Тема «Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли и ее применение»

Тема «Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли и ее применение» 11 класс Учитель математики высшей категории МАОУ лицея № 97 Каткова О.В. Цели: Образовательные: дать понятие о формуле Бернулли, научить ею пользоваться, при решении задач Развивающие:  способствовать овладению основными способами мыслительной деятельности учащихся (сравнивать, анализировать, обобщать.);  способствовать формированию познавательного интереса к предмету развитие логического мышления, внимания. Воспитательные: Формировать у учащихся метод на­учного познания, как обобщение, рассмотрев применение формулы Бернулли  повышать и развивать интерес к предмету математика;  способствовать формированию нравственных качеств личности (уважительное отношение к мнению одноклассников и их работам). Используемые образовательные технологии: проблемного обучения, технология развивающего обучения; активного обучения, эмоционально-смыслового подхода. Методическое оснащение занятия: Материально-техническая база: компьютеры; проектор, интерактивная доска. Дидактическое обеспечение: мультимедийный проектор, интерактивная доска, учебник 11 класса и задачник – автор А.Г. Мордкович. Вид занятия. Усвоение новых знаний. Мотивация познавательной деятельности учащихся. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений  -сложения и умножения вероятностей - при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу. План урока: 1 Организационный момент. 2. Повторение основных понятий прошлого урока. 3. Подготовка учащихся к восприятию нового материала 4. Домашнее задание Ход урока Организационный момент Проверка домашнего задания Применение знаний при решении типовых примеров и задач. Ре­шить задачи 1—3 устно, 4—8 письменно; Вероятность того, что день будет дождливым, равна 0,7. Най­ти вероятность того, что день не будет дождливым. Решение: Ответ. 0,3. В урне 10 белых и 15 черных шаров. Из урны наудачу выни­мают один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый. От­вет. 0,4. , В урне 10 белых и 15 черных шаров. Из урны вынимают сра­зу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми. Ответ. 0,15. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандарт­ных, во втором — 30 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероят­ность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика стандартна. Ответ. 0,475. 5. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероят­ность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса. Ответ. 0,496. Три электрические лампочки последовательно включены в цепь. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, если напряжение в сети превысит номинальное, равна 0,6. Найти веро­ятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не бу­дет. Ответ. 0,936. В группе 12 мальчиков и 18 девочек. Нужно выбрать делега­цию из двух человек. Найти вероятность того (если считать выбор случайным), что выбраны: а) два мальчика; б) две девочки; в) девочка и мальчик. Ответ, а) 0,152; б) 0,352; в) 0,497. Имеется три урны с шарами: в I урне - 4 белых и 5 черных шаров, во II - 5 белых и 4 черных шара, в III - 6 белых шаров. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар окажется белым. Ответ. 0,667. Повторение опорных знаний учащихся. Повторить с учащимися определение, формулы, свойства сочетаний. V. Изучение нового материала. Прежде чем рассматривать вывод формулы Я. Бернулли в общем виде, нужно рассказать о повтор­ных испытаниях и решить з а д а ч у: 1. Производится три независимых выстрела из оружия по мишени при условии, что вероятность попадания в мишень Р(А)=Р. Найти вероятность того, что при этих выстрелах произойдет ровно два попадания. В общем виде формула Я. Бернулли имеет вид , где п — количество независимых опытов; к — коли­чество опытов, в каждом из которых событие А осуществляется с вероятностью р и не осуществляется с вероятностью. Формулу Бернулли полезно вывести, так как в процессе вывода используются теоремы умножения и сложения вероятностей. Теорема: Если вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: где Доказательство Так как в результате n независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие A наступает с вероятностью , следовательно, противоположное ему событие с вероятностью . Обозначим Ai — наступление события A в испытании с номером i. Так как условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Пусть в результате n опытов событие A наступает k раз, тогда остальные n − k − раз это событие не наступает. Событие A может появиться k раз в n испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из n элементов по k. Это количество сочетаний находится по формуле: . При этом вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей: . Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим окончательную Формулу Бернулли: где q = 1- p Рассмотрим примеры применения: Пример 1. Вероятность выхода за границы поля допуска при обработке деталей на токарном станке равна 0,07. Определить вероятность того, что из пяти наудачу отобранных в течение смены деталей у одной размеры диаметра не соответствуют заданному допуску. Решение. Условие задачи удовлетворяет требования схемы Бернулли. Поэтому, полагая , по формуле получаем Ответ: 0,262 Пример 2. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми? Решение. Ответ: 0,2787 Пример 3. Вероятность приема радиосигнала при каждой передаче равна 0,8. Найти вероятность того, что при пятикратной передаче сигнал будет принят ровно 4 раза. Ответ. 0,41. Пример 4. Монета подбрасывается 10 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадает ровно 8 раз. Ответ. 0,044. VI. Применение знаний при решении типовых примеров и задач. Решить задачи типа: Баскетболист забрасывает мяч в корзину с вероятностью попадания Р=0,4. Что вероятнее: ожидать попадание трех мячей при четырех бросках или попадание четырех мячей при шести бросках? Всхожесть семян данного сорта растений оценивается веро­ятностью 0,8. Найти вероятность, что из пяти посеянных семян взойдет не меньше четырех. Ответ. 0,74. Сколько испытаний потребуется для того, чтобы сделать ве­роятность события, которое произошло хотя бы один раз, равной не менее 0,5, если вероятность этого события при одном испытании равна 0,01? Ответ. Не менее 70 испытаний. При стрельбе в тире вероятность попадания пули в мишень равна . Сколько раз нужно выстрелить, чтобы вероятность по меньшей мере одного попадания в мишень была больше чем 0,9? Ответ. Более 6 раз. Самостоятельное применение знаний, умений и навыков. Про­вести самостоятельную работу с выборочной проверкой. Примерное содержание работы: Вероятность того, что расход электроэнергии на протяжении одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие шесть суток расход электроэнер­гии в течение четырех суток не превысит норму. В цехе имеется шесть моторов. Для каждого мотора вероят­ность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти ве­роятность того, что в данный момент: а) включено 4 мотора; б) включены все моторы, в) выключены все моторы. Ответ. а) 0,246; б) 0,262; в) 0,000064. Подведение итогов занятия. Домашнее задание. Гл. 5, §23, № 23.5, 23.7, 23.10, 23.12.

