ПРИНЦИП МАКСИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ*
Само название предмета моей науки — "экономика" — подразумевает экономию или максимизацию. Однако экономика как наука длительное время развивалась в отрыве от проблем экономики как объекта исследования. Действительно, только в последней трети нашего века, уже в период моей научной деятельности, экономическая теория начала активно претендовать на то, чтобы приносить пользу бизнесмену-практику и государственному чиновнику. Однажды великий представитель предыдущего поколения экономистов, А. Пигу из Кембриджского университета, задал риторический вопрос "Может ли кому-нибудь прийти в голову нанять экономиста для управления пивоваренным заводом?" Ну, а сегодня самые модные средства экономического анализа, например исследование операций и теория управления, используются и на государственных, и на частных предприятиях.
* Данная работа П.А. Самуэльсоиа представляет собой Нобелевскую лекцию, прочитанную им 11 декабря 1970 г. в г. Стокгольме (Швеция) на церемонии вручения ему Нобелевской премии по экономике. В текст лекции автором были внесены небольшие изменения и дополнения.
Итак, в самой основе нашего предмета заложена идея максимизации. Мой учитель Йозеф Шумпетер как-то метко заметил, что способность человека действовать как "логическое животное", могущее систематически применять эмпирико-дедуктивный метод, сама по себе является прямым следствием дарвиновской борьбы за выживание. Подобно тому как в этой борьбе развился большой палец человека, мозг человека развивается, сталкиваясь с экономическими проблемами. Высказанная за сорок лет до недавних открытий в этологии,* сделанных Конрадом Лоренцом и Николасом Тинбергеном, эта мысль поражает своей глубиной. Не желая выходить за пределы темы моей лекции, я все же упомяну о более поздней точке зрения, высказанной Шумпетером в работе, в которой он представил читателю новую научную дисциплину — эконометрику (Schumpeter, 1933). Шумпетер писал, что количество начинает изучаться физиками и другими учеными-естественниками на довольно поздней, зрелой стадии развития их научных дисциплин. И поскольку применение количественного подхода отдано, условно говоря, на усмотрение исследователей, то тем больше чести последователям Галилея и Ньютона, использующим математические методы. Однако в экономике, как говорил Шумпетер, сам предмет исследования выступает в количественной форме: уберите численные значения цен или пропорции бартерных обменов — и у вас просто ничего не останется. Счетоводство не использует арифметику, оно само есть арифметика. Ведь на ранней стадии своего развития, согласно Шумпетеру, арифметика была именно счетоводством, точно так же, как геометрия сводилась к землемерным работам.
* Наука о поведении животных.
Я вовсе не хочу создавать у вас впечатление, что экономический анализ использует принцип максимизации прежде всего в связи с необходимостью написания учебников для тех, кто должен профессионально принимать решения. Еще до того, как экономическая наука стала выступать с практическими рекомендациями, мы, экономисты, уже занимались проблемами максимума и минимума. В доминировавшем в течение сорока лет после 1890 г трактате Альфреда Маршалла "Принципы экономической науки"* большое внимание было уделено проблеме оптимального объема производства, при котором чистая прибыль достигает максимума. Но задолго до Маршалла, в 1838 г., О. Курно в своем классическом труде "Исследования математических принципов в теории богатства" применил аппарат дифференциального исчисления к изучению проблемы нахождения объема производства, обеспечивающего максимум прибыли. Вопрос о минимизации затрат также был поставлен более ста лет тому назад. По крайней мере, им занимался фон Тюнен при рассмотрении понятия предельной производительности.
* Русский перевод этой книги, вышедший в 1982 г. в издательстве "Прогресс", был необоснованно озаглавлен ''Принципы политической экономии''.
Сейчас модно говорить о кризисе идентичности. Необходимо избегать ошибок, подобных той, которую приписывают Эдварду Гиббону, в период написания им "Истории упадка и разрушения Римской империи" Гиббон, как утверждают, порой путал себя с Римской империей. В современном театре часто стирается граница между наблюдающими зрителями и играющими актерами, а в современной науке — между наблюдающими учеными и выступающими в качестве объекта наблюдения подопытными морскими свинками (или атомами в квантовой механике). Что касается значения принципов максимума в естественных науках, то я покажу, что отвесная траектория падающего яблока и эллиптическая орбита вращающейся планеты могут быть представлены в виде оптимального решения некоторой специфической задачи математического программирования. Однако вряд ли кто-либо поддастся искушению наделить яблоко или планету свободой выбора или способностью к сознательной минимизации. Тем не менее утверждение о том, что шарик Галилея скатывается по наклонной плоскости, как бы минимизируя интеграл действия или интеграл Гамильтона, представляет ценность для физиков-наблюдателей, стремящихся сформулировать предсказуемые закономерности, присущие явлениям природы.
