01. 01. 01 «Вычислительный, комплексный и функциональный анализ»
Скачать 50.75 Kb.
|
| ПРОГРАММА-МИНИМУМ кандидатского экзамена по специальности 01.01.01 «Вычислительный, комплексный и функциональный анализ» по физико-математическим наукам Введение В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: теория функций действительной переменной (действительный анализ); теория функций комплексной переменной (комплексный анализ); функциональный анализ, а также программы соответствующих курсов лекций, читаемых на механико-математических, математико-механических и физико-математических факультетах университетов. Программа разработана экспертным советом Высшей аттестационной комиссии Министерства образования Российской Федерации по математике и механике при участии МГУ им. М.В. Ломоносова. 1. Действительный анализ Меры, измеримые функции, интеграл. Аддитивные функции множеств (меры), счетная аддитивность мер. Конструкция лебеговского продолжения. Измеримые функции. Сходимость функций по мере и почти всюду. Теоремы Егорова и Лузина. Интеграл Лебега. Предельный переход под знаком интеграла. Сравнение интегралов Лебега и Римана. Прямые произведения мер. Теорема Фубини. Неопределенный интеграл Лебега и теория дифференцирования. Дифференцируемость монотонной функции почти всюду. Функции с ограниченным изменением (вариацией). Производная неопределенного интеграла Лебега. Задача восстановления функции по ее производной. Абсолютно непрерывные функции. Теорема Радона–Никодима. Интеграл Стилтьеса. Пространства суммируемых функций и ортогональные ряды. Неравенства Гельдера и Минковского. Пространства Lp , их полнота. Полные и замкнутые системы функций. Ортонормированные системы в L2 и равенство Парсеваля. Ряды по ортогональным системам; стремление к нулю коэффициентов Фурье суммируемой функции в случае равномерно ограниченной ортонормированной системы. Тригонометрические ряды. Преобразование Фурье. Условие сходимости ряда Фурье. Представление функций сингулярнымы интегралами. Единственность разложения функции в тригонометрический ряд. Преобразование Фурье интегрируемых и квадратично интегрируемых функций. Свойство единственности для преобразования Фурье. Теорема Планшереля. Преобразование Лапласа. Преобразование Фурье—Стилтьеса. Гладкие многообразия и дифференциальные формы. Касательное пространство к многообразию в точке. Дифференциальные формы на многообразии. Внешний дифференциал. Интеграл от формы по многообразию. Формула Стокса. Основные интегральные формулы анализа. 2. Комплексный анализ Интегральные представления аналитических функций. Интегральная теорема Коши и ее обращение (теорема Мореры). Интегральная формула Коши. Теорема о среднем. Принцип максимума модуля. Лемма Шварца. Интеграл типа Коши, его предельные значения. Формулы Сохоцкого. Ряды аналитических функций. Особые точки. Вычеты. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций; теорема Вейерштрасса. Представление аналитических функций степенными рядами, неравенства Коши. Нули аналитических функций. Теорема единственности. Изолированные особые точки (однозначного характера). Теорема Коши о вычетах. Вычисление интегралов с помощью вычетов. Принцип аргумента. Теорема Руше. Приближение аналитических функций многочленами. Целые и мероморфные функции. Рост целой функции. Порядок и тип. Теорема Вейерштрасса о целых функциях с заданными нулями; разложение целой функции в бесконечное произведение. Случай целых функций конечного порядка, теорема Адамара. Теорема Миттаг—Леффлера о мероморфных функциях с заданными полюсами и главными частями. Конформные отображения. Конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями. Принцип сохранения области. Критерии однолистности. Теорема Римана. Теоремы о соответствии границ при конформных отображениях. Аналитическое продолжение. Аналитическое продолжение и полная аналитическая функция (в смысле Вейерштрасса). Понятие Римановой поверхности. Продолжение вдоль кривой. Теорема о монодромии. Изолированные особые точки аналитических функций, точки ветвления бесконечного порядка. Принцип симметрии. Формула Кристоффеля—Шварца. Модулярная функция. Нормальные семейства функций, критерий нормальности. Теорема Пикара. Гармонические функции. Гармонические функции, их связь с аналитическими. Инвариантность гармоничности при конформной замене переменных. Бесконечная дифференцируемость. Теорема о среднем и принцип максимума. Теорема единственности. Задача Дирихле. Формула Пуассона для круга. 