Направление подготовки 011200.68 Физика
ОП – Теоретическая физика
г. Владивосток
2013
На самостоятельную работу студентов выносятся следующие темы:
Уравнение Клейна-Фока-Гордона. Спектр в магнитном поле. Одномерное рассеяние на барьере.
Уравнение Дирака. Алгебра γ-матриц. Уровни энергии релятивистского электрона в кулоновском поле. Падение на центр.
Аномальный магнитный момент. Нерелятивистское разложение. Спин-орбитальное взаимодействие.
Дискретные симметрии. Относительная внутренняя четность частицы-античастицы. Примеры вычислений в представлении чисел заполнения.
Борновское приближение. Правило Ферми. Нормировка начальных и конечных волновых функций.
Вычисление борновских сечений в различных потенциалах. Релятивистский случай.
Формула Мотта. Поворот спина при рассеянии. Поляризация во втором борновском приближении.
Точное и приближенное вычисление фаз рассеяния в различных потенциалах. Рассеяние быстрых частиц на непроницаемой и поглощающей сфере.
Рассеяние медленных частиц. Длина рассеяния и эффективный радиус взаимодействия. Резонансное рассеяние на дискретном, виртуальном и квазидискретном уровне.
Излучение. Оценки вероятностей. Правила отбора. Вычисление вероятностей переходов.
Рассеяние света. Эффект Комптона во втором порядке теории возмущений. Угловое распределение.
По материалам изученных тем студенты пишут рефераты.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
< Школа естественных наук >
КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
по дисциплине «Квантовая теория поля»
Направление подготовки 011200.68 Физика
ОП – Теоретическая физика
г. Владивосток
2013
Задача 1. Нормированная волновая функция частицы имеет вид
где  - некоторое число. Найти среднее и наиболее вероятное значение модуля радиус-вектора.
а. нуль б. a в. Недостаточно данных г. затрудняюсь ответить
Задача 2. Найти связь между собственными функциями оператора  в  -представлении и оператора  в -представлении. Проверить справедливость этого соотношения для координаты и импульса.
Задача 3. Частица находится в состоянии с нормированной волновой функцией  , где  и - некоторые числа. Средний импульс частицы в этом состоянии равен
а. нулю б.  в.  г. 
Задача 4. Какова размерность нормированных на  -функцию от координаты собственных функций оператора координаты в координатном представлении
а.  б.  в.  г. 
Задача 5. Какая из нижеперечисленных функций является общей собственной функцией операторов  ,  и  ?
А.  б. такой функции не существует в. 
г.  (здесь  - произвольные действительные числа)
Задача 6. Гамильтониан квантовой системы не зависит от времени. Среднее значение физической величины в некотором состоянии зависит от времени. Какое из нижеприведенных утверждений является верным?
а. энергия системы имеет определенное значение б. оператор этой физической величины не коммутирует с оператором Гамильтона в. оператор этой физической величины коммутирует с оператором Гамильтона убывают г. такого быть не может
Задача 7. ![]()
Частица движется в потенциале , который стремится к некоторым постоянным при  (см. рисунок). Как ведут себя волновые функции невырожденных состояний непрерывного спектра при ?
А. растут б. затухают в. осциллируют
г. на одной бесконечности затухают, на другой осциллируют
![]()
Задача 8. Собственная функция одномерного оператора Гамильтона имеет вид (см. рисунок). Какому собственному состоянию отвечает эта функция?
А. второму состоянию дискретного спектра (в порядке возрастания энергии) б. третьему состоянию дискретного спектра в. четвертому состоянию дискретного спектра г. пятому состоянию дискретного спектра
Задача 9. Какой формулой определяются энергии стационарных состояний частицы массой  в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной ?
А.  б.  в.  г.  ( )
Задача 10. Волновая функция частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме в некоторый момент времени имеет вид  , где  - ширина ямы, - постоянная. Чему равна средняя энергия частицы в этом состоянии?
А.  б.  в.  г. 
Вариант 1
1. В некоторый момент времени нормированная волновая функция системы имеет вид  , где  и  - нормированные собственные функции оператора физической величины , отвечающие собственным значениям  и  , соответственно. Среднее значение величины физической величины  в этот момент равно
а.  б.  в.  г. 
2. Квантовая система описывается нормированной волновой функцией  . Физической величине  отвечает квантово-механический оператор  . По какой формуле – а., б., в. или г. –можно вычислить среднее значение результатов многих измерений величины над ансамблем тождественных квантовых систем?
а.  б.  в.  г. 
3. Физическая величина имеет в состоянии с волновой функцией определенное значение, если
а.  не зависит от времени б. совпадает с одной из собственных функций оператора этой физической величины , в. является собственной функцией оператора Гамильтона системы г. не зависит от координат
4. Собственные значения и отвечающие им нормированные собственные функции оператора некоторой физической величины равны:  и  (первое собственное значение и отвечающая ему собственная функция),  и  ,  и  , …. (где и - некоторые числа, одинаковые для всех функций). Волновая функция частицы в некоторый момент времени равна  . Какие значения величины можно обнаружить при измерениях в этот момент времени?