Почему же ученый находит полезной возможность связать позитивное описание реального поведения с решением задачи максимизации? Этим вопросом я много занимался в начале своей научной деятельности. Со времени своих первых статей, посвященных "выявленным предпочтениям" (Samuelson, 1938a, 1938b, 1948, 1953), и до завершения "Основ экономического анализа" (Samuelson, 1947) я находил эту тему увлекательной. Ученый, как и домашняя хозяйка, никогда не ощущает, что его работа закончена. В последнее время я работаю над очень трудной проблемой анализа стохастической спекулятивной цены. Интересно, например, как изменяются цены на какао на биржах Лондона и Нью-Йорка (Samuelson, 1971). Столкнувшись при этом с неудобоваримой системой нелинейных разностных уравнений и неравенств, я было отчаялся найти в математической литературе доказательство хотя бы существования решения. Но неожиданно проблема облегчилась, когда, роясь в своей памяти, я вспомнил, что мои дескриптивные соотношения могут интерпретироваться как необходимые и достаточные условия вполне определенной задачи о максимуме. Однако я забегу слишком далеко вперед, если сразу же создам у вас впечатление, что принципы максимума имеют ценность просто как удобная подпорка для аналитика. Семьдесят лет назад, когда был учрежден Нобелевский фонд, непревзойденной популярностью пользовались взгляды Эрнста Маха.* Мах, как вы помните, говорил, что цель научной деятельности заключается в "экономном" описании природы. Он вовсе не хотел этим сказать, что создать свою систему мира Ньютона побудила необходимость разработать основы навигации для обеспечения безопасного мореплавания торговых судов. Скорее, он имел в виду, что хорошее объяснение — это простое объяснение, которое легко запомнить и которое увязывается с большим разнообразием наблюдаемых явлений. Было бы ошибкой в духе Гиббона иллюстрировать это деистическими взглядами Мопертюи, в соответствии с которыми законы природы телеологичны. Мах вовсе не говорил, что Мать-Природа — экономист, он лишь утверждал, что учёный, формулирующий законы, которые описывают наблюдаемые явления, в сущности выступает как экономист или просто ведущий себя экономно человек.
* Вне зависимости от ценности концепций Маха с современной точки зрения, мы должны быть благодарны ему за ту роль, которую его идеи сыграли в создании Эйнштейном специальной теории относительности. Хотя с годами Эйнштейн и стал отвергать методологию Маха это не может подорвать ее репутацию.
Я должен отметить, что эти различные роли почти по случайному стечению обстоятельств действительно тесно связаны. Часто физику удаётся найти лучшее, более экономное описание явлений природы, если он способен сформулировать наблюдаемые законы, используя принцип максимума. Экономист часто может получить лучшее, более экономное описание экономического поведения, используя тот же инструментарий.
Позвольте мне проиллюстрировать это очень простыми примерами. Падение Ньютонова яблока может быть описано двумя способами: оно падает на землю с постоянным ускорением; или его положение как функция времени изменяется вдоль кривой, которая минимизирует (от момента начала падения до момента наблюдения) интеграл функции, представляющей собой квадрат мгновенной скорости минус линейная функция положения. "Как, — скажете вы, — Вы серьёзно считаете, что второе объяснение является простым7" Я не буду с этим спорить, замечу только, что для математически подкованного физика выражение
не более сложно, чем х = -g; и он знает, что формулировка принципа Гамильтона в вариационной форме обладает великими мнемоническими свойствами, когда речь идёт о переходе от одной системы координат к другой.
Хотя я не физик и не думаю, что многие из моих слушателей — физики, позвольте мне привести более наглядный пример полезности принципа максимума в физике. Свет перемещается в воздухе из одной точки в другую по прямой линии. Подобно случаю с падающим яблоком, это перемещение может быть описано в виде решения задачи вариационного исчисления на нахождение минимума. Но рассмотрим теперь, как свет отражается, попадая на зеркало. Вы можете увидеть и запомнить, что угол падения равен углу отражения. Более наглядным средством, облегчающим понимание этого факта, является принцип наименьшего времени Ферма, который был известен уже Герону и другим учёным Древней Греции. Приведённый ниже чертёж, на котором указаны равные треугольники, говорит сам за себя (рис. 1).
Если длина отрезка АВС' явно меньше длины ломаной ADC', то очевидно, что путь АВС (равный АВС') короче и занимает меньше времени, чем любой другой путь, например путь ADC.
