В работах Желябина [5], [6] дано определение биалгебры по Дринфельду (Д-биалгебры), связанное с некоторым многообразием алгебр. В частности, были определены ассоциативные и йордановы Д-биалгебры, а также рассмотрен ассоциативный аналог уравнения Янга-Бакстера и ассоциативные Д-биалгебры, связанные с решениями этого уравнения. Там же были описаны ассоциативные алгебры, допускающие нетривиальную структуру Д-биалгебры с кокоммутативным на центре коумножением. Одним из условий ассоциативных Д-биалгебр является то, что коумножение – это дифференцирование исходной алгебры в ее тензорный квадрат, рассмотренный как бимодуль над исходной алгеброй. Такие биалгебры были введены Джони и Рота в [7]. Их систематическое изучение было проведено Агуиро в [8]. В последней работе были изучены некоторые свойства решений ассоциативного аналога уравнения Янга-Бакстера и свойства сбалансированных биалгебр (другое название ассоциативных Д-биалгебр). Ассоциативные классические уравнения Янга-Бакстера с параметрами рассматривались в работе Полищука [9]. Желябиным В.Н. была установлена связь между йордановыми коалгебрами и коалгебрами Ли. Класс йордановых Д-биалгебр, связанный с йордановым аналогом уравнения Янга-Бакстера, был определен в [10], где было доказано, что всякая конечномерная йорданова Д-биалгебра, которая полупроста как алгебра, принадлежит этому классу. В работе [11] изучались альтернативные Д-биалгебры и их связь с альтернативным уравнением Янга-Бакстера. В частности, были получены необходимые и достаточные условия в терминах коумножения для того, чтобы пара (A,∆) была альтернативной Д-биалгеброй. Вместе с этим, в той же работе вводится класс биалгебр, связанных с уравнением Янга-Бакстера на альтернативных алгебрах. Показано, что биалгебры этого класса являются альтернативными Д-биалгебрами. Также в работе были описаны структура альтернативной Д-биалгебры, заданные на матричной алгебре Кэли-Диксона. В работе [5] была установлена связь йордановых Д-биалгебр с биалгебрами Ли. В частности, было доказано, что если алгебра L(J), полученная по конструкции Кантора-Кехера-Титса (ККТ) из йордановой алгебры J, допускает структуру биалгебры Ли, то при некоторых естественных ограничениях алгебра J допускает структуру йордановой Д-биалгебры. Там же было доказано, что если (A(+), ∆(+)) является присоединенной йордановой Д-биалгеброй для ассоциативной Д-биалгебры (A,∆), то на алгебре L(A(+)) можно задать структуру биалгебры Ли, связанную, в некотором смысле, с биалгеброй (A(+),∆(+)). В [12] доказывается аналог данного утверждения в случае, когда A – матричная алгебра Кэли – Диксона, а пара (A,∆) – альтернативная Д-биалгебра. Вместе с этим в той же работе строится пример альтернативной Д-биалгебры (A,∆), для которой структуру присоединенной йордановой Д-биалгебры (A(+),∆(+)) нельзя продлить до структуры биалгебры Ли на алгебре L(A(+)).
Алгебры Мальцева были введены А.И. Мальцевым как касательные алгебры локальных аналитических луп Муфанг. Они являются обобщением алгебр Ли, и их теория достаточно хорошо развита. Важным примером нелиевой алгебры Мальцева является векторное пространство элементов с нулевым следом алгебры Кэли-Диксона относительно операции коммутирования в качестве умножения. В [13] изучались некоторые свойства биалгебр Мальцева, в частности здесь были условия на коуножения при которых данная биалгебра является биалгеброй Мальцева. В работе рассматривался аналог классического уравнения Янга-Бакстера на алгебре Мальцева. В частности было показано, что любое решение этого уравнения индуцирует на алгебре Мальцева структуру биалгебры Мальцева. Описываются структуры биалгебры Мальцева на простой семимерной нелиевой алгебре Мальцева над алгебраически замкнутым полем.