а. 1 и 2 б. любое целое положительное число в. 2 и 5 г. 3 и 7
5. Собственные значения и отвечающие им нормированные собственные функции оператора некоторой физической величины равны: и (первое собственное значение и отвечающая ему собственная функция), и , и,
…. (где и - некоторые числа, одинаковые для всех функций). Волновая функция частицы в некоторый момент времени равна . Чему равно среднее значение величины в этот момент времени?
а. 5 б. 6 в. 7 г. 8
Вариант 2
1. Какой формулой определяются собственные функции гамильтониана гармонического осциллятора массой и частотой  ( - безразмерная координата осциллятора)?
А.  ( - полиномы Лежандра) б.  ( - полиномы Лагерра) в.  ( - присоединенные полиномы Лежандра) г.  ( - полиномы Эрмита), ( ).
2. Какой формулой определяются собственные функции гамильтониана гармонического осциллятора массой и частотой (- безразмерная координата осциллятора)?
А. б.  в. 
г.  ( - полиномы Эрмита, ).
3. Волновая функция гармонического осциллятора в некоторый момент времени имеет вид  ( - безразмерная координата осциллятора). Какие значения энергии осциллятора могут быть обнаружены при измерениях?
А.  и  б. и  в. только г. только
4. Волновая функция гармонического осциллятора в некоторый момент времени является четной функцией координаты. Можно ли при измерениях энергии осциллятора в этом состоянии обнаружить значение ?
А. да б. нет в. зависит от способа измерения г. зависит от волновой функции
5. При измерении энергии осциллятора были обнаружены два значения  с вероятностью ¼ и с вероятностью ¾. Средняя энергия осциллятора в этом состоянии равна
а.  б.  в.  г. 
Вариант 3
1. Будет ли гамильтониан частицы, движущейся в центральном поле, коммутировать с оператором проекции момента на ось ?
А. да б. нет в. зависит от поля г. зависит от состояния, в котором находится частица
2. Что можно сказать о зависимости волновой функции стационарных состояний частицы от полярного  и азимутального  углов в некотором центрально-симметричном поле.
А. не зависят от углов и
б. зависимость от углов и всегда сводится к некоторой сферической функции
в. эти функции можно выбрать так, что их зависимость от углов и сводится к некоторой сферической функции
Г. это зависит от вида поля
3. Что можно сказать об интеграле  , где  и  - радиальные волновые функции ( ) стационарных состояний дискретного спектра
а. он равен нулю, если эти функции отвечают разным радиальным квантовым числам и разным моментам
б. он равен нулю, если эти функции отвечают разным радиальным квантовым числам, но одинаковому моменту
в. он равен нулю, если эти функции отвечают одинаковым радиальным квантовым числам, но разным моментам
г. он равен нулю, если эти функции отвечают одинаковым радиальным квантовым числам и одинаковым моментам
4. Что такое вырождение уровней энергии частицы в центрально-симметричном поле по проекции момента?
А. совпадение проекций момента у состояний с разными энергиями
б. совпадение проекций у состояний с разными моментами
в. совпадение моментов у состояний с разными проекциями
г. совпадение энергий у состояний с разными проекциями момента
5. Что такое «случайное» вырождение уровней энергии в центрально-симметричном поле?
А. Совпадение энергий у частиц, движущихся в разных потенциалах
б. совпадение энергий у состояний с разными моментами
в. случайное столкновение частиц, имеющих одинаковые энергии
г. совпадение моментов у состояний с разными энергиями
Часть 2
Задача 1. Для частицы со спином  найти собственные значения и нормированные собственные функции оператора  . Используя эти функции найти вероятности различных значений проекции спина на ось  в состоянии
Задача 2. На трехмерный гармонический осциллятор наложено малое возмущение  . Найти поправки первого и второго порядка к энергии основного состояния. Каковы условия применимости теории возмущений?
Задача 3. Спин частицы равен  . Какова размерность линейного пространства спиновых функций частицы?
А. 97 б. 98 в. 99 г. 100
Задача 4. В каком из перечисленных состояний частица имеет определенную проекцию спина на ось  ?
а.  б.  в.  г. ни в одном
Задача 5. Чему равно среднее значение проекции спина на ось  в состоянии  ?
а.  б.  в.  г. 
![]()
Задача 6. График зависимости потенциальной энергии от координаты приведен на рисунке. В какой точке -  или  лучше работает квазиклассическое приближение?
а. в точке б. в точке в. по рисунку это определить невозможно г. это зависит от энергии, при которой решается уравнение Шредингера
Задача 7. Частица движется в потенциале  ( ). Каким является параметр квазиклассичности при нулевой энергии частицы?
А.  б.  в.  г. 
Задача 8. На одномерный гармонический осциллятор накладывают малое возмущение  . Увеличится или уменьшится при этом энергия основного состояния осциллятора?
А. увеличится б. уменьшится в. не измениться г. в это зависит от и 
Задача 9. На атом водорода накладывают малое возмущение  . Какие значения проекции орбитального момента импульса электрона на ось  можно обнаружить в возмущенном основном состоянии атома? Ответ дать в первом порядке теории возмущений для волновой функции.
