Реферат По специальности 05020152 преподавание математики в основной школе Квалификация учитель математики основной школы

управление образования и науки белгородской области Валуйский педагогический колледж Школьное отделение Предметно-цикловая комиссия физико-математических дисциплин Абрамкина Надежда Юрьевна Студентка 23 группы чИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ РЕФЕРАТ По специальности 05020152 – преподавание математики в основной школе Квалификация – учитель математики основной школы Научный руководитель: Преподаватель Е.И. Старокожева Валуйки, 2007 Содержание. Введение………………………………………………………………………3 Числовые последовательности. Понятие числовых последовательностей……………………………….5 1.2 Способы задания числовых последовательностей……………………..6 II. Развитие учения о прогрессиях……………………………………………...7 III. Прогрессии. 2.1. Арифметические прогрессии 2.1.1. Арифметические прогрессии в древности………………………….9 2.1.2 Понятие арифметических прогрессий……………………………...11 2.1.3 Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии…13 2.2 Геометрические прогрессии. 2.2.1 Геометрические прогрессии в древности…………………………..14 2.2.2 Понятие геометрической прогрессии………………………………15 2.2.3 Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии….17 Заключение……………………………………………………………………..18 Список литературы……………………………………………………………..19 Введение. В настоящее время числовые последовательности рассматриваются как частные случаи функции. Числовая после­довательность есть функция натурального аргумента. (Так, на­пример, арифметическая прогрессия является линейной функцией натурального аргумента, а геометрическая прогрессия — показа­тельной функцией натурального аргумента.) Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности: 1, 2, 3, 4, 5, … - последовательность натуральных чисел. 2, 4, 6, 8, 10,… - последовательность чётных чисел. 1, 3, 5, 7, 9,… - последовательность нечётных чисел. 1, 4, 9, 16, 25,… - последовательность квадратов натуральных чисел. 2, 3, 5, 7, 11… - последовательность простых чисел. 1, ½, 1 /3, ¼, 1 /5,… - последовательность чисел обратных натуральным. Число членов каждого из этих рядов бесконечно; первые пять последовательностей — монотонно возрастающие, последняя — мо­нотонно убывающая. Все перечисленные последовательности, кроме 5-й, являются заданными ввиду того, что для каждой из них извес­тен общий член, т. е. правило получения члена с любым номером. Для последовательности простых чисел общий член неизвестен, однако еще в III в. до н. э. александрийский ученый Эратосфен указал способ (правда, очень громоздкий) получения n-го ее члена. Этот способ был назван «решетом Эратосфена». Идея предела последовательности восходит к V—IV вв. до н. э. Прогрессии — частные виды числовых последовательностей — встречаются в памятниках II тысячелетия до н. э. В своей работе я попытаюсь рассмотреть основные понятия, связанные с числовыми последовательностями, их применение на практике. Расскажу о возникновении термина «прогрессия», (откуда он пошёл, что обозначал), о развитии учения о прогрессиях и т.д. I. Числовые последовательности. Понятие числовых последовательностей. Числовая последовательность – это занумерованное числовое множество. Будем выписывать в порядке возрастания положительные чётные числа. Первое такое число равно 2, второе – 4, третье – 6, четвёртое – 8 и т.д. таким образом мы получим последовательность: 2; 4; 6; 8; 10 …. Очевидно, что на пятом месте в этой последовательности будет число 10, на десятом число – 20, на сотом число – 200. вообще для любого натурального числа n можно указать соответствующее ему положительное чётное число; оно равно 2n. Рассмотрим ещё одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1: ; ; ; ; ; … . Для любого натурального числа n мы можем указать соответствующую ему дробь; она равна . Так, на шестом месте должна стоять дробь , на тридцатом - , на тысячном – дробь . Числа образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, четвёртым и т.д. членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена. Например: , , и т.д. вообще член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член последовательности, обозначают . Саму же последовательность обозначают (). Последовательность может содержать, как бесконечное число членов, так и конечное. В этом случае её называют конечной. Например: последовательность двухзначных чисел. 