«Что изучает проективная геометрия?»
Скачать 156.25 Kb.
|
| Муниципальное общеобразовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа № 5 г. Грязи Липецкой области Программа элективного курса «Что изучает проективная геометрия?». Составила учитель математики Антипова Людмила Олеговна. г. Грязи 2008 г. I. Пояснительная записка. Элективный курс разработан для учащихся 10-11 классов общеобразовательных школ и рассчитан на 14 часов. Предлагаемый курс знакомит учащихся с проективной геометрией, позволяет глубже понять теоремы элементарной геометрии, помогает четче увидеть связь между различными геометриями, в частности между геометрией Лобачевского и геометрией Евклида. При изучении курса заостряется внимание на темах, выходящих за рамки элементарной геометрии. В частности, в высших разделах проективной геометрии рассматривается целый ряд вопросов о свойствах и классификации уже не просто геометрических фигур, а целых наук – возможных различных геометрий. В этом курсе учащиеся узнают, как из одного источника (из самой проективной геометрии) возникают такие науки, как евклидова геометрия, изучаемая в школе и геометрия Лобачевского, а также других геометрий. II. Цель: обнаружить более общие и глубокие свойства геометрических фигур, чем это позволяют делать отображения, перемещения и подобия, а также те свойства, которые принадлежат данной фигуре и всем ее проекциям более глубоко, чем те, которые сохраняются только при перемещениях и подобиях. Цель этого курса предусматривает решение следующих задач:
III. Формы контроля.
IV. Ожидаемые результаты. В результате изучения данного курса учащиеся должны: 1) уметь исследовать связи и зависимости, отделять существенные характеристики изучаемого объекта от несущественных; 2) уметь обосновывать суждения, приводить доказательства (в том числе от противного); 3) уметь строить кривые 2-го порядка; 4) уметь применять теоремы при решении задач; 5) уметь изображать на плоскостях β и γ более сложные кривые; 6) уметь строить движение, перемещение, подобие, отображение; 7) уметь строить центральное проектирование плоской фигуры с одной произвольной плоскости на другую произвольную плоскость; 8) уметь находить информацию по интересующей теме; 9) уметь выступать перед публикой. V. Содержание курса.
Отображения в элементарной геометрии. Свойства фигур изучаемые в проективной геометрии. Центральное проектирование. Проектирование, как обобщение перемещений подобий. Теорема Чевы и следствия из нее.
Свойства проектирования. Свойства фигур, изучаемые в проективной геометрии. Замкнутость проективной прямой и кривых второго порядка. Проективная плоскость.
Теорема Дезарга и ее доказательство. Теорема Дезарга в стереометрии и начертательной геометрии. 4.Проективная геометрия кривых второго порядка. Теорема Паскаля. Решение задач с помощью теоремы Паскаля. Построение кривой второго порядка по пяти точкам.
Аффинная плоскость. Метрическая (евклидова) плоскость. Обход гиперболы. Изображение на плоскостях β и γ более сложных кривых.
Геометрия Лобачевского. Введение несобственной кривой второго порядка.
Исследование фигур методом проектирования: «приближение бесконечности». Проективная геометрия и практика решения задач. VI. Учебно-тематическое планирование.
