Уравнение (9.9) называется «интеграл Бернулли» или «уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости». Даниил Бернулли принадлежал к семье известных швейцарских учёных. Он родился в 1700 году в Гронингене (Нидерланды), а вскоре семья Иоганна Бернулли – отца Даниила (и учителя Леонарда Эйлера(!)) – переехала в Базель, где Даниил сначала окончил гимназию, а затем изучал философию и логику в местном университете. Уже в 16 лет он получил степень магистра философии, в 21 год – степень лиценциата медицины. В это же время он опубликовал свою первую серьёзную научную работу – книгу «Математические упражнения». В 1725 году Даниил вместе с братом Николаем прибыл по приглашению формировавшейся Академии Наук в Петербург. 8 лет работал Даниил Бернулли в Петербургской Академии, и это были годы наибольшего творческого подъёма. Однако, и покинув Россию, Д. Бернулли не прерывал связи с Петербургской Академией Наук, но уже в качестве её иностранного члена. В целом в изданиях Академии вышло 50 работ Д. Бернулли из 75 его научных трудов. Именно в Петербурге Бернулли подготовил первый вариант рукописи своего главного труда: «Гидродинамика или записки о силах и движении жидкости». Кстати, этой работой Д. Бернулли ввёл в науку термин "гидродинамика". Окончательный вариант этой книги был опубликован на латинском языке в 1738 году, в Страсбурге. Однако ещё в 1726 году Даниил Бернулли выступил с докладом на одном из заседаний Петербургской Академии Наук, и в этом докладе, среди прочего, был опубликован ставший теперь классическим принцип гидродинамики, согласно которому: «в струе воды или воздуха давление велико, если скорость мала, и давление мало, если скорость велика». Уравнение Бернулли является, по существу, одной из форм закона сохранения энергии. Энергетический смысл слагаемых уравнения Бернулли становится очевидным из следующих рассуждений, приводимых применительно к элементарной частице жидкости объёмом dV, или массой dm dV, или весом dG dmg g dV. Для того чтобы поднять (переместить) на высоту z элементарную частицу жидкости объёмом dV, необходимо произвести работу против силы тяжести, равную W = dGz gdVz. (9.10) При этом на эквивалентную величину увеличивается потенциальная энергия частицы: Еп W +gdVz . (9.11) Следовательно, удельная (отнесённая к единице объёма) потенциальная энергия положения будет определяться значением:  , [Дж/м3] = [Па]. (9.12)За счёт давления р элементарная частица жидкости объёмом dV может быть поднята на высоту h p/(g). При этом производится работа против силы тяжести, равная: dGh gdVh, и потенциальная энергия частицы увеличивается на эквивалентную величину: +gdVh g dVp/(g) dVp. (9.13) Следовательно, удельная (отнесённая к единице объёма) потенциальная энергия давления будет определяться значением:  , [Дж/м3] = [Па]. (9.14)Очевидно, первые два слагаемые уравнения Бернулли в сумме определяют удельную потенциальную энергию элементарной частицы жидкости. Наконец, элементарная частица жидкости массой dm dV, движущаяся со скоростью v, обладает кинетической энергией: Eк dmv22 dVv22. (9.15) Следовательно, удельная (отнесённая к единице объёма) кинетическая энергия элементарной частицы будет определяться значением:  , [Дж/м3] = [Па]. (9.16)Величина v2/2 именуется также «динамическое давление». В соответствии с уравнением Бернулли сумма потенциальной и кинетической энергий элементарной струйки остаётся неизменной во всех сечениях. Если каждое слагаемое уравнения (9.9) разделить на ускорение свободного падения g, то можно получить уравнение Бернулли в форме:  , (9.17)где каждое слагаемое уравнения есть удельная энергия единицы массы жидкости. Наконец, если каждое слагаемое уравнения (9.9) разделить на постоянное произведение g, то получим уравнение Бернулли в форме:  , (9.18)где каждое слагаемое уравнения есть удельная энергия единицы веса жидкости, а именно: z — нивелирная (геометрическая) высота расположения сечения элементарной струйки жидкости над некоторой плоскостью сравнения, или удельная потенциальная энергия положения, [м] [Дж/Н]; p/(g) — пьезометрическая высота, пропорциональная