10; 11; 12; 13; …; 98; 99 1.2 Способы задания числовых последовательностей. Последовательности можно задавать несколькими способами. Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером. Наиболее часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена последовательности. Например: последовательность положительных чётных членов =2n. Последовательность правильных дробей: =. Рассмотрим ещё один пример: пусть последовательность задана формулой: =. Подставляем вместо n натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, и т.д., получаем: … Рассмотрим ещё один способ задания последовательности. Пример: Пусть первый член последовательности (а) равен 10, а каждый следующий равен квадрату предыдущего, т.е. а=10, а=. С помощью формулы а= можно по известному первому члену вычислить второй, затем третий и т.д. Формулу выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной (от латинского слова recurro – возвращаться). Так же числовую последовательность можно задать простым перечислением её членов. Развитие учения о прогрессиях. Слово прогрессия латинского происхождения (progressio), буквально означает «движение вперёд» (как и слово «прогресс») и встречается впервые у римского автора Боэция (V-VIвв.), первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность, построенную по закону, позволяющему неограниченно продолжать её в одном направлении, например последовательность натуральных чисел, их квадратов и кубов. В конце средних веков и в начале нового времени этот термин перестаёт быть общеупотребительным. В XVII веке, например, Дж. Грегори употребляет вместо прогрессии термин «ряд», а другой видный английский математик, Дж. Валлис, применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии». В настоящее время мы рассматриваем прогрессии как частные случаи числовых последовательностей. Возможно, что древние вавилоняне и другие народы той далёкой эпохи имели некоторые общие приёмы решения задач, которые дошли до нас. Однако об этих приёмах мало что известно. Теоретические сведения связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в V в. до н.э. греки знали следующие прогрессии и их суммы: 1+2+3+…+n= , 2+4+6+…+2n=n(n+1), 1+3+6+…+(2n+1)=(n+1)2 и др. В «Псаммите» Архимед впервые сопоставляет арифметическую и геометрическую прогрессии: 1,2,3,4,5,……………….. 10,102,103,104,105,…………. И указывает на связь между ними, например: , т.е. для умножения двух членов геометрической прогрессии достаточно сложить соответствующие члены арифметической прогрессии и взять полученную сумму в качестве показателя 10. У греков теория геометрических прогрессий была связана с так называемой непрерывной геометрической пропорцией: a:b = b:a, в котором числа a, b, c образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Прогрессии рассматривались как бы продолжением пропорций, вот почему эпитеты арифметическая и геометрическая были перенесены от пропорций к прогрессиям. Такой взгляд на прогрессии сохранился и у многих математиков XVII и даже XVIIIв. Именно так следует объяснить тот факт, что символ встречающийся у Барроу, а затем и у других английских учёных того времени для обозначения непрерывной геометрической пропорции, стал обозначать в английских и французских учебниках XVIII века геометрическую прогрессию. По аналогии так стали обозначать и арифметическую прогрессию. В «Началах» Евклида есть теорема, которая по существу эквивалентна знакомой нам формуле суммы геометрической прогрессии: Sn = (lq-a)/q-1 Одно из доказательств Архимеда, изложенное в его произведении «Квадратура параболы», сводится опять таки по существу к суммированию бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Для решения некоторых задач из геометрии и механики Архимед вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел, хотя её пользовались и до него. 12 + 22 +32 + ... + n2 = 1/6n(n+1)(2n+1) Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским учёным. Так, Ариабхатта (Vв.) знал формулы для общего члена, суммы арифметической прогрессии и др., Магавира (IXв) пользовался формулой: 12 + 22 +32 + ... + n2 = 1/6n(n+1)(2n+1). И другими более сложными рядами. Однако правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202) Леонардо Пизанского. В «Науке о числах» (1484) Н. Шюке, как и Архимед, сопоставляет арифметическую прогрессию с геометрической и даёт общее правило для суммирования любой бесконечно малой убывающей геометрической прогрессии. Формула для суммирования бесконечно убывающей прогрессии была известна П. Ферма и другим математикам XVII века. III Прогрессии. 