Хорошо известна конструкция, сопоставляющая произвольной алгебре ее дуальную коалгебру. Для алгебр Хопфа известно, что дуальная коалгебра H° алгебры Хопфа H является алгеброй Хопфа [14]. В работе [4] для любой алгебры Ли была построена конструкция ее дуальной коалгебры. В [15] было доказано, что дуальная коалгебра исходной биалгебры Ли является биалгеброй Ли. Дуальные коалгебры для йордановых биалгебр изучались В.Н. Желябиным. В работе [16] аналог теоремы Михаэлиса был доказан для почти нётеровых йордановых алгебр. Вместе с этим в той же статье строится пример йордановой Д-биалгебры, дуальная коалгебра которой не является подалгеброй в дуальной алгебре. В данной работе доказывается аналог теоремы Михаэлиса для альтернативных и ассоциативных Д-биалгебр.
Определение. Пара (A,∆), где A – линейное пространство над F, а ∆: A→ A⊗A – линейное отображение, называется коалгеброй. При этом отображение ∆ называется коумножением.
Для элемента a∈A будем использовать обозначение
∆(a)=∑a(1)⊗a(2).
На пространстве A* всех линейных функционалов, заданных на пространстве A определим умножение, полагая
fg(a)=∑f(a(1))g(a(2))
где f,g∈A*,a∈A и ∆(a)=∑a(1)⊗a(2). Полученная алгебра называется дуальной алгеброй коалгебры (A,∆).
Дуальная алгебра A* коалгебры (A,∆) задаёт бимодульное действие на A, которое определяется следующим образом:
fa=∑f(a(2))a(1) и af=∑f(a(1))a(2),
где f∈A* и ∆(a)=∑a(1)⊗a(2).
В работе [17] дано следующее определение коалгебры, связанное с некоторым многообразием алгебр.
Определение. Пусть M – произвольное многообразие алгебр. Тогда пара (A,∆) называется M-коалгеброй, если дуальная алгебра A* принадлежит многообразию M.
Пусть теперь A – произвольная алгебра, на которой задано коумножение ∆ и A* - дуальная алгебра коалгебры (A,∆). Алгебра A задаёт бимодульное действие • на пространстве A*, определенное формулой
f•a(b)= f(ab) и b•f(a)=f(ab).
Рассмотрим пространство D(A)=AA* и зададим на нём умножение, полагая
(a+f)*(b+g)=(ab+fb+ag)+(fg+f•b+a•g).
Тогда D(A) является обычной алгеброй над полем F, а A и A* - подалгебры в D(A). Алгебру D(A) будем называть дублем Дринфельда.
В работе [5] дано следующее определение биалгебры по Дринфельду (Д-биалгебры), связанное с некоторым многообразием алгебр.
Определение. Пусть M - произвольное многообразие F-алгебр и A – алгебра из M, на которой дополнительно задано коумножение ∆. Тогда пару (A,∆) будем называть M-биалгеброй по Дринфельду, если алгебра D(A) принадлежит многообразию M.
Алгебра A называется альтернативной, если для любых x,y∈A в ней выполняются следующие тождества: (x,x,y)=0 и (y,x,x)=0, где (x,y,z)=(xy)z-x(yz) – ассоциатор элементов x,y,z. Пусть A – алгебра над полем F с умножением m: A⊗A→A, т.е. m(a⊗b)=ab для любых a,b∈A. Тогда имеем сопряженное к m линейное отображение m*: A*→(A⊗A)*. Подпространство V из A* называется хорошим, если m*(V)V*⊗V*). На пространстве V зададим коумножение ∆ V: V→V⊗V, полагая ∆(v)=∑v(1)⊗v(2), если m*(v)=∑v(1)⊗v(2). Поскольку вложение пространства V*⊗V* в (V⊗V)* инъективно, то коумножение ∆ определено корректно. Пусть теперь A° - сумма всех хороших подпространств из A*. Тогда A° - наибольшее хорошее подпространство и поэтому A° - коалгебра с коумножением ∆° (см. [4, 17]). Коалгебра (A°,∆°) называется дуальной коалгеброй для алгебры A. Для любых a,b∈A и любого f∈A° имеет место f(m(a⊗b))=∑f(1)(a)f(2)(b), где ∆°(f)=∑f(1)⊗f_(2).
Утверждение 1 ([17]). Пусть A – алгебра над полем F и S – подпространство из A*. Тогда следующие условия эквивалентны:
(i) Подпространство S - хорошее.
(ii) Подпространство S – A-подбимодуль A-бимодуля A* такой, что для любого f∈S подпространства f•A и A•f являются конечномерными.
В рамках НИР доказаны следующие теоремы:
Теорема 1. Пусть пара (A,∆) – альтернативная Д-биалгебра над полем характеристики не равной 2, A* - дуальная алгебра коалгебры (A,∆) и (A°,∆°) - дуальная коалгебра алгебры A. Тогда A° - подалгебра алгебры A*, а пара (A°,∆°) – альтернативная Д-биалгебра.