VII. Литература. 1.Власова И.Н., Малых А.Е. Очерки по истории элементарной геометрии (материалы для спецкурса по геометрии)- Пермь: 1998г. 2. Власова И.Н., Малых А.Е. Исторические фрагменты для уроков геометрии //Математика, 2001г., № 35-38. 3. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. Пособие для учителей.–М.: Просвещение, 1983г. 4. Кутузов Б.В. Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии. - М: Учпедгиз, 1950г. 5. Лаптев Б.Л. Геометрия Лобачевского и ее значение. – М: Знание, 1976г. 6. Потоцкий М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. – М: Учпедгиз, 1956г. 7. Потоцкий М.В. Что изучает проективная геометрия. – М: Просвещение, 1982г. 8.Фискович Т.Т. Геометрия для старшеклассников и абитуриентов. – М: МЦНМО, 2000г. 9. Щербаков Р.Н. , Пичурин Л.Ф. От проективной геометрии – к неевклидовой. – М: Просвещение, 1979г. ПРИЛОЖЕНИЕ. Методические рекомендации по изучению курса. Тема 3. Теорема Дезарга. На этом занятии мы рассмотрим так называемую теорему Дезарга. Эта теорема говорит о взаимном расположении двух треугольников, находящихся в одной или различных плоскостях. Теорема Дезарга будет для нас интересна с различных точек зрения. Во-первых, это будет первая проективная теорема, с которой мы познакомимся: в ней будет идти речь только о взаимной принадлежности геометрических образов. Во-вторых, эта теорема интересна тем, что она является одной из важнейших теорем начертательной геометрии, на ее основе будет решаться множество задач проекционного черчения и строиться чертежей в стереометрии. Мы на этом дальше остановимся. Но особенно велико значение теоремы Дезарга в научном построении проективной геометрии. На основе теоремы Дезарга возникают важнейшие понятия проективной геометрии. Но прежде, чем рассмотреть Теорему Дезарга, давайте послушаем сообщение о Дезарге. Теорема Дезарга и ее доказательство. Если два треугольника АВС и АВС расположены в различных плоскостях (или в одной плоскости) так, что прямые (АА'), (ВВ') и (СС'), соединяющие их соответственные вершины, пересекаются в одной точке S, т.е. (АА')∩(ВВ')∩(СС')=S, то их соответственные стороны (АВ) и (А'В'), (ВС) и (В'С'), (АС) и (А'С') пересекаются в трех точках M,N,P одной прямой (прямая Дезарга), т.е. (АВ)∩(А'В')=M, (ВС)∩(В'С')=N, (АС)∩(А'С')=P и M, N,P Є ℓ.  Обратим внимание: 1) на то, что теорема Дезарга как проективная теорема ни в своей формулировке. Ни в доказательстве не содержит измерительных понятий; 2) на способ доказательства теоремы Дезарга. Это доказательство теоремы получается только из внимательного рассмотрения чертежа. Никаких вспомогательных построений проводить не придется; 3) принципиальный интерес представляет то, что доказывать теорему Дезарга надо сначала для пространственного расположения треугольников, и лишь из него получается доказательство для плоского их расположения. Суть дела состоит в следующем. В школе мы изучаем сначала планиметрию, а потом стереометрию, во-первых, потому, что планиметрия проще стереометрии ( и стереометрия основывается на планиметрии); во-вторых, потому, что планиметрия может существовать сама по себе, независимо от стереометрии. Короче говоря, доказывая теоремы планиметрии, мы совсем не думаем ( и не должны думать) о том, что «вокруг» нашей плоскости существует пространство, что плоскость «лежит» в пространстве. Все наши доказательства протекают в самой плоскости, в которой мы рассматриваем (в планиметрии) наши фигуры. И если бы трехмерного пространства вовсе не существовало, то это обстоятельство не повлияло бы на теоремы планиметрии. И вообще мы можем изучать планиметрию и не изучать стереометрию. Совсем иначе обстоит дело в проективной геометрии. Плоская проективная геометрия может существовать только при том условии, что плоскость, о которой в ней идет речь, окружена трехмерным пространством. Именно теорему Дезарга в плоскости (для двух треугольников, лежащих в одной плоскости) можно доказать, только «выйдя сначала в пространство», т. е. доказав сначала теорему Дезарга для двух треугольников, расположенных в разных плоскостях. Доказательство (для случая пространственного расположения треугольников, рис.1 а). Прямые (AA') и (BB') пересекаются в точке S. Значит, они лежат в одной плоскости. Следовательно, в этой же плоскости лежат точки A, A', B, B'. Отсюда следует, что прямые (AB) и (A'B') пересекаются (так как в проективной геометрии всякие две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются). Они