3.1 Арифметическая прогрессия. 3.1.1 Арифметические прогрессии в древности. В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских па­пирусах, относящихся ко II тысячелетию до н.э., встречаются при­меры арифметических и геометрических прогрессий. Вот одна вавилонская задача, в которой используется ариф­метическая прогрессия. Задача: «10 братьев, мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимается, не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом — на сколько он выше?» Итак, мины (мина равна 60 шекелям) серебра требуется разделить между 10 братьями так, чтобы доли братьев составляли арифметическую прогрессию. Требуется найти разность прогрес­сии, зная, что восьмой брат получает б шекелей. Вавилонский автор, не имевший в своем распоряжении ни сов­ременной символики, ни готовых формул, вынужден придержи­ваться строго арифметических рассуждений. Идея его решения следующая. Он начинает с нахождения средней арифметической (средней доли), деля мины на 10 и получая мины, ее умножает затем на два. Итак, удвоенная средняя доля есть мины. Это и есть сумма долей третьего и восьмого братьев, имея в виду, что первого от третьего, как и восьмого от десятого отделяют 2 ступени (интервала). Третьего же от восьмого отделяют 5 ступеней, а разность между их долями составляет мины. Отсюда и находится значение одной ступени, т. е. разность прогрессии, от мины, или + мины. А вот египетская задача из папируса Ахмеса. Задача: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры». При решении этой и других аналогичных задач египтяне, ви­димо, пользовались правилом, которое можно записать в совре­еной символике так: . Оно эквивалентно нашей формуле. . Происхождение этого правила не установлено: оно, вероятно, эмпирического характера. Задачи на арифметические (и геометрические) прогрессии имеется и в древнекитайском тракте «Математика в девяти книгах», в котором нет, однако, указаний на применение какой-либо формулы суммирования. Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т.д. 3.1.2 Понятие арифметической прогрессии. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на четыре дают в остатке 1: 1; 5; 9; 13; 17; 21 … Каждый её член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 4. эта последовательность является примером арифметической прогрессии. Иначе говоря, последовательность () – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие. , где d некоторое число. Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, т.е. при любом натуральном n верно равенство . Число d называют разностью арифметической прогрессии. Чтобы задать арифметическую прогрессию достаточно указать её первый член и разность. Например: если а=1 и d=1, то получим арифметическую прогрессию 1; 2; 3; 4; 5; …, члены которой – последовательные натуральные числа. Если разность арифметической прогрессии – положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если это отрицательное число, то такая прогрессия называется убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все её члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью. Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой её член, вычисляя последовательно второй, третий, четвёртый и т.д. члены. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ не удобен. Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы. По определению арифметической прогрессии: , . Точно так же находим, что а=а+5d, и вообще, чтобы найти а, нужно к а прибавить (n-1)d, т.е. мы получим формулу n-го члена арифметической прогрессии. Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно записать иначе: . Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида , где k и b – некоторые числа. При любом n справедливо равенство , и по определению последовательность (аn) является арифметической прогрессией, причём разность этой прогрессии равна k. 3.1.3 Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии. Обозначим сумму n- первых членов арифметической прогрессии (аn) через Sn и запишем эту суму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором случае в порядке убывания: , . Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна а1+аn. Действительно, и т.