СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
«ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИМ. С.Л. СОБОЛЕВА»
(ИМ СО РАН)
УДК 512
№ госрегистрации 01201067695
Инв.№ 02201151976
УТВЕРЖДАЮ
и.о. Директора ИМ СО РАН
д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН ______________ С. С. Гончаров
«___»_________ 2011 г.
ОТЧЕТ
О НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ
В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы
по Государственному контракту от 20 сентября 2010 г. № 14.740.11.0346
Шифр заявки «2010-1.1-111-128-010»
по теме:
АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ
Наименование этапа: «Проведение исследований»
(промежуточный, этап № 3)
Руководитель НИР, д.ф.-м.н.
|
_________________
подпись, дата
|
Е. П. Вдовин
|
Новосибирск 2011
СПИСОК ИСПОЛНИТЕЛЕЙ
Руководитель темы
д.ф.-м.н.
|
______________
|
Вдовин Е.П. (раздел 1.5)
|
Исполнители темы
|
|
|
Советник РАН,
д.ф.-м.н., академик РАН
|
______________
|
Ершов Ю.Л.(раздел 1.1)
|
зав. отделом алгебры ИМ СО РАН, д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН
|
______________
|
Мазуров В.Д. (раздел 1.3)
|
г.н.с. ИМ СО РАН,
д.ф.-м.н.
|
______________
|
Васильев А.В. (раздел 1.3)
|
г.н.с. ИМ СО РАН,
д.ф.-м.н.
|
______________
|
Желябин В.Н. (раздел 1.1, раздел 1.4)
|
г.н.с. ИМ СО РАН,
д.ф.-м.н.
|
______________
|
Романовский Н.С. (раздел 1.4)
|
в.н.с. ИМ СО РАН,
д.ф.-м.н.
|
______________
|
Бардаков В.Г. (раздел 1.4)
|
в.н.с. ИМ СО РАН,
д.ф.-м.н.
|
______________
|
Заварницин А. В. (раздел 1.4)
|
Зав. лаб. ИМ СО РАН,
д.ф.-м.н.
|
______________
|
Колесников П.С. (раздел 1.1)
|
в.н.с. ИМ СО РАН,
д.ф.-м.н.
|
______________
|
Ревин Д.О. (раздел 1.2, раздел 1.5)
|
с.н.с. ИМ СО РАН,
к.ф.-м.н.
|
______________
|
Гречкосеева М.А. (раздел 1.2)
|
с.н.с. ИМ СО РАН,
д.ф.-м.н.
|
______________
|
Пожидаев А.П. (раздел 1.1)
|
с.н.с. ИМ СО РАН,
к.ф.-м.н.
|
______________
|
Чуркин В.А. (раздел 1.4)
|
н.с. ИМ СО РАН,
к.ф.-м.н.
|
______________
|
Бутурлакин А.А. (раздел 1.2)
|
н.с. ИМ СО РАН,
к.ф.-м.н.
|
______________
|
Мамонтов А.С. (введение, реферат, подготовка, раздел 1.3)
|
н.с. ИМ СО РАН,
к.ф.-м.н.
|
______________
|
Гончаров М.Е. (раздел 1.1, раздел 1.4)
|
н.с. ИМ СО РАН,
к.ф.-м.н.
|
______________
|
Кайгородов И.Б. (подготовка, раздел 1.1)
|
н.с. ИМ СО РАН,
к.ф.-м.н.
|
______________
|
Дудкин Ф.А. (раздел 1.3)
|
Преподаватель СУНЦ НГУ,
к.ф.-м.н.
|
______________
|
Гальт А.А. (подготовка)
|
Студент НГУ
|
______________
|
Губарев В.Ю. (раздел 1.1)
|
Студент НГУ
|
______________
|
Воронин В.Ю. (раздел 1.1)
|
Студент НГУ
|
______________
|
Руденко А.С. (раздел 1.1)
|
Студент НГУ
|
______________
|
Захаров А.С. (раздел 1.1)
|
Студент НГУ
|
______________
|
Лыткин Д.В. (раздел 1.2)
|
Студент НГУ
|
______________
|
Курмазов Р.К. (раздел 1.3)
|
Нормоконтролер
|
______________
|
Волков Ю.С.