Вы вправе утверждать, что, хотя представление в виде минимума является удобным, оно ничем не лучше другого. Но пойдите после этой лекции в свою ванную комнату и посмотрите на своё отражение, опустив в воду большой палец ноги. Ваши конечности больше не будут выглядеть прямыми, поскольку скорость распространения света в воде отличается от скорости его распространения в воздухе. Принцип наименьшего времени даёт вам ключ к описанию поведения света в таких условиях, а знание закона Снелла об углах — нет. Кто теперь может сомневаться относительно того, какое из двух научных объяснений лучше?
Пример из области экономики
Позвольте мне показать то же самое применительно к экономике, взяв в качестве примера простейший случай. Рассмотрим фирму, стремящуюся к максимизации своей прибыли, которая продаёт продукцию в соответствии с кривой спроса, причём цена является невозрастающей функцией продаваемого количества. Предположим далее, что для выпуска продукции необходимо затратить один, два или девяносто девять видов различных ресурсов. Ради простоты будем считать, что производственная функция, связывающая объёмы затрат и выпуска, является гладкой и вогнутой.
Экономист, мыслящий в стиле Маха, будучи учёным-позитивистом, заинтересованным попросту в регистрации и систематизации наблюдаемых фактов, мог бы в принципе перенести на перфокарты информацию о 99 функциях спроса, связывающих количество каждого ресурса, покупаемого фирмой, с 99 переменными, отражающими цены на ресурсы. Какой, колоссальной задачей было бы хранение массивов информации, определяющих 99 различных поверхностей в стомерном пространстве! Однако на самом деле 99 поверхностей не являются независимыми. В действительности достаточно знать единственную "родительскую" поверхность, для того чтобы иметь возможность получить путём расчётов точную информацию о 99 "детях". Каким же образом становится возможной такая громадная экономия в описании? Да в силу того факта, что наблюдаемые кривые спроса, которые великий шведский экономист предпоследнего поколения Густав Кассель считал неделимыми атомами в теоретическом арсенале экономиста, в действительности являются решениями задачи максимизации прибыли! При обычных условиях регулярности эти решения представляют собой функции, обратные семейству частных производных функции совокупного дохода, который определяется как произведение объёма продукции (при данных объёмах затрат всех ресурсов) на цену спроса, по которой эта продукция будет продана. При условии гладкости и строгой вогнутости эта "родительская" функция дохода имеет своими "детьми" матрицу частных производных второго порядка размерности 99х99, которая является симметричной и отрицательно определенной. Легко доказать, что эти функции могут быть однозначно обращены в форму нового семейства "детей" с теми же самыми свойствами. 99 таких "детей" не могут не иметь "родительской" функции, которую, если бы она никогда не существовала, мы должны были бы создать, подобно Пигмалиону. Математически это выглядит так:
где
— гладкая, строго вогнутая "регулярная функция дохода. Необходимыми условиями максимума будут
Если, кроме того, матрица Гесса вторых частных производных является отрицательно определённой,, то уравнений (2) достаточно для максимума. Отсюда вытекают обратные соотношения, которые могут интерпретироваться как частные производные сопряженной функции Хотеллинга-Роя Н., а именно:
Отсюда следует, что при
наши переменные удовлетворяют неравенству
Можно сказать и больше. Хотя мне трудно представить себе характер поверхностей даже в трёхмерном пространстве, я могу уверенно заявить на основе вышесказанного, что повышение цены на любой ресурс при сохранении остальных цен постоянными определённо приведёт к снижению спроса на этот ресурс со стороны фирмы, т.е. дvi / дрi < 0. Такой банальный результат мог бы предвидеть любой, кто вникнет в ситуацию и спросит себя' "Предположим, я был бы последним простаком среди предпринимателей. Что я стал бы делать, чтобы сохранить по возможности большую прибыль в случае подорожания одного из ресурсов?
Здесь здравый смысл и высшая математика оказываются в согласии. Однако все мы знаем о парадоксе Гиффена, в соответствии с которым повышение цены на картофель — основную еду бедных ирландских крестьян — может снизить их жизненный уровень настолько, что заставит покупать скорее больше, чем меньше картофеля. В этом случае сам здравый смысл обнаруживается только под прожектором математики.
С помощью математики я могу видеть свойство 99-мерных поверхностей, скрытое от простого глаза. Если повышение цены удобрений (только их одних) всегда приводит к увеличению закупок некоей фирмой чёрной икры, то из одного этого факта я могу предсказать результат следующего эксперимента, который никогда не проводил сам и по которому не располагаю никакими данными наблюдений: повышение цены на одну только икру приведет к росту закупок фирмой удобрений. В термодинамике такие условия взаимности или интегрируемости известны как условия Максвелла. В экономике они известны как условия Хотеллинга — в честь Гарольда Хотеллинга, сформулировавшего их в 1932 г. (Hotelling, 1932).