д. число таких пар равно n. Поэтому, сложив почленно равенства, получим: . Разделив обе части последнего равенства на 2, получим формулу суммы и первых членов арифметической прогрессии: . 3.2 Геометрические прогрессии. 3.2.1 Геометрические прогрессии в древности. В папирусе Ахмеса содержится задача, в которой требуется найти сумму n членов геометрической прогрессии, зная первый её член и знаменатель. Из одной клинописной таблички можно заключить, что, наблюдая луну от новолуния до полнолуния, вавилоняне пришли к такому выводу: в первые пять дней после новолуния рост освещения лунного диска совершается по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2. в другой более поздней табличке речь идёт о суммировании геометрической прогрессии: 1+2+22+…+29. решение и ответ S=512+(512-1), данные в табличке наводят на мысль, что автор пользовался формулой. Sn=2n+(2n-1), Однако о том, как он дошёл до нее никому не известно. Издавна большой популярностью пользуется следующая задача легенда, которая относится к началу нашей эры. «Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царём, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую – 2 зерна, за третью – 4 и т.д. оказалось, что царь не был в состоянии выполнить это «скромное» желание Сеты». В этой задачи речь идёт о суммировании геометрической прогрессии 1, 2, 22, 23, … 263. Её сумма равна: 264-1=18 446 744 073 709 551 615. Такое количество зёрен пшеницы можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой примерно в 2000 раз больше поверхности Земли. Любопытно отметить, что в задачах на геометрические прогрессии китайской «Математики в девяти книгах» знаменатель равен 2. Формул суммирования здесь нет. По содержанию некоторые китайские задачи трактуют о растущей или убывающей производительности труда ткачих. Примеры арифметических и геометрических прогрессий имеются и в индийских «сиддхантах». Суммированием геометрических прогрессий и составлением соответствующих , не всегда отвечающих практическим нуждам задач занимались многие любители математики на протяжении древних и средних веков. В древнерусском юридическом сборнике «Русская правда» содержаться выкладке о приплоде от скота и пчёл за известный промежуток времени. О количестве зерна, собранного с определённого участка земли и т.д. в некоторых из них вычисляется сумма геометрической прогрессии со знаменателем 2. Эти задачи, по видимому, не имели хозяйственного или юридического значения, а как и в других странах являлись результатом развития интереса любителей математики к математическому содержанию подобных задач; однако впервые задачи на прогрессии возникли из наблюдений за явлениями природы из исследования общественно-экономических явлений, к которым применим закон арифметической или геометрической прогрессии. 3.2.2 Понятие геометрической прогрессии. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел. Каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Рассмотрим последовательность, членами которой являются числа 2 с натуральными показателями: 2, 22, 23, 24, 25, …… Каждый член этой последовательности начиная со второго, получается умножением предыдущего член ан а2. эта последовательность является примером геометрической прогрессии. Иначе говоря, последовательность bn – геометрическая прогрессия, если для любого натурального n выполняются условия: bn не равно нулю и bn+1=bn·q, где q – некоторое число. Обозначим, например, через (bn) последовательность натуральных степеней числа 2. в этом случае для любого натурального n верно равенство bn+1 = bn·2; здесь q=2. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т.е. при любом натуральном n верно равенство: bn+1/bn = q. Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Понятно, что знаменатель геометрической прогрессии всегда отличен от нуля. Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель. Например: Если b1=1 и q=0,1, то получим геометрическую прогрессию 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 … . Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти последовательно второй, третий и вообще любой её член: b2 = b1q, b3 = b2q = (b1q)q = b1q2, b4 = b3q = (b1q2)q = b1q3, b5 = b4q = (b1q3)q = b1q4. Из этого следует: чтобы найти bn, мы должны b1 умножить на qn-1, т.е. bn = b1 qn-1. 