Учебно-методический комплекс по дисциплине экономико-математическое моделирование на транспорте

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2 Задача 1 Тема. Метод динамического программирования для выбора оптимального профиля пути Задание Требуется найти оптимальную трассу участка железнодорожного пути между пунктами А и В, из которых второй лежит к северо-востоку от первого. Местность, по которой пройдет магистраль, является пересеченной и включает лесистые зоны, холмы, болота, реку. Поэтому стоимость строительства равных по длине участков пути может быть различной. Требуется так провести дорогу из пункта А в пункт В, чтобы суммарные затраты на сооружение участка были минимальны. План прокладки пути разобьем на ряд возможных шагов, на каждом из которых стоимость строительства известна (рис. 5). Каждый шаг строительства является прокладкой пути между двумя рядом расположенными узлами. На рис. 5 все узлы пронумерованы, а в табл. 5 в соответствии с номером варианта (предпоследняя цифра учебного шифра) дана стоимость сооружения элемента пути между узлами. Рис. 5 Таблица 5 ОтрезкиВариантыx12345678910123456789101112A-11010291514393814481210А-6131410911101081013101-213122311111212111114111-712121512151111121315132-311118138101015139152-878118171410101210103-4101010710131114101083-99102815101013131011104-51111141015111491812124-10138131113121291013145-11101081681812101113156-7913103881011989106-1210141181011131088127-81214141011111110199137-131010811111012131312148-99151328123713121212108-1413101212114813111211119-Ю12131011151414121112129-1513121112815151213131310-119121515888101091010-1613910910109811101111-173969894811511099683912-132712111012101112810812-1812131313121213111081113-14111112611112121011291013-19101514111010111212104814-151312101581110913151414-20121191471612814141015-1627111111151315810121215-21101310101414161011131216-17471010101111111310111416-221214991110131279101017-23481015781012141188104918-1910121314814111014131118-2414121110913101114125919-201110101012111288116819-251113881838to131010881020-21111471510814101091120-261213111211101199101221-221015121710121098131221-2712101381312111313141322-238101010813121414131122-289109101214141111121123-29158991313151212111024-2581188812101314101224-30101010151010111413131425-2691212111114121510141225-31715151191113108121026-2711151010714148810926-3281691214131591091027-28101071413101610981527-33988111378121281428-291010111512891313101528-3499913101191414141529-35791012810101011131230-318101512913121011111030-3671414131112101110111031-321211119121112121212931-37812118111011131210832-338128101089101010832-3851010101089111181233-3451081110118111091233-39810108111010119101134-35612127111212101271034-4071211131012119128935-411411111491115888836-37131213128151481091036-4212131412714101013101037-3811108961012911101037-4310107101313111113131338-3912910101213101212121238-448101212111T81314121339-4099131181091413131039-45691011810101410101540-418131013108141310151140-4671498119121015111241-B710871310131514101342-431215817131010915131043-4411121015151313810101544-457111110141412815151545-468812131112121011111046-B714151310101314131010 Методические указания к решению задачи 1 Эту задачу следует решить методом динамического программирования, последовательно двигаясь от конца трассы к ее началу, при этом на каждом шаге процесса выбирая то направление трассы, которое дает меньшую стоимость ее строительства от рассматриваемого пункта до пункта В. Подробное применение этого метода показано на следующем примере. Пример. Решим вариант, отмеченный в табл. 5 знаком «х». Решение начнем с конца прокладываемой трассы. Рассмотрим точку В и три окружающие ее точки (рис. 6). Рис. 6 Из рис. 6 следует, что в случае попадания трассы в пункт №46 придется затратить дополнительно 7 млрд. руб., чтобы достроить ее до пункта В. То же относится и к пункту №41. Возникает вопрос, каким образом вести трассу от пункта №40? Если ее вести через пункт №41, то будет затрачено 8 + 7 = 15, а если через пункт №46, то 7 + 7 = 14. Последнее выгоднее. Поэтому в случае попадания трассы в пункт №40 придется затратить дополнительно 14 млрд. руб., чтобы достроить ее до пункта В. Продолжим процесс решения задачи. Рассмотрим дополнительно пункты №№33, 34, 35, 39 и 45 (рис. 7). Рис. 7 Единственный возможный путь трассы из пункта №45 ведет через пункт 7, поэтому стоимость строительства трассы от пункта №45 до В составит 8 + 7 = 15. Аналогично стоимость строительства трассы до В из пункта №35 составит 7 + 14 = 21, Чтобы найти минимальную стоимость строительства трассы из пункта №33, следует сравнить варианты ее проложения через пункты №34 и 39. В первом случае получим 5 + 21 = 26, а во втором 8 + 21 = 29. Выберем более рациональный первый вариант и погашаем над этим пунктом цифру 26. Далее следует рассматривать последовательно пункты №№29, 28, 27. Затем пункты №№44, 38, 32. Потом обработать пункт №26 и так далее. В конце все узлы будут пронумерованы, что приведет к решению задачи. На рис. 8 показан окончательный вид таблицы. 