давлению в рассматриваемом сечении, или удельная потенциальная энергия давления столба жидкости, [м] [Дж/Н]; v2/2g — высота столба жидкости, эквивалентная высоте, с которой в вакууме должна свободно (без начальной скорости) упасть элементарная частица жидкости, чтобы приобрести скорость v, или удельная кинетическая энергия, [м] [Дж/Н]. И вновь отмечаем, что для элементарной струйки идеальной жидкости удельная энергия есть величина постоянная, одинаковая во всех сечениях струйки. В гидравлике удельная энергия единицы веса жидкости называется «гидравлическим напором», или просто – «напором», и обозначается символом Н (от англ. head – напор). Тогда величины z, p/(g) и v2/2g могут рассматриваться как, соответственно, геометрический напор, пьезометрический напор и динамический напор жидкости. И уравнение Бернулли показывает, что при установившемся движении идеальной жидкости сумма геометрического, пьезометрического и динамического напоров в каждом поперечном сечении элементарной струйки есть величина постоянная, то есть Н const. В дополнение к сказанному заметим, что при прекращении движения, то есть при v 0, уравнение Бернулли обращается в основное уравнение гидростатики:  . (9.19)10. Некоторые практические приложения принципа и уравнения Бернулли Несмотря на то, что принцип Бернулли и его уравнение относятся к течению идеальной (невязкой) жидкости, они используются для решения некоторых практических задач, связанных с течением реальных жидкостей, но лишь в случаях, когда внутренним трением можно пренебречь. 1. На принципе Бернулли основана работа струйных насосов. Всем хорошо известна конструкция водоструйного насоса. (Водоструйный насос изобрёл в 1868 г. Роберт Бунзен, более известный как изобретатель газовой горелки.) В этом устройстве поток рабочей жидкости (например, воды) проходит сначала конфýзор (сопло) — конический сужающийся элемент, имеющий на конце отверстие 2 мм. В конфузоре за счёт уменьшения диаметра увеличивается скорость потока, уменьшается давление, так что в месте выхода рабочей жидкости из конфузора создаётся разрежение. В камере смешения рабочая жидкость смешивается с перекачиваемой средой (например, воздухом), увлекает её за собой и далее поступает в диффýзор — конический расширяющийся элемент насоса. В диффузоре вследствие уменьшения скорости кинетическая энергия смеси преобразуется в потенциальную энергию давления, необходимую для дальнейшего перемещения жидкости. В технике струйные насосы получили название инжекторы и эжекторы. Инжекторы — насосы, предназначенные для сжатия газов и паров, а также для нагнетания жидкостей в различные аппараты. Эжекторы — насосы, предназначенные для отсасывания газов, паров или жидкостей. 2. На принципе Бернулли основана работа некоторых приборов для измерения скорости и расхода жидкости. I) Трубка Пито–Прандтля В   названии прибора фигурирует имя французского математика, физика и гидротехника, члена Парижской академии наук (с 1724 г.) Анри Питó (H. Pitot; 1695-1771). В 1732 г. он опубликовал сочинение «Описание одного прибора для измерения скорости воды, текущей струёй из сосуда», в котором показал, что если в поток воды в канале опустить трубку, загнутую навстречу потоку (см. рис. 6), то вода в трубке поднимается выше уровня воды в самом канале. При этом высота подъёма воды в трубке (h) пропорциональна скорости потока (v). Однако измерение скоростей потоков в напорных трубопроводах с помощью только трубки Пито технически невозможно, так как за счёт повышенного давления жидкость может подниматься на значительную высоту. (Как известно, давление в 1 избыточную атмосферу поднимает воду на 10 м!) В связи с этим в начале XX века немецкий учёный Людвиг Прандтль предложил дополнить конструкцию второй трубкой, отверстие которой параллельно линиям тока. Измеряя разность давлений в этих двух трубках, можно рассчитать скорость потока. Для получения расчетной зависимости рассмотрим горизонтальную трубку тока, упирающуюся своим концом в отверстие трубки Пито. Вдали от отверстия жидкость, имеющая плотность L, течёт со скоростью v; давление в жидкости равно р. У преграды (у отверстия трубки Пито), то есть в критической точке, давление равно ро, а скорость потока vo = 0. Запишем уравнение Бернулли для этой элементарной струйки:  , (10.1)откуда, учитывая, что z = zo, а vо = 0,  . (10.2)Скорость, а, следовательно, и давление вблизи отверстия трубки Прандтля практически не отличаются от скорости и давления в невозмущённом потоке. Таким образом, в двух трубках прибора создаётся разность давлений, равная  .