А.  б.  в.  г. 
Задача 10. Некоторая квантовая система имеет вырожденный уровень, которому отвечают собственные функции  ,  , …,  . На систему накладывают возмущение, недиагональные матричные элементы которого с функциями  равны нулю, диагональные – все различны. Какие утверждения относительно свойств правильных функций нулевого приближения будут верными?
а. каждая из них будет совпадать с одной из функций б. ими будут любые линейные комбинации функций в. ни одна из правильных функций не будет совпадать ни с одной из функций г. только определенные комбинации функций (с ненулевыми коэффициентами) будут правильными функциями
Вариант 4
1. Теория возмущений позволяет вычислить:
а. оператор возмущения, если известно классическое выражение для возмущающего систему потенциала б. поправки к энергиям стационарных состояний непрерывного спектра
в. поправки к энергиям стационарных состояний дискретного спектра г. поправки к волновым функциям стационарных состояний дискретного спектра
2. Какая из двух формул  или  для поправки к энергии  -го стационарного состояния правильна?
А. первая б. вторая в. обе, поскольку приводят к одинаковому результату
г. зависит от невозмущенной системы
3. На некоторую квантовую систему накладывают малое возмущение  , причем известно, что диагональный матричный элемент оператора возмущения с невозмущенными функциями основного состояния равен нулю. Увеличится или уменьшится при этом энергия основного состояния системы?
А. увеличится б. уменьшится в. не изменится г. мало информации для ответа
4. Какой формулой – а, б, в или г - определяется условие применимости теории возмущений?
а.  б. 
в.  г. 
5. На частицу, находящуюся в бесконечно глубокой потенциальной яме, наложили возмущение  , где - размер ямы. Какой формулой определяются поправки первого порядка к энергиям состояний с нечетными квантовыми числами (основное состояние -  )
а.  б.  в.  г. 
Вариант 5
1. На одномерный гармонический осциллятор, находящийся в первом возбужденном состоянии, действует зависящее от времени малое возмущение  . Чему равно отношение вероятностей перехода осциллятора в основное и второе возбужденное состояния? Ответ дать в первом порядке теории нестационарных возмущений.
А.  , б.  в.  г. 
Указание: Матричные элементы оператора координаты с осцилляторными функциями равны:
2. На заряженный трехмерный гармонический осциллятор, находящийся в основном состоянии, действует малое однородное периодическое электрическое поле  . Частота поля равна частоте осциллятора. В какие состояния осциллятор будет совершать переходы? Ответ дать в первом порядке теории нестационарных возмущений
А. в первое возбужденное б. во второе возбужденное в. в третье возбужденное г. ни в какие
Указание. Кратность вырождения первого возбужденного состояния осциллятора равна 3, второго возбужденного – 6.
3. На трехмерный гармонический осциллятор, находящийся в основном состоянии, действует малое возмущение  , где оператор  зависит только от модуля радиус-вектора, а частота возмущения равна частоте осциллятора. Может ли осциллятор совершить переход в первое возбужденное состояние?
А. да б. нет в. зависит от оператора г. это зависит от массы осциллятора
Указание. Кратность вырождения первого возбужденного состояния осциллятора равна 3.
4. На атом водорода, находящийся в основном состоянии действует малое возмущение  , где  - сферическая функция. При какой минимальной частоте возмущения возможен переход? Ответ дать в первом порядке теории нестационарных возмущений
а.  б.  в.  г. 
здесь  - заряд электрона,  - боровский радиус. Указание. Кратность вырождения уровней энергии электрона в атоме равна  , энергии -  , 
5. На одномерную квантовую систему с гамильтонианом  внезапно накладывают возмущение  . Какой формулой описываются вероятности переходов из  -ого состояния в  -ое?
А.  б.  в. 
г.  , где  и  - собственные функции гамильтониана и 
Вариант 6
1. Какова кратность вырождения собственных состояний свободного трехмерного уравнения Шредингера?
а. 1 б. 2 в.  г. 
2. Потенциальная энергия частицы равна нулю. Какие из перечисленных функций будут решениями стационарного уравнения Шредингера при энергии  ( ,  - масса частицы)
а.  б.  в.  ,  г.  ,
3. Потенциальная энергия частицы равна нулю. Какие из нижеперечисленных функций будут приближенными решениями стационарного уравнения Шредингера при  ?
а.  б.  в.  г. никакая из перечисленных
4. Потенциальная энергия частицы не равна нулю, но обращается в нуль при . На  по оси расположен источник частиц, который излучает частицы с определенной энергией в направлении начала координат. Какой волновой функцией описывается поток этих частиц в области (,  - некоторая функция  )?
а.  б.  в.  г. 
5. Потенциальная энергия частицы не равна нулю, но обращается в нуль при . Рассмотрим решение стационарного уравнения Шредингера, которое имеет асимптотику  ( ,  и - числа,  - некоторая функция углов). Что в этом выражении есть амплитуда рассеяния?
а. б. в. г. ничего
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
<Школа естественных наук ДВФУ>
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
по дисциплине «Квантовая теория поля»
|