70106095184315287211477В11978106877713641351123993092171477101271010598799701357104712359268216151191311118127867791366125412428345308221312111191211119412821072106211517468411033109710881312А(102)138910791272145910547541245Рис. 8 Здесь малыми цифрами показаны стоимости прокладки трассы между отдельными пунктами (исходные данные таблицы вариантов 5), большими цифрами показаны рассчитанные методом динамического программирования минимальные стоимости прокладки трассы от данного пункта до пункта В. Чтобы найти оптимальную трассу следует, последовательно двигаясь от пункта А, прокладывать ее в том направлении, в котором число исходного пункта равняется числу соседнего штос стоимость строительства пути между ними, указанное на рис. 8 малым шрифтом. Например, сначала следует двигаться от А вправо, потому что 102 = 89 +13. Окончательный вид трассы показан на рис. 9. 5111723293541В410162228344046391521273339452814202632384417131925313743А6121824303642Рис. 9 Задача 2 Задача оптимального распределения ресурсов Задание Предприятие имеет свободных К млрд. руб. средств, которые оно может вложить в пять различных производственных программ. При этом прибыль от каждой из программ зависит от объема инвестиций. Эти зависимости f1 известны и имеют следующий вид: и конкретно: где х1, х2, х3, х4, х5 – инвестиции в программы, млрд. руб. Их общий объем задан в табл. 6. (Номер варианта соответствует предпоследней цифре учебного шифра.) Таблица 6 Номер варианта1234567890Объем инвестиций, млрд. руб.66,577,588,599,51010,5 Требуется найти неотрицательные объемы инвестиций х1, х2, х3, х4 и х5 соответствующие наибольшей общей прибыли Методические указания к решению задачи 2 Эту задачу можно решить методами математического анализа. Однако это приведет к рассмотрению большого числа вариантов. Поэтому следует предварительно отбросить заведомо неоптимальные варианты. Заметим, что коэффициенты при х убывают с возрастанием номера функции прибыли. Это говорит о том, что при малых объемах инвестиций первая программа имеет преимущество перед второй, вторая – перед третьей, третья – перед четвертой, а четвертая – перед пятой. При значительных объемах инвестиций эти приоритеты могут измениться, но не может быть такой ситуации, при которой программа с меньшим номером может быть не профинансирована, в то время когда программа с большим порядковым номером будет проинвестирована. Поэтому возможны следующие варианты: 1. Все средства передаются первой программе; 2. Средства распределяются между первой и второй программами; 3. Средства распределяются между первой, второй и третьей программами; 4. Средства распределяются между первой, второй, третьей и четвертой программами; 5. Средства распределяются между первой, второй, третьей, четвертой и пятой программами. Рассмотрим общий для всех этих вариантов случай с n первыми программами. Из уравнения связи выразим последнее неизвестное и подставим его в функцию прибыли П. Получим: . Для нахождения минимума функции n-1 переменной П, приравняем к нулю все ее частные производные. Из этих уравнений получим, что в точке максимума все производные от функций fi по своим аргументам одинаковы. Поэтому . (1) Эти n уравнений вместе с условием дают линейную систему, которую нетрудно решить. Сделав пять таких расчетов, мочено получить 5 значений функции П, наибольшее из которых является оптимальным значением прибыли, а соответствующие ей х1, х2, …, хn – оптимальным планом инвестиций. Пример. Пусть К = 5. Обозначим значение правой части уравнения (1) как t и выразим все переменные через него. Получим: . Подставив найденные выражения для хi в формулу для прибыли П, после преобразований получим . (2) Рассчитаем все 5 вариантов: 1) убыточно 2) 3) 4) 5) Поэтому оптимальный план инвестиций получится согласно третьему случаю х1 = 2,3333 млрд. руб., х2 = 2,6666 млрд. руб. Задача 3 Тема. Метод экспертных оценок для отбора кандидата из кадрового резерва на должность руководителя Задание 1. В связи с высокими требованиями, предъявляемыми к личностным свойствам руководителей, для эффективной работы в коллективе возникает потребность профессионального отбора на конкурсной основе. С этой целью осуществляется предварительная оценка профессиональной пригодности кандидата на руководящую должность. Требуется методом экспертного ранжирования из группы кадрового резерва, включающего в себя семь кандидатов, отобрать наиболее достойного, по мнению коллектива, из 10 экспертов. 