|
РЕФЕРАТ
Отчет, 67с., 2 прил.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: КОНЕЧНАЯ ГРУППА; ЙОРДОНОВА СУПЕРАЛГЕБРА; СТРУКТУРИЗУЕМАЯ СУПЕРАЛГЕБРА; КОНФОРМНАЯ АЛГЕБРА; КОАЛГЕБРА; ДИАЛГЕБРА; БИАЛГЕБРА; ЖЕСТКАЯ ГРУППА.
Объектами исследования являются фундаментальные проблемы в следующих направлениях современной алгебры: теория неассоциативных алгебр, теория конечных групп и алгебраическая геометрия.
Выполнение НИР в целом направлено на проведение фундаментальных исследований в области современной алгебры, с целью получения научных результатов мирового уровня, на подготовку и закрепление в сфере науки и образования научных и научно-педагогических кадров, а также формирование эффективных и жизнеспособных научных коллективов.
Частными целями проведения работ являются:
Выявление более глубоких взаимосвязей между современными аспектами алгебры и изучение особенностей возникающих проблем. Привлечение студентов и аспирантов к научно-исследовательской работе, что позволит: воспитать у студентов математическую культуру, необходимые интуицию и эрудицию в вопросах приложения математики; развить системное мышление; познакомить с ролью теоретической и прикладной математики в современной жизни; выработать навыки математического исследования, интерпретации результатов исследования и оценки точности полученного решения; выработать навыки доведения решения до практически приемлемого результата – числа, графика, точного качественного вывода с применением для этого современных компьютерных технологий; выработать умение самостоятельно работать со специальной математической литературой, получать и осознанно применять полученные знания; сформировать стиль мышления, необходимый для успешного использования компьютерных и информационных технологий при исследовании прикладных задач.
В ходе выполнения 3 этапа получены следующие результаты:
Описаны простые ассоциативные Z-конформных алгебры, построены свободные ассоциативных Z-конформных алгебры;
Решен вопрос о существовании универсальной обёртывающей алгебры Рота-Бакстера произвольного веса λ для любой дендриформных диалгебры и триалгебры;
Описаны все простые группы, графы простых чисел которых совпадают с графами простых чисел групп Фробениуса и удвоенных групп Фробениуса;
Показано, что структуры Рота-Бакстера веса 0 находятся во взаимно однозначном соответствии с тройками Рота-Бакстера;
Описаны холловы подгруппы в конечных простых группах;
Описаны δ-дифференцирования простых алгебр Филиппова и алгебр Филиппова малых размерностей;
Доказан аналог теоремы Михаэлиса для альтернативных биалгебр;
Описана групповая структура абстрактного соизмерителя групп Баумслага-Солитера.
В результате исследований получены новые фундаментальные результаты мирового уровня, которые вошли в дипломные и курсовые работы исполнителей, доложены на различных научных форумах, опубликованы в статьях и внедряются в учебный процесс Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН и Новосибирского государственного университета.
СОДЕРЖАНИЕ
|
ВВЕДЕНИЕ
|
7
|
|
ПРОВЕДЕНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ
|
|
1.1
|
ИЗУЧЕНИЕ БИАЛГЕБР
|
9
|
1.2
|
ИССЛЕДОВАНИЯ В КОНЕЧНЫХ ЛИЕВЫХ ГРУППАХ
|
15
|
1.3
|
ИССЛЕДОВАНИЯ В КОНЕЧНЫХ НЕЛИЕВЫХ ГРУППАХ
|
31
|
1.4
|
ИССЛЕДОВАНИЯ КВАНТОВАНИЙ АЛГЕБР
|
37
|
1.5
|
АДАПТАЦИЯ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ В ОБЛАСТИ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ К ИСПОЛЬЗОВАНИЯМ В ДАЛЬНЕЙШИХ РАЗРАБОТКАХ
|
44
|
2
|
ПОКАЗАТЕЛИ
|
47
|
|
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
|
48
|
|
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
|
49
|
|
ПРИЛОЖЕНИЕ А
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ИСПОЛНИТЕЛЕЙ
|
59
|
|
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
СПИСОК СДЕЛАННЫХ ИСПОЛНИТЕЛЯМИ ДОКЛАДОВ
|
63
|
ВВЕДЕНИЕ
Выполнение НИР направлено на проведение фундаментальных исследований в области современной алгебры, с целью получения научных результатов мирового уровня, на подготовку и закрепление в сфере науки и образования научных и научно-педагогических кадров, а также формирование эффективных и жизнеспособных научных коллективов.
