Нестандартные задачи по теории вероятностей для студентов экономических специальностей Учебное пособие для вузов Дружининская И. М. Матвеев В. Ф. Мышкис П. А. Макс пресс

причем p4 = p3 , математическое ожидание E(X) = 0.1 и дисперсия D(X) = 1.89. Найти все неизвестные параметры закона распределения. Ответ. X -2 -1 0 2 P 0.1 0.3 0.3 0.3 Дискретная случайная величина X имеет следующий закон распределения X -1 0 1 P p1 0.4 p3 Найти область возможных значений математического ожидания E(X) и дисперсии D(X). Ответ: . Указание. Так как сумма вероятностей равна единице, то вероятность p3 = 0.6 – p1, причем . Дальше надо учесть, что математическое ожидание E(X) зависит от параметра p1 линейно, а дисперсия D(X) – квадратично. Менеджер Работящий заключает за рабочий день 1 контракт на поставку лекарств с вероятностью 0.5 и два контракта – с вероятностью 0.4. По каждому контракту с вероятностью 0.8 лекарства приходят качественные и фирма получает прибыль в 10 тыс. руб., в противном случае убыток фирмы составляет 30 тыс. руб. Найти закон распределения, интегральную функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию прибыли фирмы от деятельности Работящего. Докажите, что для зависимых случайных величин и выполняется и решите следующую задачу. Пусть случайная величина - затраты фирмы на связь с общественностью; - затраты фирмы на прямую рассылку информации, причем известно, что . Найдите, чему равно , где . Пусть - случайные величины, которые равны: - количество экзаменов, сданных студенткой Лизой Лисичкиной за год; - количество часов, затраченных на подготовку к этим экзаменам;- количество посещений дискотек за этот период;- количество выяснений отношений со своим молодым человеком в течение этого времени. Известно, что . Найдите и сделайте выводы. Пусть - случайные величины (за период всего учебного года), которые означают следующее: - количество рефератов, написанных Лизой Лисичкиной; - количество новых знакомых; - количество ссор с лучшей подругой. Случайные величины и принимаются независимыми. Известно, что , причем . Найдите . Если известно, что две случайные величины независимы, причем одна из них подчинена нормальному закону распределения, а другая распределена равномерно на промежутке от 6 до 7, то: Как будет выглядеть плотность их совместного распределения? Вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины, равной сумме двух исходных случайных величин. Пусть - случайные величины, которые моделируют: - количество заседаний Государственной Думы за год; - количество законов, принятых Думой за год; - количество публичных ссор народных избранников за этот период; - количество пресс-конференций депутатов в течение этого времени. Предполагается, что . Найдите и сделайте выводы. Чему равно , если ? Коэффициент корреляции между случайными величинами иравен . Найдите коэффициент корреляциимежду случайными величинами и . Докажите, что если , то . В каких случаях , и в каких случаях ? Задачи на распределение Пуассона и пуассоновский поток событий В пчелиной семье 5 000 пчел. Вероятность заболевания в течение дня равна 0.001 для каждой пчелы. Найти вероятность того, что в течение дня заболеет более чем одна пчела. Заболеют от 2 до 3 пчел. Найти наивероятнейшее число заболевших пчел и соответствующую этому вероятность. В среднем на предприятии-прачечной «Чисто-Тайд» возникает 2 засора в месяц. Вычислите вероятность того, что: а) на предприятии в течение месяца не будет проблем с засором; б) будет три засора за квартал. На телетайп поступают сообщения о соотношениях курсов валют разных стран. Телетайп проигнорирует оба сообщения, если разность между моментами поступления сообщений будет менее 5 минут. Поступление сообщений в любые моменты в течение часа равновозможно. Определить вероятность того, что сообщения не будут приняты. Замечено, что число попыток юношей познакомится со студенткой Лизой Лисичкиной, образует пуассоновский поток. Подсчитано, что в среднем происходит две попытки за месяц. Найти вероятность того, что за две недели не произойдет ни одной попытки знакомства. Найти вероятность того, что за два месяца таких попыток будет более трех. Среднее число аварий на данном участке дороги – три аварии в месяц. Пятого числа случилась авария, затем пять дней аварий не было. Какова вероятность того, что с одиннадцатого по двадцатое число месяца аварий не будет? В Бронксе ограбления и мелкие кражи происходят в среднем каждые полчаса. Найти вероятность того, что в течение двух часов ограблений не будет. Вероятность того, что за час произойдет 4 ограбления. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что промежуток времени между двумя последовательными ограблениями будет меньше трех часов. Известно, что до десяти часов утра ограблений не было. Сейчас 11 часов утра. Какова вероятность того, что в последующие десять минут произойдет ограбление? На новогодней елочке висит гирлянда из 10 последовательно соединенных разноцветных лампочек. Промежутки времени до отказа каждой из них являются независимыми, показательно распределенными случайными величинами с одинаковой интенсивностью потока событий =0.01, при этом время измеряется в часах. Найти среднее время безотказной работы гирлянды. Решение: Модель отказов в работе каждой лампочки: простейший пуассоновский поток событий с параметром . Среднее время безотказной работы одной лампочки 1/ (в нашем примере, 100 часов) При параллельном соединении лампочек потоки событий объединяются. 