3. Функциональный анализ Метрические и топологические пространства. Сходимость последовательностей в метрических пространствах. Полнота и пополнение метрических пространств. Сепарабельность. Принцип сжимающих отображений. Компактность множеств в метрических и топологических пространствах. Нормированные и топологические линейные пространства. Линейные пространства. Выпуклые множества и выпуклые функционалы, теорема Банаха–Хана. Отделимость выпуклых множеств. Нормированные пространства. Критерии компактности множеств в пространствах C и Lp. Евклидовы пространства. Топологические линейные пространства. Линейные функционалы и линейные операторы. Непрерывные линейные функционалы. Общий вид линейных ограниченных функционалов на основных функциональных пространствах. Сопряженное пространство. Слабая топология и слабая сходимость. Линейные операторы и сопряженные к ним. Пространство линейных ограниченных операторов. Спектр и резольвента. Компактные (вполне непрерывные) операторы. Теоремы Фредгольма. Гильбертовы пространства и линейные операторы в них. Изоморфизм сепарабельных бесконечномерных гильбертовых пространств. Спектральная теория ограниченных операторов в гильбертовых пространствах. Функциональное исчисление для самосопряженных операторов и спектральная теорема. Диагонализация компактных самосопряженных операторов. Неограниченные операторы. Дифференциальное исчисление в линейных пространствах. Дифференцирование в линейных пространствах. Сильный и слабый дифференциалы. Производные и дифференциалы высших порядков. Экстремальные задачи для дифференцируемых функционалов. Метод Ньютона. Обобщенные функции. Регулярные и сингулярные обобщенные функции. Дифференцирование, прямое произведение и свертка обобщенных функций. Обобщенные функции медленного роста; их преобразование Фурье. Преобразование Лапласа обобщенных функций (операционное исчисление). Структура обобщенных функций с компактным носителем. Основная литература Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976 (1981). Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функцио-нального анализа. М.: Наука, 1976 (1989). Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т. 1, 2. М.: Наука, 1967—1968. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 2. М.: Наука, 1975 (1991). Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1977 (1999). Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1976. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. V. М.: Физматгиз, 1959. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 1. М.: Наука, 1976 (1985). Дополнительная литература Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл. М.: Факториал, 1998. Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука, 1991. Зорич В.А. Математический анализ. Т. 2. М.: Наука, 1984. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высш. школа, 1999. Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983. |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Рабочая программа для студентов направления 010100. 62 Математика.... Девятков А. П. Граничные свойства аналитических функций. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления... |  | Учебно-методический комплекс рабочая программа для аспирантов специальностей Физико-математические науки: 01. 01. 01 Вещественный, комплексный и функциональный анализ, 01. 02. 05 Механика жидкости, газа и плазмы,... |
| Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального... Комплексный экономический анализ хозяйственной деятельности: Учебно-метод комплекс. Ростов н/Д.: Изд-во рсэи, 2011 | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Осуществлять комплексный, системно-функциональный подход к организации деятельности по сохранению и укреплению психофизического здоровья... |
| Учебно-методический комплекс комплексный анализ хозяйственной деятельности Комплексный экономический анализ хозяйственной деятельности: Учебно-метод комплекс. Ростов н/Д.: Изд-во рсэи, 2011 | | Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями фгос впо... Математика, профили подготовки: «Алгебра, теория чисел, математическая логика»; «Вещественный, комплексный и функциональный анализ»;... |
| 10 Научно-исследовательские объединения 24 >10 Олимпиады 27 Олимпиада... Олимпиада по дисциплине «Комплексный экономический анализ хозяйственной деятельности предприятия» 27 | | Вопросы к экзамену по дисциплине «Прикладной функциональный анализ» Сходимость последовательностей (единственность предела, свойства сходящихся последовательностей) |
| Учебно-методический комплекс по дисциплине комплексный экономический... Анализ результатов социального развития организации. Анализ использования материальных ресурсов и состояния их запасов. Оценка эффективности... | | Тесты и глоссарий. Предназначен для студентов всех форм обучения... Комплексный экономический анализ хозяйственной деятельности: Учебно-метод комплекс. Ростов н/Д.: Изд-во рсэи, 2011 |
| Отчет о научно-исследовательской работе по теме: «Совершенствование... Агрохолдинг, интеграция, экономическая эффективность, рейтинг, функциональный анализ | | Материалы для подготовки к текущему и промежуточному контролю знаний... По курсу «Функциональный менеджмент» предусматривается две формы промежуточного контроля – зачет в устной форме и написание реферата.... |
| Комплексный анализ хозяйственной деятельности Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки от 25 октября 2011 г. №2267 на основе требований Государственного образовательного... | | Пищевая кальцийсодержащая добавка и функциональный продукт ее содержащий С. Предложен также функциональный пищевой продукт, содержащий молочный белок и пищевую кальцийсодержащую добавку. В качестве молочного... |
| Комплексный анализ геоэкологических проблем топливно-энергетического... | | Темы курсовых работ по дисциплине «Комплексный экономический анализ хозяйственной деятельности» |
