Скачать 156.49 Kb.
|
управление образования и науки белгородской области Валуйский педагогический колледж Школьное отделение Предметно-цикловая комиссия физико-математических дисциплин Поповская Анна Владимировна Студент 23 группы Методика обучения учащихся векторному методу в школьном курсе геометрии РЕФЕРАТ По специальности 05020152 – преподавание математики в основной школе Квалификация – учитель математики основной школы Научный руководитель: Преподаватель Соколова С. В. Валуйки, 2007 План: ВведениеI 1.1 История векторного исчисления.1.2.Понятие вектора. Цели изучения векторного метода в средней школе.1.3.Основные компоненты векторного метода решения задач.1.4.Понятийный аппарат.1.5.Основные этапы формирования векторного метода у учащихся.1.6.Методика формирования векторного метода решения задач.II 2.1.Решение задач.ЗаключениеСписок литературыВведение В настоящее время в разных странах существует более или менее единое мнение по следующим двум вопросам:
Мы должны отдать предпочтение методам, основанными на фундаментальных понятиях, выкристаллизовавших за двадцать веков развития математики: понятиях множества, отношений эквивалентности и порядка, алгебраических законах, векторном пространстве, симметрии и геометрических преобразований. Как построить схему, удовлетворяющую нашим требованиям? Хотелось бы, чтобы в этой системе было удобно выявить векторную структуру пространства, равно как и существование и свойства скалярного произведения. Следовательно, ситуацию можно резюмировать следующим образом: сегодня мы владеем простым «царским путем» в геометрию, ведущим через понятия «векторного пространства» и «скалярного произведения»; однако этими понятиями нельзя «овладеть штурмом», без всякой подготовки. Тем не менее, эти понятия будут служить нам путеводной звездой. Основные цели данного метода:
1.1.История векторного исчисления Многие историки считают «родителями векторного пространства» ирландского учёного XIX в. У. Гамильтона, а также его немецких коллег и современников Г. Грассмана. Даже сам термин «вектор» ввел также Гамильтон около 1845 г. Между тем историю векторного исчисления, как историю и корни всякой крупной математической теории, можно проследить задолго до его выделения в самостоятельный раздел математики. Так еще Архимед в его всем известном законе присутствует величина, характеризующаяся не только численным значением, но и направлением. Более того: векторный характер сил, скоростей и перемещений в пространстве был знаком многим ученым Античного времени, а «правило параллелограмма» сложения векторов было известно еще в IV в. Р. Х. математикам школы Аристотеля. Вектор обычно изображался отрезком с указанным на нем направлением, т.е. направленным отрезком. Параллельно с исследованиями комплексных чисел в работах многих математиков XVII-XVIII в. в., занимавшихся геометрическими проблемами, можно увидеть нарастание потребности в неком геометрическом исчислении, подобном численному (исчислению действительных чисел), но связанному с пространственной системой координат. Его в какой-то мере пытался создать еще Лейбниц, продумывая свою «универсальную арифметику», но, несмотря на гениальность и необычайную широту интересов, сделать это ему не удалось. Однако уже к концу XVIII в. отдельные идеи векторного исчисления, которое и стало тем исчислением, что искали геометры, смог сформулировать французский ученый Л. Карно. А в 30-х годах XIX в. у Гамильтона и Грассмана в работах по теории комплексных чисел и кватернионов эти идеи были сформулированы уже совершенно прозрачно, хотя, по существу, что удивительно, они имели дело только с некоторыми примерами тех конечномерных векторных пространств, которые теперь бы мы назвали – координатными. Так называемые функциональные векторные пространства привлекли внимание математиков уже в начале нашего века рослее инновационных результатов в этой области итальянца С. Пинкерля и немецкого математика О. Теплица, который известен своими работами по теории матриц, и, в частности, тем, что придумал удачную общую модель векторного пространства – координатное векторное пространство. Именно Хевисайд ввел в 1891 г. Одно из закрепившихся в научной литературе обозначающий вектора: а, автором двух других общепринятых ныне обозначений векторов: ā был Ж. Арган, а для обозначения свободного вектора предложил А. Мебиус. Термин «скалярный» в современном смысле впервые употребил У. Гамильтон в 1843 г. Таким образом, векторное исчисление – это раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. Возникновение векторного исчисления тесно связано с потребностями механики и физики. 2.2 Понятие вектор. Цели изучения векторного метода в средней школе Вектор – одно из фундаментальных понятий современной математики и широко используется в различных её областях. В работах Г. Бесселя, Ж. Аргана и К. Гаусса по теории комплексных чисел установлена связь между арифметическими операциями над векторами в двумерном пространстве. В работах В. Гамильтона, Г. Грассмана, Ф. Мёбиуса понятие вектора нашло широкое применение при изучении свойств трёхмерного пространства. В настоящее время на векторной основе излагаются линейная алгебра, аналитическая и дифференциональная геометрия, функциональный анализ. К понятию вектора как направленного отрезка приводят многие задачи механики и других областей физики: теории упругости, теории электромагнитных полей. В методике преподавания математики вектор выступает как связывающее звено между метрикой и направлением. Цели изучения векторного метода в средней школе:
2.3.Основные компоненты векторного метода решения задач Основными компонентами векторного решения метода решения задач являются:
2.4.Понятийный аппарат Понятийный аппарат и умения, которыми должен овладать ученик, чтобы научиться решать задачи векторным методом:
2.5.Основные этапы формирования векторного метода у учащихся Подготовительный этап. Его цель – овладение перечисленными основными понятиями и основными действиями. Мотивационный этап. Его задача – показать необходимость овладения этим методом и добиться осознания того факта, что на следующих этапах целью деятельности учащихся будет именно усвоение этого метода решения задач. Приём, используемый при этом, - решение таких задач, которые векторным методом решаются проще, чем любым другим, или другим вообще решить невозможно. Ориентировочный этап. Его цель – разъяснить суть метода и выделить его основные компоненты на примере анализа решенной этим методом задачи. Этап овладения компонентами метода. Цель – используя специально подобранные задачи, формировать отдельные компоненты метода (сначала задачи на формирование одного компонента, потом двух, трёх и т.д.). Этап формирования метода «в целом». Цель – решение задач, в которых работают все или большинство компонентов метода (в том числе и на материале физики, химии и др. предметов). Деление форматирования метода на этапы здесь условно, т.к. они тесно взаимосвязаны. Очевидно, не стоит разделять ученикам четко задачи на формирование компонентов, но сам учитель должен четко знать, какой компонент с помощью какой из задач он будет формировать у учащихся. Однако цель каждого этапа должна быть ясна и учителю, и учащимся. 2.6.Методика формирования векторного метода решения задач
Задача: В трапеции ABCD углы A и B равны по 900, а стороны AB=2, BC=1, AD=4. окажите, что диагонали этой трапеции взаимно перпендикулярны. Задача решается несколькими способами и показывается, что векторный метод задачи более прост.
Показывается, какому необходимо научить учащихся, - это перевод геометрических соотношений на векторный язык. Для формирования умения выполнять это действие целесообразно с учащимися решать задачи типа:
Решение этих и других подобных задач желательно оформить в виде таблицы в кабинете и первое время ею пользоваться при решении задач векторным способом. Учащимся показывается наиболее целесообразный выбор системы координат и выбор базисных векторов. Это действие формируется у учащихся с помощью задач:
2.1.Линейные операции над векторами Линейные операции называются операции сложения и вычитания векторов и умножение вектора на число.
Определение 1.Пусть и - два свободных вектора. Возьмём произвольную точку О и построим вектор =, в затем от точки А отложим вектор =. Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается +. Это правило построения суммы двух векторов называется «правилом треугольника». Определение 2.Суммой векторов и с координатами а1, а2 и в1, в2 называется вектор с координатами а1+в1, а2+в2, т.е. (а1; а2)+ (в1; в2) = (а1+в1; а2+в2). Ту же самую сумму векторов можно получить иным способом. Отложим от точки О вектор = и =. Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОАВС. Вектор , служащий диагональю этого параллелограмма, проведенной из вершины О, является, очевидно, суммой векторов +. Из рисунка непосредственно следует, что сумма двух векторов обладает переместительным свойством: +=+ Сумма двух векторов, исходящих из одной точки, выполняется по «правилу параллелограмма». Пусть, например, даны три вектора , и . П остроим сначала сумму векторов +, а затем, прибавив к этой сумме , получим вектор (+)+. На рисунке =, =, =+, = и =+=(+)+ В С Из рисунка видно, что тот же вектор мы получим, если к вектору = прибавим вектор =+.Таким образом, (+)+=+(+), т.е. сумма векторов обладает сочетательным свойством. Поэтому сумму трёх векторов , и записывают просто ++. Аналогично можно построить сумму четырёх, пяти и вообще любого числа векторов. Это правило построения суммы нескольких векторов называется «правилом многоугольника». =++++ Из произвольной точки О откладывается вектор, равный первому слагаемому вектору. К концу первого вектора присоединяется начало второго; к концу второго – начало третьего и т.д. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, является суммой данных векторов. Если при сложении нескольких векторов конец последнего слагаемого вектора совпадает с началом первого, то сумма векторов равна нулевому вектору. Очевидно, что для любого вектора имеет место равенство +0=.