10 лампочек перегорают в среднем в 10 раз чаще, чем одна. Поэтому интенсивность потока отказов всей гирлянды равна и среднее время работы гирлянды равно 10 час. Задачи на комбинации дискретных и непрерывных распределений Имеется инвестиционный портфель, который стоит из трех видов ценных бумаг. Доли вложения капитала в эти ценные бумаги относятся как , причем . Предполагается, что нормы прибыли по каждому виду ценных бумаг есть нормально распределенные случайные величины, причем их можно считать независимыми. Средние нормы прибыли по каждому виду ценных бумаг таковы (в процентах): 10, 8, 12; их уровни риска оценок (средние квадратические отклонения) таковы (в процентах): 3, 1, 4. Найдите среднюю норму прибыли всего портфеля и его уровень риска. Найдите вероятность того, что норма прибыли по всему портфелю окажется более 12%. Количество первокурсников в институте относится к количеству старшекурсников как 1:3. Число опозданий на занятия за год и у тех и у других – случайные величины, которые можно считать распределенными по нормальному закону: для первокурсников с параметрами a1=200, σ1=20, а для старшекурсников с параметрами a2=240, σ2=40. Найти интегральную функцию распределения, плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию числа опозданий. Найти вероятность того, что число опозданий у случайно взятого студента будет от 200 до 240. Решение: Обозначим через H1 событие : случайно взятый студент оказался первокурсником. Через H2 аналогичное событие для старшекурсника. По условию, вероятности этих событий таковы: p(H1)=, p(H2)=. Обозначим также через A(x1, x2) событие: число опозданий у случайно взятого студента оказалось в интервале (x1, x2). Если студент первокурсник, то условная вероятность p(A(x1, x2)/H1) = , если же он старшекурсник, то вероятность p(A(x1, x2)/H2) = . Но тогда по формуле полной вероятности: p(A(x1, x2)) = p(A(x1, x2)/H1) p(H1) + p(A(x1, x2)/H2) p(H2) = или . Для получения интегральной функции распределения F(x) найдем вероятность = p(A(0, x)) + 0.5 при x > 0: Плотность распределения вероятностей f(x) ищется как производная функции распределения: где и – плотности вероятностей соответствующих нормальных распределений при x>0. Отметим, что плотности вероятностей и равны нулю при x<0, однако при x<0 плотности вероятностей соответствующих нормальных распределений столь малы, что при дальнейших расчетах можно считать, что и совпадают с плотностями вероятностей соответствующих нормальных распределений при всех x! Математическое ожидание числа опозданий E(X) равно: . Для нахождения дисперсии D(X) найдем, сначала, E(X2): Следовательно, . Теперь можно легко найти, вероятность P того, что число опозданий у случайно взятого студента будет от 200 до 240: . Замечание: Предыдущая задача решается аналогично. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что указанный студент будет первокурсником. Ответ: (). Список литературы Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для вызов – 2-е издание, переработанное и дополненное – М: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2005. – 254 с. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями. Учебное пособие. – Москва-Ростов-на-Дону: Март,2005. Белько И.В., Свирид Г.П. Теория вероятностей и математическая статистика: Примеры и задачи. Учебное пособие. – Минск: Новое знание, 2004. Прохоров Ю.В., Пономаренко Л.С. Лекции по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие. – М: Изд. ВМиК МГУ, 2004. – 196 с. Ватутин В.А. и др. Теория вероятностей и математическая статистика в задачах. – М.: Агар, 2003. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник, второе издание. – М.: ЮНИТИ, 2003. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. «Задачи и упражнения по теории вероятностей. – М.: Высшая школа, 2002. Горелова Г.В., Кацко И.А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением EXEL. Учебное пособие для ВУЗов. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2002. Сигел Э. Практическая бизнес-статистика. Четвертое издание.- Москва-Санкт-Петербург-Киев: Вильямс, 2002. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник для ВУЗов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Основы статистики с элементами по теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач. – Ростов-на-Дону, Феникс,1999. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. – Санкт-Петербург, 1999. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под ред. Свешникова А.А. – Москва: Наука, 1970. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для ВУЗов. – М.: Высшая школа,1999. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для ВУЗов. – М.: Высшая школа, 1999.