пересекаются в точке M, лежащей на линии пересечения плоскостей α и α'. Действительно, прямая (AB) лежит в плоскости α, а прямая (A'B') лежит в плоскости α'. Поэтому они могут пересечься только в одной точке, лежащей одновременно в плоскостях α и α', т. е. на линии их пересечения. Точно так же доказываем, что и другие пары прямых (BC) и (B'C'), (AC) и (A'C') пересекаются соответственно в точках N и P, лежащих на линии пересечения плоскостей α и α', т. е. на одной прямой с точкой М. Теорема доказана. Обратная теорема (рис.1 а). Если два треугольника АВС и А'В'С' расположены в различных плоскостях (или в одной плоскости) так, что их соответственные стороны (АВ) И (А'В'), (ВС) И (В'C'), (AC) и (A'C') пересекаются в трех точках M,N,P одной прямой, то прямые (AA'), (BB'), (CС'), соединяющие их соответственные вершины, пересекаются в одной точке S. Дано: (AB) ∩ (A'B')=M, (BC) ∩ (B'C')=N, (AC) ∩ (A'C')=P. Требуется доказать: (AA') ∩ (BB') ∩ (CC')= S. Прежде всего, заметим, что в случае пространственного расположения треугольников АВС и A'B'C' уже из того обстоятельства, что их соответственные стороны попарно пересекаются в трех точках, следует, что эти три точки лежат на одной прямой. Действительно, пусть треугольник АВС лежит в плоскости α, а треугольник А'В'С' лежит в плоскости α'. Тогда прямая АВ лежит в плоскости α а прямая А'В' лежит в плоскости α'. По условию они пересекаются. Следовательно, их общая точка должна лежать на линии пересечения плоскостей α и α'. То же рассуждение имеет место и для других пар сторон. Следовательно, все три точки M,N и P пересечения соответственных сторон лежат на одной прямой – на линии пересечения плоскостей α и α'. Доказательство. 1. По условию прямые (АВ) и (А'В') пересекаются в точке M. Следовательно, они лежат в одной плоскости. Но тогда и точки А, В, А', В' лежат в этой же плоскости. Следовательно, прямые (АА) и (В'В') тоже лежат в этой плоскости и пересекаются в некоторой точке S1 (рис 1.б). 2.По условию прямые (ВС) и (В'С') пересекаются в точке N. Следовательно, они лежат в одной плоскости. Поэтому точки В, С, В', С' лежат в этой же плоскости. Следовательно, прямые (ВВ') и (СС') пересекаются в некоторой точке S2. 3.По условию прямые (АС) и (А'С') пересекаются в точке P. Следовательно, они лежат в одной плоскости. Поэтому точки А, С, А', С' лежат в этой же плоскости. Следовательно, прямые (АА') и (СС') пересекаются в точке S3. Теперь остается доказать, что эти три прямые (АА'), (ВВ'), (СС') пересекаются в одной точке, т.е. что три точки S1, S2, S3 совпадают. Чтобы это доказать, заметим, что поскольку два треугольника АВС и А'В'С' не лежат в одной плоскости, то шесть точек А, А', В, В', С, С' не лежат в одной плоскости, а следовательно, и три прямые (АА'), (ВВ'), (СС') не лежат в одной плоскости. И наоборот, если бы три прямые (АА'), (ВВ'), (СС') лежали в одной плоскости, то и шесть точек А, А', В, В', С, С' лежали бы в одной плоскости, а следовательно, и наши треугольники АВС и А'В'С' лежали бы в одной плоскости. Отсюда сразу видно, что если бы три точки S1,S2, S3 не совпадали, то они определяли бы плоскость S1 S2 S3, в которой лежали бы три прямые (АА'), (ВВ'), (СС'), а, следовательно, и два наших треугольника АВС и А'В'С'. Но последнее противоречило бы исходному положению. Итак, три точки S1, S2 и S3 совпадают, представляя собой точку S . Теорема доказана. Обратим внимание на принципиальную сторону доказательства теоремы Дезарга. Мы уже говорили, что все доказательства протекают без единого вспомогательного построения. Доказательство получается только из внимательного рассмотрения чертежа и установления определенных, следующих из этого выводов. Теорема Дезарга прекрасно иллюстрирует мысль о том, что значит и как важно уметь смотреть на чертеж и видеть по возможности все то, что на нем изображено. Но это сводится к умению делать из обзора чертежа возможно больше логических выводов. Следует еще отметить, что все доказательство не выходит за пределы совершенно элементарных соображений, доступных всем изучающим стереометрию. Из предыдущего следует, что проведенные выше доказательства как прямой, так и обратной теоремы Дезарга теряют силу (доказательства, но не сама теорема!) в случае расположения заданных треугольников АВС и А'В'С' в одной плоскости. Действительно, в этом случае сразу не видно, что три пары прямых (АВ) и (А'В'), (ВС) и (В'С'), (АС) и (А'С') должны пересекаться в точках одной прямой (случай прямой теоремы Дезарга) и что три прямые (АА'), (ВВ'), (СС') должны пересекаться в одной точке S и не могут пересекаться попарно в трех различных точках S1, S2, S3 (так как теперь оба треугольника лежат в одной плоскости). Это обстоятельство и заставляет давать специальное доказательство теоремы Дезарга для случая плоского расположения треугольников АВС и А'В'С'. Теорема Дезарга в стереометрии и начертательной геометрии. Интересно отметить, что пространственная теорема Дезарга является обобщением одного хорошо известного факта из школьного курса стереометрии. В нем существует теорема, что если треугольную пирамиду с основанием АВС, «стоящую» на плоскости α, рассечь плоскостью α', параллельной основанию, то в сечении получится треугольник А'В'С', подобный треугольнику АВС и гомотетичный ему. Нетрудно убедиться, что в этом случае треугольник А'В'С' находится в условиях теоремы Дезарга с треугольником АВС (рис 2.а).  Действительно, прямые, соединяющие вершины (ребра пирамиды (АА'), (ВВ'), (СС')), пересекаются в одной точке – в вершине пирамиды S, а их соответственные стороны (АВ) и (АВ'), (ВС) и (В'С'), (АС) и (А'С') взаимно параллельны или, иначе говоря, пересекаются в трех точках M∞, N∞, P∞ («бесконечно удаленных» точках!) одной прямой («бесконечно удаленной» прямой). Это, так сказать, «предельный случай» теоремы Дезарга. Действительно, если провести секущую плоскость α' не параллельно основанию пирамиды, то мы получим общий случай сечения пирамиды плоскостью, т.е. общий случай теоремы Дезарга. Если эту плоскость α' поворачивать так, чтобы она образовывала все меньший угол с плоскостью α. То прямая Дезарга будет постоянно удаляться и в случае параллельности этих плоскостей станет «бесконечно удаленной». В результате мы получим предельный («школьный») случай теоремы Дезарга. Если мы удалим точку S в бесконечность, то получим теорему Дезарга для случая призмы (рис.2.б). Особенно велико значение теоремы Дезарга в стереометрических чертежах, выполняемых по правилам начертательной геометрии, которая, в свою очередь, представляет собой одну из глав проективной геометрии. Задача. Пусть в классе учащийся на доске изобразил произвольную пирамиду SABC, «стоящую» на плоскости α, и рассек ее плоскостью α', пересекающуюся с плоскостью α по прямой ℓ. Правильно ли он начертил ее сечение с плоскостью α' в виде треугольника А'В'С' (рис. 3. а, б)? Иначе говоря, мог ли он ее начертить от руки, каким хотел, на глаз, или при этом он должен был придерживаться каких-нибудь определенных правил?  С первого взгляда кажется, что для правильности чертежа достаточно лишь правдоподобно для глаза изобразить треугольник А'В'С'. Однако дело обстоит иначе. Из чертежа видно, что два треугольника АВС и А'В'С' находятся в условиях теоремы Дезарга. Поэтому точки пересечения их соответственных сторон должны лежать на одной прямой – и эта прямая должна быть прямой ℓ пересечения плоскостей α и α'. Если это условие на данном чертеже выполнено, то он верен (рис.3.а), в противном случае – ошибочен (рис.3.б). Отсюда вытекает грамотное построение таких чертежей от руки. Чертим плоскости α и α' вместе с прямой ℓ их пересечения и пирамиду SABC. Возьмем одну произвольную точку, например, А' на ребре AS, в качестве вершины треугольного сечения А'В'С' пирамиды с плоскостью α'. (По существу, этим мы однозначно определили положение самой секущей плоскости α' относительно плоскости α, так как прямой и точкой вне нее плоскость определяется). Теперь строим сечение. Продолжим ребро АВ до пересечения с прямой ℓ. Получаем точку М. Соединяем точку М с точкой А'. В пересечении прямой МА' с ребром BS получаем точку В'. В пересечении ребра ВС с прямой ℓ получаем точку N. В пересечении прямой В'Н с ребром CS получаем точку С', соединяем точки А', В', и С' – получаем треугольник А'В'С'. Так же решается вопрос об отыскании сечения треугольной призмы плоскостью, так как последнюю можно рассматривать как предельный случай треугольной пирамиды, когда ее вершина ушла в бесконечность. Подобно этому, отыскивают сечения многоугольных пирамид и призм наклонной плоскостью. Так как каждую из них можно разбить на треугольные пирамиды и призмы (рис.3. в). Более того, сечение плоскостью α' конуса или цилиндра находим также на основании теоремы Дезарга, так как это сечение мы строим по точкам с помощью вписанных пирамиды и призмы, а потом эти точки соединяем плавной кривой. Существует еще очень много проективных теорем, связанных с конфигурациями, в которые входят треугольники. Однако уже приведенные примеры показывают, как много дает знание проективных теорем даже для чисто практических целей – построения чертежей и общего их понимания. Задачи по всем тем темам. 