Теорема 2. Пусть пара (A,∆) – ассоциативная Д-биалгебра, A* - дуальная алгебра коалгебры (A,∆) и (A°,∆°) - дуальная коалгебра алгебры A. Тогда A° - подалгебра алгебры A*, а пара (A°,∆°) – альтернативная Д-биалгебра.
Отметим, что теоремы 1 и 2 являются аналогами ассоциативными и альтернативными аналогами известных результатов из [16].
Понятие конформной алгебры, предложенное в книге [18], является инструментом исследования алгебр вертексных операторов (вертексных алгебр). Последние возникли как формальный язык для описания алгебраических свойств операторного разложения произведений (operator product expansion, OPE) в двумерной конформной теории поля, начало которой положено в работе [19]. Строгое математическое изложение соответствующей теории было впервые предложено в [20] и впоследствии развито в работах различных авторов (см., например, [21, 22]). В настоящее время теория алгебр вертексных операторов является одной из наиболее активно развивающихся областей теории представлений и математической физики.
Понятие Г-конформной алгебры (точнее, Г-конформной алгебры Ли) впервые возникло в работе [23] для аксиоматического описания OPE киральных полей с простыми полюсами в конечном числе точек или, что тоже самое, как q-деформация классического OPE, используемого в определении конформных алгебр.
В работе [24] было введено общее понятие конформной алгебры над линейной алгебраической группой G, включающий в себя класс обычных алгебр над полем (при G={e}), конформные алгебры (при G @ , где k ― поле характеристики 0). Класс же рассматриваемых в данной работе Z-конформных алгебр соответствует случаю G=. С другой стороны, понятие конформной алгебры над G эквивалентно понятию псевдоалгебры [25] над H, где H=k[G] ― алгебра Хопфа регулярных функций на G.
В данной работе показывается эквивалентность подходов Каца и Колесникова к определению понятия Z-конформных алгебр. Вводятся основные понятия для Z-конформных алгебр, такие, как идеал, (полу)простота, конечномерность (или конечный тип), функция локальности. Показывается, что категория Z-конформных алгебр эквивалентна категории обычных алгебр с так называемым локальным автоморфизмом. Соответственно можно рассматривать Z-конформные алгебры произвольного многообразия Var.
Для произвольного многообразия Var Z-конформных алгебр было показано, что вопрос о поиске свободных объектов сводится к описанию некоторых свободных мономиальных алгебр многообразия Var. Для произвольной Z-конформной алгебры была установлена её локальная конечномерность над H.
В многообразиях ассоциативных, альтернативных и лиевых Z-конформных алгебр доказывается аналог классической леммы Донга для вертексных алгебр.
Приводится пример однопорождённой альтернативной Z-конформной алгебры, не являющейся ассоциативной, что доказывает, что аналог теоремы Артина для Z-конформных алгебр не выполнен.
Было показано, что любая лиева Z-конформная алгебра ранга 1 над H является абелевой. Тем самым аналог простой одномерной как модуль конформной алгебры Вирасоро в классе лиевых Z-конформных алгебр отсутствует.
Для ассоциативных Z-конформных алгебр был получен важный структурный результат: были описаны все простые объекты конечного типа, это в точности получаются алгебры петель от матричных алгебр. В классе ассоциативных Z-конформных алгебр были построены свободные объекты.
