Исследование теплообмена в круглой цилиндрической трубе

УДК 532.542 ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛООБМЕНА В КРУГЛОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЕ Козлова С. В., Научный руководитель – канд. физ.-мат. наук Рыжков И.И. Сибирский Федеральный Университет Институт космических и информационных технологий В различной технике и в быту используются системы охлаждения и подогрева, в которых тепло переносится жидкостью, потому во многих практически важных задачах требуется определить распределение температуры в жидкости, подогреваемой или охлаждаемой на границе области. Анализ таких систем приводит к решению дифференциальных уравнений с заданными граничными условиями. В классической постановке задачи теплопроводность при переносе тепла в осевом направлении трубы не учитывается, в расширенной постановке она учтена. В работе E. Popoutsakis, D. Ramknishna, H. C. Lim, The extended Graetz problem with Dirichlet wall boundary conditions, расширенная задача была решена для бесконечной цилиндрической трубы, где на одной половине ее стенка нагрета до температуры T0, вторая половина – до Tf. В данной работе изучено течение жидкости в трубе, где на конечном участке длины l поддерживается температура стенки Tf,, а вне него она равна T0. Постановка задачи Рассмотрим установившееся ламинарное течение жидкости с постоянными физическими свойствами в цилиндрической трубе. Профиль скорости при установившемся течении описывается формулой , ось координат Z совпадает с осью трубы. На участке трубы 0 ≤ Z ≤ l поддерживается постоянная температура стенки Tf, на внешних участках, при Z < 0 и Z > l, температура стенки равна T0. Рис. 1. Схема движения жидкости Уравнение переноса тепла и граничные условия заданы следующим образом: для любого Z, для любого R, (2) при R=R0, . (3) В безразмерной форме постановка задачи (1-3) записывается как: для любого R, (5) при , , (6) Безразмерные переменные задаются следующим образом: , где V – характеристическая (максимальная) скорость. Необходимо найти распределение температуры в трубе. Решение Для решения поставленной задачи (4-6) определим функцию, которая характеризует количество тепла, переносимое через круговую область радиуса R путем теплопроводности и путем конвекции: 0 ≤ r ≤ 1. Благодаря введенной функции преобразуем уравнение переноса тепла (4) в систему дифференциальных уравнений первого порядка и перепишем ее в операторном виде где , Далее будем решать задачу нахождения функций ) и , удовлетворяющих граничным условиям (5-6), (8-9). Оператор действует в гильбертовом пространстве функций D(L) = {∈H: ∃L∈H,} с введенным в нем скалярным произведением Можно показать, что оператор самосопряженный, поэтому для него поставим задачу Штурма-Лиувилля j= λjj. Как показывают расчеты, оператор имеет положительные и отрицательные собственные значения {}, {}, которые соответствуют положительным и отрицательным собственным функциям {},{}. Решение для температуры ищется в виде ряда где Коэффициенты разложения, зависящие от продольной координаты z, находятся из уравнения Результаты В результате произведенных вычислений были получены следующие выражения для температуры на трех участках трубы: , , , где коэффициенты задаются функциями , Собственные функции удовлетворяют уравнению и имеют вид где есть функции Куммера. Из характеристического уравнения находятся собственные значения оператора. Для удобства представления результатов в графическом виде введем новую температуру по формуле = Тогда при r . На рисунках 2 и 3 изображены графики распределения температуры в трубе. На рис. 2а при r = 1 температура стенки представляется единичной «ступенькой», с уменьшением радиальной координаты профиль температуры становится более пологим и изменяется монотонно. Это объясняется тем, что жидкость, проходя через участок трубы с температурой стенки Tf (в безразмерной форме – равной единице) прогревается у оси трубы постепенно, а у стенки ее температура изменяется скачкообразно. С увеличением скорости движения жидкости растет число Пекле Pe, а вместе с тем изменяется характер профиля температуры – усиливается его пологость, что видно из рис. 2б. Еще более ясную картину дает вид распределения температуры в трубе. При движении жидкости появляются температурные пограничные слои, на рис. 3 они показаны темным цветом. Слои смыкаются тем дальше, чем выше число Пекле, то есть чем выше скорость течения. При малых числах Пекле необходимо учитывать влияние теплопроводности жидкости, поскольку за счет медленного течения (без ограничений общности примем, что Tf > T0) из секции, где 0 ≤ Z ≤ l, тепло от стенки передается в область перед входом в подогреваемый участок. Проведенный анализ результатов показал соответствие математических расчетов физической природе рассмотренного процесса. а) б) Рис. 2. Профиль температуры в продольном сечении трубы для различных значений чисел Пекле: а) Pe=10; б) Pe=50. а) б) Рис. 3. Распределение температуры в трубе для чисел Пекле: a) Pe=10; б) Pe=50. Исследование выполнено в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2011-2013 г.» при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, Соглашение 8756.

Похожие:

	Патентам и товарным знакам (19) А, 23. 03. 1971. Su 1126739 А, 30. 11. 1984. Us 7127942 В2, 31. 10. 2006. Исследование динамики моделей на тензометрических весах...		Исследование цветовой гаммы исследование естественного освещения... Исследование процентного соотношения кабинетов с люминесцентными и электрическими лампами
	Программный комплекс расчета характеристик свободно-конвективного...		Исследование по различным разделам языка (Отправление в страну Грамматику) I. Лексика Конспект урока по русскому языку. Урок-исследование. Тема: "имя существительное. Исследование слова ветер". 4 класс
	1. Резьба Резьба поверхность, образованная при винтовом движении... Резьба – поверхность, образованная при винтовом движении плоского контура по цилиндрической или конической поверхности		Д. Б. Сполдинг 1 и В. И. Артёмов Численное моделирование процессов с учетом гидродинамики, теплообмена и упругости; термические напряжения, возникающие в лопатках...
	Календарно-тематический план на 2013-2014 учебный год физика 8 класс Знать понятия: тепловое движение, температура. Характеризовать понятие теплового движения, виды теплообмена		Исторических городов и регионов Бочка крыша почти цилиндрической формы, но со "срезанным" примерно на одну треть низом и завершающаяся килем, как у перевернутой...
	По предмету «Скульптура» образовательной программы изобразительного искусства Учащиеся должны уметь выполнять рельефные композиции по предварительному эскизу, в круглой скульптуре необходим круговой обзор, чтобы...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Пояснение. Эпиграф к уроку: "Везде исследуйте всечасно, что есть велико и прекрасно" (М. В. Ломоносов). Часть урока – исследование....
	Московский энергетический институт (технический университет) институт... Целью дисциплины является изучение методов интенсификации теплообмена для написания реферата по выбранной теме		Расчет теплопотерь является важнейшим этапом проектирования систем... Теплопотери нельзя рассчитать не зная теплозащитных качеств ограждений, коэффициентов теплообмена на поверхностях
	Исследование извлечь нечто «из следа» Исследование – извлечь нечто «из следа», т е восстановить некий порядок вещей по косвенным признакам, отпечаткам общего закона в...		Исследование операций и системный анализ Информационные системы и их исследование методами математического прогнозирования и системного анализа
	Урока: урок-исследование Необходимые технические средства Тема: «Вывод, расчет и исследование математической модели контура r-c с использованием эвм»		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Анализируется зависимость параметра нагружения от параметра жесткости заполнителя для трех типов закрепления в случае цилиндрической...