Одна из привлекательных сторон научной деятельности состоит в том, что мы все карабкаемся на небеса на плечах своих предшественников. Экономика, подобно физике, имеет своих героев, и букву "Н" я использовал в своих математических уравнениях не в честь сэра Уильяма Гамильтона (Hamilton), а скорее в честь Гарольда Хотеллинга (Hotelhng). Ведь именно его работа столь сильно вдохновляла меня, когда я начинал свою карьеру Примерно в это же время покойный Генри Шульц пытался эконометрическими методами проверить соответствие условии интегрируемости Хотеллинга эмпирическим данным (Schultz, 1938).
Имеются еще и другие предсказуемые условия определенности, касающиеся того, насколько описанные "перекрестные эффекты" должны быть слабыми по сравнению с "собственными эффектами" повышения цен, однако я не буду отнимать у аудитории время на их обсуждение. Упомяну лишь об одном условии: знаки всех главных миноров должны чередоваться.
В качестве последней иллюстрации черной магии, посредством которой формула максимума позволяет получить четкие выводы относительно сложной системы с большим числом переменных, позвольте напомнить о работах, в которых я сформулировал и обобщил принцип, известный в физике как принцип Ле Шателье (Samuelson, 1947, 1958, 1960а). Этот принцип был обнародован почти сто лет тому назад французским физиком, который занимался термодинамикой, развивая в ней направление, связанное с именем Гиббса. Принцип не отличается большой ясностью. Треть века тому назад, когда я зачитывался различными трактатами по физике, мое математическое ухо не могло различить, какую мелодию в них играют. Если вы сегодня возьмете большинство книг по физике, возможно, вас постигнет та же участь. Обычно в них используются невразумительные телеологические аргументы. Например, можно прочесть нечто подобное: "Если вы наложите внешнее ограничение на систему, находящуюся в равновесии, то она перейдет в новое состояние равновесия, позволяющее поглотить изменение" (или "противодействовать ему", или "подстроиться под него" или "минимизировать его").
В свое время я был поражен замечанием, сделанным одним из моих преподавателей в Гарварде, Эвином Бидвеллом Уилсоном Уилсон учился у Уилларда Гиббса в Йеле и плодотворно работал во многих областях математики и физики. Его учебник высшей математики использовался как стандартное пособие в течение десятилетий. Ему принадлежит капитальная доработка лекций Гиббса по векторному анализу. Он написал один из первых учебников по аэродинамике. Он был другом Р. А. Фишера и экспертом по математической статистике и демографии. Наконец, он рано заинтересовался работами Парето и стал читать лекции по математической экономике в Гарварде. Моя более ранняя формулировка неравенства (4) появилась в значительной мере благодаря лекциям Уилсона по термодинамике. В частности, на меня сильное впечатление произвело его заявление, что тот факт, что повышение давления сопровождается уменьшением объема, — не столько теорема о системе термодинамического равновесия, сколько математическая теорема о вогнутых вверх поверхностях или отрицательно определенных квадратичных формах. Вооружившись этими сведениями, я вознамерился осмыслить принцип Ле Шателье.
Позвольте мне привести общепринятую формулировку этого принципа. "Сожмите резиновый шар, и его объем уменьшится. Сравните, однако, как сокращается его объем при двух разных условиях эксперимента. Сначала представьте себе, что его поверхность изолирована от окружающего мира, так что так называемая порожденная теплота не может теряться. Во втором случае снова сожмите резиновый шар, однако пусть его температура уравняется с температурой в помещении. Тогда, в соответствии с принципом Ле Шателье, сокращение объема в случае, когда система изолирована, будет меньшим, чем во втором случае, когда температура в конце концов станет постоянной". Более круто нисходящая кривая (тонкая линия) на рис. 2 показывает связь между давлением, откладываемым по вертикальной оси, и объемом, откладываемым по горизонтальной оси, которая превалирует при увеличении давления в условиях изоляции. Более пологая кривая (жирная линия), проходящая через ту же точку А, показывает связь давления и объема при изотермическом измерении. Сущность принципа Ле Шателье заключается именно в том, что тонкая кривая должна быть более крутой, чем жирная кривая. Используя принятые в термодинамике обозначения, можно записать:
где индекс t означает постоянство температуры, a s показывает, что речь идет об изолированном (адиабатическом или изоэнтропическом изменении.
|