1.2. ИССЛЕДОВАНИЯ В КОНЕЧНЫХ ЛИЕВЫХ ГРУППАХ
Понятие группы, возникшее на стыке XVIII-XIX веков из работ Лагранжа, Руффини, Абеля и Галуа, явилось обобщением фундаментальных свойств симметрии, роль которой в науке общеизвестна. Это понятие оказалось чрезвычайно плодотворным благодаря с одной стороны формальной простоте, а с другой - универсальности. Последняя состоит в том, что с любым реальным или мыслимым объектом можно связать группу его «симметрий», т.е. некоторых обратимых преобразований, оставляющих данный объект инвариантным или, по крайней мере, сохраняющих какие-либо его свойства. Многие разделы математики и естествознания используют язык теории групп в качестве рабочего, а некоторые важные и сложные проблемы даже получили благодаря переходу на этот язык исчерпывающее решение (теория Галуа, теория Вессио-Пикара, классификация Федорова и т. д.). Одной из фундаментальных задач теории групп является изучение подгруппового строения данной группы. Важным является случай, когда группа конечна, т. е. содержит конечное число элементов. Это число, называемое порядком группы, является ее естественной арифметической характеристикой и определяет многие ее свойства. Область теории групп, изучающая группы конечного порядка, является старейшей и продолжает бурно развиваться. В этой области исторически, пожалуй, самым первым значимым результатом стала теорема Лагранжа, утверждающая, что порядок |G| конечной группы G делится на порядок любой подгруппы. Это несложное утверждение имеет исключительное значение и во многом определяет проблематику теории конечных групп. Теорема Лагранжа демонстрирует, насколько сильно порядок группы определяет ее подгрупповое строение. Например, оказывается, что группа простого порядка циклическая и не содержит никаких собственных нетривиальных подгрупп. Обращение теоремы Лагранжа неверно: в общем случае не для всякого делителя m числа |G| в группе G найдется подгруппа порядка m. Скажем, A4, знакопеременная группа степени 4, имеющая порядок 12, не имеет подгрупп порядка 6. Тем более удивительной является следующая теорема, доказанная в 1872 году норвежским математиком Л.Силовом [26]:
Теорема. Пусть порядок конечной группы G равен pam, где число p простое, а m не делится на p. Тогда справедливы следующие утверждения.
(1) Группа G содержит по крайней мере одну подгруппу порядка pa (т. н. силовскую p-подгруппу).
(2) Любые две силовские p-подгруппы сопряжены.
(3) Всякая p-подгруппа группы G (т.е. подгруппа, у которой порядок является степенью числа p) содержится в некоторой силовской p-подгруппе.
Таким образом, оказывается, что для некоторых делителей порядка группы обращение теоремы Лагранжа, все же, имеет место. Более того, оказывается, что строение и свойства любой p-подгруппы во многом определяются строением и свойствами одной-единственной силовской p-подгруппы. Значение теоремы Силова трудно переоценить. По мнению специалистов [27-29] она является краеугольным камнем теории конечных групп. Уже в первом издании (Имеется ввиду издание 1897 года. В списке литературы приведена ссылка на второе издание 1911 года этой книги) классической книги У.Бернсайда [30] теореме Силова и ее многочисленным приложениям посвящена целая глава. Эта теорема неоднократно обобщалась различными авторами, в том числе и на бесконечные группы. В теории конечных групп получение теорем силовского типа сформировалось в большое самостоятельное направление, берущее свое начало в работах знаменитого английского математика Ф.Холла и нашего выдающегося соотечественникаС.А.Чунихина [31-33]. Как ни странно, теорема Холла, первое из таких обобщений, появилась лишь 1928 году [32], т.е. спустя более, чем 50 лет после работы Л.Силова. Это была первая опубликованная работа по теории групп молодого Ф.Холла. До этого он занимался математической статистикой под руководством К.Пирсона. В 1927 году Ф.Холл, еще в студенческие годы увлекавшийся группами и изучавший их по книге У.Бернсайда [30], написал Бернсайду письмо с просьбой изложить наиболее важные открытые вопросы теории групп. Тот ответил, прислав список проблем, и вскоре после этого умер. Несмотря на то, что они никогда не встречались, Холл считал Бернсайда своим учителем и всю жизнь испытывал его влияние. Работа [32], видимо, была посвящена решению проблемы из списка Бернсайда (см. [33,34]). Идея Ф.Холла состояла в том, чтобы вместо силовских p-подгрупп рассматривать более общий объект - Sп-подгруппы или, как их впоследствии стали называть, холловы п-подгруппы. Напомним определение. Пусть п - некоторое множество простых чисел. Символом п' будем обозначать множество тех простых чисел, которые не принадлежат п. Для натурального числа n через п(n) обозначим множество его простых делителей, а для конечной группы G через п(G) - множество п(|G|). Натуральное число n, для которого п(n) содержится в п, называется п-числом, а группа G, для которой п(G) содержится в п, называется п-группой. Подгруппа H конечной группы G называется холловой п-подгруппой, если п(H) — подмножество в п и п(|G:H|) — подмножество в п'. Таким образом, если п состоит из одного простого числа p, то холлова п-подгруппа - это, в точности, силовская п-подгруппа. Холлова подгруппа - это холлова п-подгруппа для некоторого множества п. Ф.Холл [32] доказал следующую теорему.
|