1. Прямые ОА, ОВ, ОС, не лежащие в одной плоскости, являются неподвижными прямыми движения, но ни одна из них не является прямой неподвижных точек. Доказать, что это движение является симметрией относительно точки О. 2. Даны две симметрии g и g2 относительно взаимно перпендикулярных плоскостей α1 и α2 соответственно. Доказать, что g1 g2 = g2 g1 – симметрия относительно прямой, по которой пересекаются плоскости α1 и α2. 3. В тетраэдре DABC AB=BC=CA= a; DA=DB=DC=b. Через середину перпендикуляра DH, проведенного к плоскости АВС, проходит плоскость, параллельная плоскости DAB, пересекающая тетраэдр по треугольнику. Найти стороны этого тетраэдра. 4. Найти в пространстве геометрическое место точек, равноудаленных от трех данных точек, не лежащих на одной прямой. 5. Пусть даны пять точек A, B, C, D, Е (по три не лежащие на одной прямой). Требуется построить сколько угодно точек кривой 2-го порядка (проходящие через эти точки). 6. Построить гиперболу (точнее, сколько угодно точек гиперболы), зная одну ее асимптоту, одну касательную с ее точкой касания и одну точку кривой. 7. Определить эксцентриситет равносторонней гиперболы. 8. Фокусы эллипса находятся на оси Ох и делят его большие полуоси пополам. Написать уравнение этого эллипса, если его малая ось равна 4  .9.Прямая Х -10= 0 пересекает гиперболу и ее асимптоту соответственно в точках А и В. Написать уравнение этой гиперболы. Если ордината точки В равна 5, а длина отрезка данной прямой, заключенного внутри гиперболы, равна 8. 10. Ученик на доске изобразил произвольную пирамиду SABC, «стоящую» на плоскости α, и рассек ее плоскостью α', пересекающейся с плоскостью α по прямой ℓ. Правильно ли он начертил ее сечение с плоскостью α по прямой ℓ? Правильно ли он начертил ее сечение с плоскостью α' в виде треугольника А'В'С' (рис.1)?  Рис.1. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Что изучает биология? Что изучает ботаника? Биологические объекты, процессы и явления. Уникальные биологические объекты. История... |  | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Мы с вами начали изучать новый раздел науки о языке, который называется морфология. Что же он изучает? /раздел науки о языке изучает... |
| Урок №2. Тема: «Информация» На прошлом уроке мы говорили о появлении термина «информатика». Давайте вспомним, откуда происходит «информатика», что это за наука,... | | Разработка урока по информатике на тему «Информация» На прошлом уроке мы говорили о появлении термина «информатика». Давайте вспомним, откуда происходит «информатика», что это за наука,... |
| Секция Математика Александрова Кристина, Алексеева Валерия мбоу «Ковалинская... Важно, что геометрия есть феномен общечеловеческой культуры. Человек не может по настоящему развиться культурно и духовно, если он... | | План Факт Что изучает география ( 4 часа) 1 |
| Реферат с чего начинается логика Целью моей работы является выяснить, что изучает логика. Какими основными понятиями она оперирует. Что такое «истина» и«ложь» с точки... | | Что изучает информатика? Способы представления, накопления, обработки информации с помощью технических средств |
| Синтаксическая связь и её виды Что изучает синтаксис? Этот вопрос уместен (субъект действия подразумевается) | | Тема урока Кол-во часов Вводный инструктаж по от. Что изучает физика. Физические явления, наблюдения, опыты |
| Урок №1 «Что изучает история Средних веков?» Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования | | Что изучает история Цель урока: Формирование представления о хронологических датах как части исторических знаний |
| Что изучает предмет «музыкальная литература»? Почему художники, композиторы, деятели искусства черпают вдохновение в истории своей страны? | | Конспект урока Предмет Геометрия Класс 7 Программа/учебник, к которым составлен комплект – Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия.... |
| Рабочая программа По учебному курсу «Геометрия». для 9 класса Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия 7-9 классы / составитель Т. А. Бурмистрова. – М. Просвещение, 2008 | | Урок Что изучает география? ... |