Эту разность давлений можно измерить, например, U-образным дифференциальным манометром, заполненным манометрической жидкостью с плотностью м. При фиксируемой разности уровней манометрической жидкости в коленах дифманометра, равной hм, в соответствии с уравнением гидростатики имеем:  . Отсюда: . (10.3)Индекс «i» у символа скорости здесь показывает, что определена скорость i-ой элементарной струйки, то есть локальная скорость потока в месте установки датчика (трубки Пито). Измерив скорости в различных точках, можно определить среднюю скорость потока по формуле (4.5), а зная последнюю — расход жидкости по формуле (4.6). II) Дроссельные устройства К дроссельным устройствам относятся мерная диафрагма, мерное сопло, труба Вентури и др. Мерная диафрагма (рис. 7) представляет собой устройство, которое имеет тонкий металлический диск Д с центральным круглым отверстием, имеющим заострённую кромку. Диаметр отверстия диафрагмы do меньше диаметра d трубы Т, на которой устанавливается диафрагма. Диск диафрагмы с обеих сторон зажимается металлическими кольцами К, внутренний диаметр которых равен диаметру d трубопровода Т. В наиболее распространённом варианте исполнения диафрагмы в указанных кольцах выполнены кольцевые камеры, усредняющие по поперечному сечению потока давление р до диафрагмы и давление ро за отверстием в диске. П   ри монтаже на трубопроводе мерная диафрагма укрепляется между фланцами Ф, приваренными на трубе Т. Мерное сопло (рис. 8) — деталь специального профиля, имеющая плавно закруглённый вход и цилиндрическое выходное отверстие диаметром do, меньше диаметра трубы d. Труба Вентури3 (рис. 9) — конструкция, имеющая на входе цилиндрический участок, затем — конфузор (сходящийся усечённый конус), цилиндрическое горло и диффузор (расходящийся конус). Длины цилиндрических участков равны их диаметрам. Отборы давлений р и ро производятся в серединах цилиндрических элементов конструкции. Как видим, названные устройства различаются конструктивно, но являются однотипными по принципу действия. В узких местах этих дроссельных приборов скорость потока возрастает пропорционально квадрату уменьшения диаметра, а давление — понижается от величины р [до устройства] до величины ро [в узком месте]. Измерив, например, дифференциальным манометром, возникающую разность давлений, можно оценить скорость течения жидкости. Формула для расчёта скорости потока в трубе диаметром d имеет вид:  . (10.4)Формула (10.4) получена на основе предположения об идеальности жидкости. Фактически дроссельные устройства используются для измерения скоростей реальных (вязких) сред, в связи с чем правая часть формулы умножается на коэффициент расхода дроссельного прибора (α), значение которого индивидуально для каждого устройства и определяется по соответствующим справочникам. Всем хорошо известна история, произошедшая с пароходом «Титаник». И мало кто знает об истории, случившейся несколько ранее с его аналогом – пароходом «Олимпик». Однажды этот океанский лайнер проплывал по водам одной из бухт, а в это же время рядом с ним параллельным курсом шёл крейсер «Гаук». Неожиданно «Гаук» повернул на 90° и на полном ходу врезался в борт «Олимпика», учинив в нём пробоину. Капитан «Гаука» был обвинён в нарушении законов лоции, и подвергнут суду. Впоследствии удалось доказать, что истинным «виновником» происшествия являлся… принцип Бернулли. Дело в том, что суда двигались на небольшом расстоянии друг от друга, и в пространстве между ними давление воды понизилось. В результате повышенная с одной стороны сила давления воды на борт судна развернула корабль, что и привело к катастрофе. Кстати, некоторые историки полагают, что вскоре «травмированный» «Олимпик» и «здоровый» «Титаник» поменялись именами. То есть на ледяные глыбы напоролся латанный, бывший «Олимпик»! По той же самой причине (по причине уменьшения давления в потоке среды) категорически запрещается находиться вблизи железнодорожного полотна, по которому с большой скоростью движется состав. Материал подготовил В. Н. Бобылёв 1 Навье Луи Мари Анри (H. Navier; 1785-1836), франц. инженер и учёный. В 1822 г. впервые вывел уравнения движения несжимаемой вязкой жидкости. 