2. После коллективного ранжирования экспертами степени подготовленности и личностных свойств всех представителей группы кадрового резерва и выбора лучшего из них определить степень согласованности мнений группы экспертов. Исходные данные Каждый Эj эксперт оценивает степень подготовленности каждого члена группы кадрового резерва, сопоставив ему целое число – его ранг kij, т.е. номер члена группы в порядке убывания оценки степени подготовленности. Первый ранг имеет тот, кто, по мнению эксперта, подготовлен лучше других, второй – менее подготовлен, но лучший из оставшихся. Распределения рангов даны в табл. 1. Таблица 1 Индивидуальные оценки экспертами подготовленности кандидатов из группы резерва Номер члена группыНомер эксперта012345678917515234777241311113253562252214241447353533562644454146377367625172356767666 Принято, что эксперты отличаются уровнем компетентности, которую можно оценить вероятностью получения экспертом достоверной оценки. Тогда каждый эксперт получает весовой коэффициент, значение которого лежит в пределах для i-го эксперта. Значения весовых коэффициентов заданы в табл. 2 по вариантам. Таблица 2 Уровни компетентности экспертов ЭкспертВарианты (последняя цифра учебного шифра)012345678900,90,50,70,90,80,70,50,90,80,710,50,90,80,60,70,60,90,80,70,620,70,80,90,70,50,90,50,70,60,830,90,60,70,90,70,50,70,60,80,940,80,70,60,70,90,70,60,80,90,650,70,50,90,50,70,90,80,90,60,560,60,90,50,70,60,80,90,60,50,770,90,80,70,60,80,90,60,90,70,980,80,70,60,80,90,60,50,70,90,590,70,60,80,90,60,50,70,90,50,9 Таблица 3 Номер эксперта по вариантам Вариант (предпоследняя цифра учебного шифра)0123456789Номер эксперта78906543211327489736 Методические указания к выполнению задачи 2 1. Для решения задачи составим матрицу мнений экспертов в виде табл. 4, где дан пример заполнения исходных данных. Студент в эту таблицу вносит по своему варианту данные из табл. 2 об уровне компетентности, а из табл. 1 выбирает два столбца распределения рангов тех двух экспертов, которые заданы по вариантам табл. 3 и заменяет ими соответствующие два столбца экспертов в табл. 1. 2. В таблице по каждому Эj столбцу xi числу из группы резерва присваивается kij-ранг – целое число от 1 до n. Получаем матрицу мнений экспертов размерностью N x n, в которой сумма элементов любого столбца равна 3. Наиболее подготовленного кандидата из группы на основе коллективной оценки выбирают после расчета среднего ранга для каждого из кандидатов: где aj – уровень j =1 компетентности эксперта; j =1, 2, ..., 10. Средние ранги позволяют проранжировать кандидатов, т.е. выявить наиболее подготовленных. На первом месте будет кандидат, имеющий минимальный ранг, что будет соответствовать усредненному мнению коллектива из N экспертов. 4. Не всякий результат экспертного опроса можно считать удовлетворительным. Если мнения экспертов сильно расходятся: один эксперт присвоит xi кандидату первый ранг, а другой значение последнего ранга, то такое ранжирование не может быть положено в основу выбора первого кандидата в отличие от других. Поэтому необходимо ввести процент достоверности, т.е. согласованности экспертов. 5. Согласованность экспертов удобно определять степенью рассеянности средних рангов , Если мнения экспертов совпадают, то ранги есть целые, не равные друг другу числа (в нашем случае не рассматривается вариант наличия одинаковых рангов). При частично согласованных мнениях ранги сориентируются вокруг среднего значения n/2. 