Рецензенты: кафедра математического моделирования экономических процессов

4.2. ИЗМЕРЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ К РИСКУ Исследуем график функции полезности, представленной на рис. 4.4. Для такого типа ЛПР полезность среднего выигрыша (полезность ОДО) больше ожидаемой полезности игры: с веро­ятностью p выиграть М1 и с вероятностью (1 - р) выиграть М2. Рис. 4.4. График функции полезности ЛПР, не склонного к риску Формально мы имеем график вогнутой функции, о которой известно, что ордината любой точки кривой больше ординаты точки хорды кривой. Определим соотношение, характеризующее ЛПР, не склонного к риску. Нетрудно видеть, что U(M1) - значение полезности в точке А; U(M2) - значение полезности в точке В; U(pM1 + (1 - р)М2) - значение полезности в точке С. Уравнение хорды АВ имеет вид: U1 = а + bМ , где U1 - совокупность точек, лежащих на отрезке прямой. Найдем значения параметров а и b уравнения прямой. В точке А имеем U(M1) = а + bМ1. В точке В имеем U(M2) = а + bМ2. Вычитаем из первого выражения второе, исключая величину a: U(M1) – U(M2) = b(M1 – М2) , откуда получаем: После подстановки значений для параметров а и b уравнение хорды АВ имеет вид: где М1  М  M2. Пусть М = рМ1 + (1 – р)М2, где 0  р  1, тогда в точке С справедливо неравенство Подставив в это неравенство вычисленные значения а и b, получим: или U(pM1 + (1 - р)М2) > PU(M1) + (1 - p)U(M2). (4.2) Неравенство (4.2) характерно для функции полезности ЛПР, не склонных к риску. Оно действительно показывает, что полез­ность среднего выигрыша (полезность ОДО) больше ожидаемой полезности игры: с вероятностью р выиграть М1 и с вероятнос­тью (1 – р) выиграть М2. Аналогично можно показать, что для функций полезности ЛПР, склонных к риску, справедливо неравенство U(pM1 + (1 – р)М2) < pU(M1) + (1 – p)U(M2). (4.3) Для функций полезности ЛПР, безразличных (нейтральных) к риску, имеет место равенство U(pM1 + (1 – р)М2) = pU(M1) + (1 – p)U(M2). (4.4) Склонность или несклонность ЛПР к риску, как уже отмеча­лось, зависит от его финансового положения, текущей ситуации принятия решения и других факторов. Иначе говоря, эта харак­теристика ЛПР не является абсолютной, присущей ему при любых обстоятельствах. Приведем пример игры, по отношению к которой любой игрок не склонен к риску. Петербургский парадокс (игра придумана петербургскими гусарами). Играют двое. Один бросает монету до тех пор, пока не выпадет «орел». Выигрыш равен (2)n руб., где п - число брос­ков до появления «орла». Ожидаемая величина выигрыша: ОДО = 2(1/2) + (2)2 (1/4) + (2)3(1/8) + ... = 1+1+1+ ... . Вряд ли какой-либо игрок согласится заплатить за право участвовать в этой игре сумму, равную ОДО: эта сумма беско­нечно велика. Предположим теперь, что имеет место игра (лотерея) с аль­тернативами a и в, т.е. G(a,в: ). Исследуем проблему, как целе­сообразнее поступить ЛПР: играть или получить гарантирован­ный выигрыш, равный ожидаемому выигрышу. Пусть функция полезности игрока определена как U(W) = ln(W), где W- вели­чина благосостояния. Пусть игра заключается в выигрыше 5 дол. с вероятностью 0,8 и в выигрыше 30 дол. с вероятностью 0,2. Ожидаемая величина выигрыша (ОДО): E(W) = 5*0,8 + 30*0,2 = 10 дол. Для указанной логарифмической функции полезности имеем зависимость, выраженную в табл. 4.1. Таблица 4.1 W 1 5 10 20 30 U(W) 0 1,61 2,30 3,00 3,40 Рассчитаем полезность ОДО для данной игры: U(E(W)) = U(10) = ln(10) = 2,3, т.е. полезность отказа от игры при получении гарантированного выигрыша, равного 10 дол. (ОДО данной игры), оценивается в 2,3 ютиля (ютиль - условная единица полезности). Если ЛПР предпочтет игру, то E(U(W)) = 0,8U(5) + 0,2U(30) = 0,8*1,61 + 0,2*3,40 = 1,97 ютиля. Для рассмотренной логарифмической функции полезности большей полезностью обладает вариант с получением гарантированного выигрыша, равного E(W)=ОДО, а не участие в игре (2,3 > 1,97). Такое лицо, принимающее решение, не склонно к риску. Выводы. Из соотношении (4.2) – (4.4) вытекает: • если U(E(W)) > E(U(W)), игрок не склонен к риску; • если U(E(W)) = E(U(W)), игрок нейтрален (безразличен) к риску; • если U(E(W)) < E(U(W}), игрок склонен к риску. Здесь Е и U - соответственно символы математического ожидания и функции полезности.

Похожие:

	Математическое моделирование экономических систем «Основы математического моделирования экономических систем» должно способствовать развитию у студентов более глубокого понимания...		Рефератов Метод математического моделирования экономических процессов и явлений Сравнительная характеристика двух исторических этапов развития экономико-математических исследований — математической школы в политэкономии...
	Учебно-методический комплекс дисциплины Рецензенты: доктор экономических наук, профессор Лоскутов Владислав Иванович; кандидат физико-математических наук, зав кафедрой Математического...		Учебно-методический комплекс дисциплины «Методы математического моделирования» Контрольный экземпляр находится на кафедре информатики, математического и компьютерного моделирования шен двфу
	Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение... «Математические методы и модели в экономике» – освоение студентами поиска оптимальных решений задач оптимизации, методов математического...		Эконометрика Кафедра математического моделирования Башкирского государственного университета, заведующий кафедрой доктор физико-математических...
	Программа вступительных испытаний по направлению подготовки научно-педагогических... «Информационные системы и процессы» разработана профессорско-преподавательским составом кафедры компьютерного и математического моделирования,...		Урока по теме: «Применение производной» ...
	Рабочая программа по дисциплине «Электромагнитные приводы мехатронных систем» Методы исследования и моделирования процессов в электромеханических преобразователях энергии (кафедра эм)		Реферат №1 На тему: «История развития экономико-математического моделирования» Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая...
	Рабочая программа по дисциплине «Техническая диагностика электромеханических устройств и систем» Методы исследования и моделирования процессов в электромеханических преобразователях энергии (кафедра эм)		Кафедра прикладной социологии Количественные и качественные методы в прогнозировании социально-экономических процессов
	«Исследование операций и методы оптимизации» Теоретическая и практическая подготовка в области общенаучных исследований количественной стороны массовых социально-экономических...		Докладе описаны ключевые моменты математического моделирования устройств... В докладе описаны ключевые моменты математического моделирования устройств компенсации реактивной мощности на базе igbt-ключей с...
	Овместное использование функционального и имитационного моделирования... Ого моделирования, обеспечивающая повышение результативности разработки различных этапов жизненного цикла сложной технической системы....		Исследование социально-экономических и политических процессов для... Тема I: Методологический характер дисциплины «Исследование социально-экономических и политических процессов»