2 Стокс Джордж Габриель (J. G. Stokes; 1819-1903), англ. физик и математик, член (с 1851 г.) и президент (в 1885-1890 г.г.) Лондонского королевского общества. В 1845 г. вывел уравнения движения для газа. 3 Вентури Джованни Батиста (G. Venturi; 1746-1822), итал. учёный. В 1797 г. опубликовал исследование об истечении воды через короткие цилиндрические и расходящиеся насадки. В 1887 г. амер. учёным В. Гершелем был предложен водомер, названный именем Вентури. |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Лекции по физике, химии, биологии, математике и географии С 1 по 5 февраля в Томском государственном университете впервые проходят Дни науки: необычные лекции с применением эксперимента собрали... | | Ричард Докинз Слепой часовщик Калифорнийском университете в Беркли. С 1970 года он читал лекции по зоологии в Оксфордском университете и был членом совета Нового... |
 | Суммирующая машина Паскаля Француз Блез Паскаль начал создавать суммирующую машину «Паскалину» в 1642 г в возрасте 19 лет, наблюдая за работой своего отца,... | | Тема «Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли и ее применение» Образовательные: дать понятие о формуле Бернулли, научить ею пользоваться, при решении задач |
| Лекции по античной философии. М.: Аграф, 1997; Современная европейская... Издаваемый впервые настоящий курс лекций (или бесед, как называл их сам автор) был прочитан в 1986/1987 учебном году в Тбилисском... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Именно это я использовала на уроке, который проводила в виде лекции с демонстрацией слайдов программы «Живая математика» |
| М. В. Карапетян лекции по теоретической грамматике английского языка владимир Предлагаемые в пособии лекции разрабатывались автором с 2004 года и читались во Владимирском государственном университете студентам,... | | Наука и образование С 1 по 5 февраля в Томском государственном университете впервые проходят Дни науки: необычные лекции с применением эксперимента собрали... |
| М. А. Сафонов Начальник уадипк /О. М. Мысенко С 1 по 5 февраля в Томском государственном университете впервые проходят Дни науки: необычные лекции с применением эксперимента собрали... | | Влияние фитонцидов на жизнедеятельность микроорганизмов С 1 по 5 февраля в Томском государственном университете впервые проходят Дни науки: необычные лекции с применением эксперимента собрали... |
| Эти удивительные волки. (обзор литературы) С 1 по 5 февраля в Томском государственном университете впервые проходят Дни науки: необычные лекции с применением эксперимента собрали... | | Литература по математике (алгебра, геометрия, математический анализ,... Математика on line. В помощь студенту. Основные математические формулы по алгебре, геометрии, тригонометрии, высшей математике, исторические... |
| Материалы сезонной научной школы С 1 по 5 февраля в Томском государственном университете впервые проходят Дни науки: необычные лекции с применением эксперимента собрали... | | Благоварский район образован 31 января 1935 года С 1 по 5 февраля в Томском государственном университете впервые проходят Дни науки: необычные лекции с применением эксперимента собрали... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... По всем статьям, Гарри Поттер был весьма необычным ребёнком. Взять хотя бы то, что он ненавидел летние каникулы. Или то, что он искренне... | | Рабочая программа по математике Общего образования / Сборник нормативных документов. Математика, М: Дрофа, 2009/ в соответствии с программой для общеобразовательных... |