6. Степень рассеяния определим с помощью дисперсии средних рангов где – средний ранг для i-го кандидата, ; M(k) – математическое ожидание среднего ранга. В табл. 4 для краткости обозначений принято: Таблица 4 Расчет коэффициента согласованности Номер члена группыОценка эксперта Ранг кандидата012345678914344454131 27757767747 35433233373 43676576666 56121322212 62365645554 71212111425 Уровень компетентности aj0,80,90,70,60,50,80,70,80,90,7 При полном совпадении мнений экспертов дисперсия имеет максимальное значение 7. Критерий согласованности экспертов представим в виде отношения Очевидно, что . При W = 0 мнения экспертов полностью расходятся, а при W = 1 они высказываются единодушно. Таким образом, величина W есть характеристика степени согласованности экспертов. Полученный результат показывает, что мнения экспертов согласованы достаточно хорошо. 8. Конкретное значение критерия согласованности в диапазоне между нулем и единицей содержательно определяется следующим образом. Предположим, что N экспертов абсолютно компетентны, а остальные (N – m) нет, т.е. принимают свое решение совершенно случайно (что, естественно, только допущение). Тогда дисперсия средних рангов будет образована суммой Разделив на Dmax получаем W = m/N Это говорит о том, что W зависит от числа абсолютно компетентных экспертов в соответствии с нашим предположением. Так, при W = 0,4 можно считать, что 40% экспертов были вполне компетентны, а остальные 60% приникали свое решение случайно. Последнее могло оказать, а могло и не оказать своего влияния на окончательное ранжирование. 9. По данным табл. 4 коэффициент согласованности как мера достоверности суждений экспертов равен

Похожие:

	Рабочая программа по дисциплине ен. Р. 01. Экономико-математическое моделирование Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Математическое моделирование движения несимметричного авторотирующего тела Учебно-методический комплекс по «Психологии и педагогике» составлен в соответствии с требованиями Государственного образовательного...
	Рабочая программа для студентов 010800. 62 специальности «Механика... Мосягин В. Е. Теория вероятностей, математическая статистика, случайные процессы. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа...		Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «математическое моделирование» Программа составлена в соответствии с требованиями фгос впо по направлению подготовки 230700. 68 «Прикладная информатика»
	Рабочая программа составлена в соответствии с фгт к структуре основной... Методы компьютерного моделирования. Статистическое моделирование Учебно-методический комплекс рабочая программа для аспирантов специальности...		Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся по экономическим специальностям Учебно-методический комплекс. Для студентов, обучающихся по экономическим специальностям. – М.: Финансовая академия при Правительстве...
	Русская логика – индикатор интеллекта Учебно-методический комплекс. Для студентов, обучающихся по экономическим специальностям. – М.: Финансовая академия при Правительстве...		Математическое моделирование термически нагруженных конструкций котельных агрегатов Специальность: 05. 13. 18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
	Учебно-методический комплекс рабочая программа для студентов очной формы обучения Шармин Д. В. История и методология математики. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы обучения,...		Учебно-методический комплекс рабочая программа для студентов очной формы обучения Шармин Д. В. История развития математической науки. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы обучения,...
	Тестовый метод контроля знаний учащихся на уроках технологии Учебно-методический комплекс. Для студентов, обучающихся по экономическим специальностям. – М.: Финансовая академия при Правительстве...		Фгбоу впо «сгэу» от 09. 11. 2012г. № Решение ученого совета Самарского... «Математическое моделирование», «Математические модели в финансовых операциях», «Методы оптимизации», «Экономико-математические методы...
	«Основы логики» Наука, изучающая законы и формы мышления, называется Учебно-методический комплекс. Для студентов, обучающихся по экономическим специальностям. – М.: Финансовая академия при Правительстве...		Учебно-методический комплекс по дисциплине Специальность/направление 190701. 65 Организация перевозок и управление на транспорте (железнодорожный транспорт) (ПП)
	Электронный учебно-методический комплекс специальность: 190701. 65... Грузоведение: учебно-методический комплекс /авт сост. Б. Г. Ашуркин. – Спб.: Ивэсэп, 2011. – 69 с		Учебно-методический комплекс специальность: 190701 Организация перевозок... С 83 Стратегия развития автотранспортных предприятий: учебно-методический комплекс / авт сост. В. А. Богомазов. – Спб.: Ивэсэп, 2011....