Разностью векторов и называется такой вектор =- , сумма которого с вычитаемым вектором дает вектор . Таким образом, если =- , то + =. Разность векторов и обозначается так: - . Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора – разности. Откладываем векторы = и = из общей точки О. Вектор , соединяющий концы уменьшаемого вектора и вычитаемого вектора , является разностью =- . Действительно, по правилу сложения векторов +=, или + =. Задачу о построении разности двух векторов можно решить и другим способом. Пусть даны векторы и справедливо равенство -=+(-). Вектор - называется противоположным вектору , если вектор и - имеют равные длины и противоположно направлены. Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор. Если - противоположный вектору , то, очевидно, +(-)= 0
Произведением ненулевого вектора и на число k называется такой вектор , длина которого равна , причем векторы и соноправлены при k>=0 и противоположно направлены при k<0. Произведением ненулевого вектора на любое число считается ненулевой вектор. Произведение вектора на число k обозначается так: k*. Н а рисунке изображены вектор и векторы 3*, -1,5*. Из определения произведения вектора на число непосредственно следует, что:
Умножение вектора на число обладает следующими основными свойствами (для любых чисел k, l и любых векторов , ) :
Заключение В данном реферате показано широкое применение векторного аппарата, использование вектора при решении задач. Реферат способствует расширению знаний учащихся, развитию и формированию мыслительных операций. В данном реферате были поставлены и рассмотрены цели изучения векторного метода в школе. С помощью поставленных целей мы познакомились с историей возникновения векторного исчисления, с понятием вектор, рассмотрели понятийный аппарат векторного метода решения задач, выделены основные компоненты решения задач этого метода. Реферат помог научиться решать простейшие задачи с помощью построения векторов. Примеры этих задач взяты и подробно разобраны только из школьной программы. При решении задач были использованы различные линейные операции, такие как сумма и вычитание векторов, умножение вектора на число. Для формирования метода в реферате были представлены основные этапы: подготовительный, мотивационный, этап овладении компонентами метода, этап формирования метода «в целом». Этот материал может быть интересен и полезен для учителя при использовании векторного метода при решении задач с целью форматирования у учащихся выполнять обобщение и конкретизацию. Список литературы 1. Мантуров О. В., Матвеев Н. М. Курс высшей математики. – М.: Высшая школа, 1986. – 480 с. 2. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. – 512 с. 3. Базылев В. Т., Дуничев К. И., Иваницкая В. П. Геометрия. ч. 1.- М.: Просвещение, 1974. – 352 с. 4. Атанасян Л. С., Базылев В. Т., Геометрия. ч. 1. – М.: Просвещение, 1986. – 336 с. 5. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.– 4-е изд. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. – 336 с. 6. Простников М. М. Лекции по геометрии. Семестр I. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 416 с. 7. Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 304 с. 8. Простников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Линейная алгебра. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 400 с. Перейти к оглавлению |
Реферат По специальности 05020152 преподавание математики в основной... Числовая последовательность есть функция натурального аргумента. (Так, например, арифметическая прогрессия является линейной функцией... | Реферат по теме «Межпредметные взаимосвязи физики и математики в курсе основной школы» Работу выполнила Колобова Елена Николаевна, учитель физики средняя общеобразовательная школа N12 г. Пушкино | ||
Отчет по результатам самоаттестации кафедры теории и методики обучения математике в школе Кафедра теории и методики обучения математике в школе математического факультета мгпу была открыта в 2002 году. Основной деятельностью... | Буинский районный отдел образования Районный конкурс «Учитель года 2008» Подготовила и провела учитель математики I квалификационной категории Кошки-Шемякинской основной общеобразовательной школы Буинского... | ||
Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Составила: Епифанова Н. Н. учитель математики Пищевской основной школы Шарьинского муниципального района | Методическая разработка Дня математики в школе Приглашенные – учителя школы, члена кустового методического объединения учителей математики, физики и информатики | ||
Программа элективного курса для обучающихся 8-9 классов основной... Тема Дискретная случайная величина, способы ее задания. Числовые характеристики. Функция распределения и ее свойства. 19 | Задачи на механический смысл производной. Учитель математики Бобрус В. А Однако целесообразно внедрять задачи на физический смысл производной на других уроках, на факультативных занятиях, т к это способствует... | ||
Конспект фронтальной коррекционно-развивающей деятельности для детей... Методическая разработка урока математики, учитель математики Стратий Е. Г., Мбоу сош №25 | Пояснительная записка Программа семинара составлена на основе дополнительной... Она направлена на обучение использованию нового оборудования – интерактивной доски на уроках математики. Обучение работе с интерактивными... | ||
Методическое пособие для учителей «Преподавание курса «Информатика... Рабочая программа по информатике и информационно-коммуникационным технологиям составлена на основе федерального компонента государственного... | Реферат на тему: «Изучение синтаксиса в основной школе (анализ умк)» Система работы по изучению синтаксиса в основной школе | ||
Конспект урока математики в 1 классе Элективный курс для предпрофильной подготовки учащихся основной школы “ Museen in Deutschland.” | Рабочая программа по предмету «Информатика и икт» составлена на основе... «Информатика и икт» составлена на основе авторской программы Н. Д. Угриновича «Преподавание базового курса «Информатика и икт» в... | ||
Рабочая программа по предмету «Информатика и икт» составлена на основе... «Информатика и икт» составлена на основе авторской программы Н. Д. Угриновича «Преподавание базового курса «Информатика и икт» в... | Модель 16 районного конкурса «учитель года 2014» номинации: «Учитель... «Учитель начальных классов», «Учитель основной и средней школы», «Классный |