В состав разрабатываемой научной продукции входят математические модели задач; алгоритмы и методы решения поставленных задач; публикации результатов исследований в отечественных и зарубежных изданиях; диссертации; отчет о НИР, содержащий обоснование развиваемых направлений исследований, изложение методик проведения исследований, а также описание полученных результатов.
Как уже отмечено выше, результаты исследований носят фундаментальный характер и могут быть востребованы во многих сферах научной деятельности. Например, при проведении современных исследований в области теории колец и теории групп, в частности в теории супералгебр, теории диалгебр, теории биалгебр, теории конечных групп, алгебраической геометрии и в других областях.
Результаты исследований вошли в курсовые и дипломные работы исполнителей, были востребованы в процессе подготовки научных публикаций и при подготовке докладов на международных конференциях.
Результаты НИР внедряются в образовательный процесс: при чтении математических курсов для студентов старших курсов и аспирантов; при проведении курсов повышения квалификации молодых преподавателей НГУ и научных сотрудников ИМ СО РАН, а также, при проведении специальных семинаров по современным разделам математики в Новосибирском Государственном университете и Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН.
Результаты подтверждены публикациями в высокорейтинговых реферируемых научных журналах по математике, а также выступлениями на российских и международных конференциях по тематике НИР.
Хотя исследования 3 этапа являются заделом для всей НИР, исполнителями уже получен ряд результатов мирового уровня. Получены новые фундаментальные результаты, найдены новые подходы, разработаны новые алгоритмы, найдены новые приложения, опубликованы новые научные статьи, защищены диссертации и дипломные работы, и осуществляется внедрение результатов в учебный процесс.
1.1. ИЗУЧЕНИЕ БИАЛГЕБР
Дуальным понятием алгебры над полем является понятие коалгебры. Наиболее интересными по содержанию объектами являются коалгебры, на которых задана операция умножения, согласованная, в определенном смысле, с коумножением. Такие объекты называются биалгебрами. В ассоциативном случае, например, коумножение — это гомоморфизм соответствующих алгебр. Примерами ассоциативных биалгебр служат алгебры Хопфа. Возросший интерес к алгебрам Хопфа мотивирован квантовым методом обратной задачи, методом построения и изучения интегрируемых квантовых систем. Алгебры Хопфа тесно связаны с такими объектами как биалгебры Ли. Последние были введены Дринфельдом [1] в 1983 году для изучения решений классического уравнения Янга-Бакстера. Основополагающий вклад в развитие этой теории был внесен Л. Фаддевым и его школой. Здесь следует отметить работы А.А. Белавина, В.Г. Дринфельда [2], в которых были построены решения классических уравнений Янга-Бакстера для простых алгебр Ли, а также работы Гельфанда И.М., Чередника И.В, Дорфмана И.Я., Семенова-Тян-Шанского М.А. Среди биалгебр Ли особую роль играют треугольные и квазитреугольные биалгебры Ли. Именно эти биалгебры связаны с классическим и модифицированным уравнениями Янга-Бакстера. В работах Алексеевского Д. и Столина А. [3] были описаны полупростые алгебры Ли, на которых задана нетривиальная структура биалгебры Ли. Коалгебры Ли были введены Михаэлисом в [4].
|