Похожие:

	Учебное пособие для студентов экономических специальностей рассмотрено... Концепции современного естествознания: Учеб пособие для студентов экономических специальностей /А. Н. Верхозин, В. В. Однобоков /...		Учебное пособие для студентов экономических специальностей Концепции современного естествознания: Учеб пособие для студентов экономических специальностей /А. Н. Верхозин, В. В. Однобоков /...
	Литература Введение Учебное пособие предназначено для магистров дневного и заочного отделений экономических специальностей. Данное учебное пособие может...		Контрольные вопросы и задачи с решением. Учебное пособие предназначено... «Экономика недвижимости», но полным по охвату изложенных тем, рекомендованных для изучения умо по образованию в области производственного...
	Учебное пособие для студентов (контрольные вопросы, задачи и домашние... В пособии даны рекомендуемые темы рефератов, примерный перечень вопросов к экзамену и тематика курсовых и квалификационных работ		Учебное пособие для студентов (контрольные вопросы, задачи и домашние... В пособии даны рекомендуемые темы рефератов, примерный перечень вопросов к экзамену и тематика курсовых и квалификационных работ
	Пособие для студентов гуманитарных вузов и учащихся лицеев аспент пресс Социальная лингвистика: Пособие для студентов гуманит вузов и учащихся лицеев. — 2-е изд., испр. — М.: Аспект Пресс, 2000. — 207...		Темы рефератов Теория вероятностей Эбс университетская библиотека onlin гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : Учебное пособие для вузов. 12-е...
	Мгу им. М. В. Ломоносова и Гуманитарном институте. Для студентов,... Ш95 Основы нейрофизиологии: Учебное пособие для студентов вузов. М.: Аспект Пресс, 2000. с. 277		Учебное пособие по английскому языку для студентов экономических... Учебное пособие по английскому языку для студентов заочного обучения экономических специальностей
	Конспект лекций по высшей математике. В 2 частях. Часть М.: Айрис-пресс,... Баранова Е. С., Васильева Н. В., Федотов В. Л. Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчеты. Учебное пособие. — Спб:...		Учебное пособие для вузов М.: Аспект Пресс, 2003 Книга предназначена для преподавателей, аспирантов и студентов университетов и других учебных заведений, готовящих журналистов
	Учебное пособие для вузов М.: Аспект Пресс, 2002 ...		Учебное пособие для студентов медицинских вузов Волгоград 2003г Л. В. Крамарь, В. А. Петров Неотложные состояния при острых кишечных инфекциях у детей: патогенез, клиника, лечение: Учебное пособие...
	Учебники и учебные пособия Менеджмент образования: учебное пособие для студентов вузов Менеджмент образования: учебное пособие для студентов вузов / Под ред д п н., проф. Иванова С. Г. М.: Наука, 2007. 450 с		Учебное пособие для студентов педагогических вузов С69 Социология безопасности : учеб пособие для студентов пед вузов / авт сост. Е. А. Цыглакова. — Балашов : Николаев, 2009. — 196...