Похожие:

	Тема урока Элементы содержания Основные принципы проведения клинических испытаний (на примере испытаний лекарственных препаратов)…5		Листопадова Ольга Викторовна Предмет: Информатика Класс: 2 Тема: Последовательность событий Цель: Научить определять последовательность событий, находить и исправлять ошибки в последовательности событий
	Конспект урока Тема «Определение арифметической прогрессии. Формула... Тема «Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии.»		Рекомендательный список посредников Международного центра по урегулированию... Гоу впо «российский государственный торгово-экономический университет» новосибирский филиал
	Отчет изложен на 15 страницах машинописного текста, содержит 8 таблиц... Объект исследования – вода после фильтрации системой очистки воды «Золотая Формула zf-2» (ту 3697-001-96144318-2008) производства...		Урок, посвященный Содружеству Независимых Государств в 8-9 классах... Цель: Показать учащимся значение сотрудничества стран, входящих в состав Содружества Независимых Государств, в духовной, экономической,...
	Научный реферат Определите число независимых компонентов в равновесной системе, состоящей из расплава, содержащего MgO и SiO2, твердых фаз MgO∙SiO2...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Ребята, вы знаете, как расшифровывается абревиатура снг? (Содружество Независимых Государств) Какое красивое и самое главное емкое...
	Урок по теме: «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена» Образовательные цели: Расширить знания учащихся о числовых последовательностях, рассмотрев числовую последовательность особого вида...		Сибирский федеральный университет «Квалификационные методы испытаний и мониторинг смазочных материалов»«производство и применение технических жидкостей и специальных...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Победе 9 мая 1945 г и Содружеству Независимых Государств (см. «Концепцию председательства Республики Беларусь в Содружестве Независимых...		Элективный курс Движение жидкостей и газов. Закон Бернулли на уроках основного курса
	Межгосударственный стандарт Настоящий Стандарт устанавливает общие требования к заголовку библиографичес­кой записи и правила его составления набор сведений,...		Введение в профессию (журналисткое образование и культура учебного труда) «Квалификационные методы испытаний и мониторинг смазочных материалов»«производство и применение технических жидкостей и специальных...
	Вопросы по курсу «Актуальные проблемы современной науки и журналистика» «Квалификационные методы испытаний и мониторинг смазочных материалов»«производство и применение технических жидкостей и специальных...		Анализ трех и более независимых групп количественных данных Изложенный материал дает общие сведения о статистических критериях, применяемых для проверки гипотез о равенстве средних трех и более...