3.2.3 Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии. Выведем формулу суммы n первых членов произвольной геометрической прогрессии. Пусть дана геометрическая прогрессия (bn). Обозначим сумму n первых членов её через Sn.: Sn = b1 + b2 + b3 + ... + bn-1 + bn. (1) Умножим обе части этого равенства на q: Snq = b1q + b2q + b3q + ... + bn-1q + bnq. Учитывая, что b1q = b2, b2q = b3, b3q = b4, ..., bn-1q = bn, получим : Snq = b2 + b3 + b4 + ... + bn + bnq. (2) Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведём подобные члены: Snq – Sn = (b2 + b3 + ... + bn + bnq) – (b1 + b2 +... + bn-1 + bn) = bnq – b1, Sn(q – 1) = bnq – b1. Отсюда следует, что при q не равном 1: Sn = (bnq – b1)/(q-1). Мы получили формулу n первых членов геометрической прогрессии, в которой q не равно 1, если q равно 1, то все члены прогрессии равны первому её члену. При решении задач удобно пользоваться формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде: Sn = (b1(qn – 1))/(q-1). Заключение. Изучением числовых последовательностей занимались многие ученые на протяжении многих веков. Они являются одним из ключевых понятий математики. В своей работе я постаралась отразить основные понятия связанные с числовыми последовательностями, способы их задания, рассмотрела некоторые из них. Отдельно были рассмотрены прогрессии (арифметическая и геометрическая), рассказано о истории их возникновения, о основных понятиях связанных с ними. Список используемой литературы. Алгебра. 9 класс. С.А. Теляковский, Москва, «Просвещение» 1990г. Большой справочник школьника. Москва, «Дрофа» 2001г. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. В.С. Крамор, Москва «Просвещение» 1990г. «История математики», Глейзер. «Математика в школе» Ж. 2002г. Перейти к оглавлению

Похожие:

	Реферат По специальности 05020152 преподавание математики в основной... В настоящее время в разных странах существует более или менее единое мнение по следующим двум вопросам		Реферат по теме «Межпредметные взаимосвязи физики и математики в курсе основной школы» Работу выполнила Колобова Елена Николаевна, учитель физики средняя общеобразовательная школа N12 г. Пушкино
	Отчет по результатам самоаттестации кафедры теории и методики обучения математике в школе Кафедра теории и методики обучения математике в школе математического факультета мгпу была открыта в 2002 году. Основной деятельностью...		Буинский районный отдел образования Районный конкурс «Учитель года 2008» Подготовила и провела учитель математики I квалификационной категории Кошки-Шемякинской основной общеобразовательной школы Буинского...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Составила: Епифанова Н. Н. учитель математики Пищевской основной школы Шарьинского муниципального района		Методическая разработка Дня математики в школе Приглашенные – учителя школы, члена кустового методического объединения учителей математики, физики и информатики
	Программа элективного курса для обучающихся 8-9 классов основной... Тема Дискретная случайная величина, способы ее задания. Числовые характеристики. Функция распределения и ее свойства. 19		Задачи на механический смысл производной. Учитель математики Бобрус В. А Однако целесообразно внедрять задачи на физический смысл производной на других уроках, на факультативных занятиях, т к это способствует...
	Конспект фронтальной коррекционно-развивающей деятельности для детей... Методическая разработка урока математики, учитель математики Стратий Е. Г., Мбоу сош №25		Пояснительная записка Программа семинара составлена на основе дополнительной... Она направлена на обучение использованию нового оборудования – интерактивной доски на уроках математики. Обучение работе с интерактивными...
	Методическое пособие для учителей «Преподавание курса «Информатика... Рабочая программа по информатике и информационно-коммуникационным технологиям составлена на основе федерального компонента государственного...		Реферат на тему: «Изучение синтаксиса в основной школе (анализ умк)» Система работы по изучению синтаксиса в основной школе
	Конспект урока математики в 1 классе Элективный курс для предпрофильной подготовки учащихся основной школы “ Museen in Deutschland.”		Рабочая программа по предмету «Информатика и икт» составлена на основе... «Информатика и икт» составлена на основе авторской программы Н. Д. Угриновича «Преподавание базового курса «Информатика и икт» в...
	Рабочая программа по предмету «Информатика и икт» составлена на основе... «Информатика и икт» составлена на основе авторской программы Н. Д. Угриновича «Преподавание базового курса «Информатика и икт» в...		Модель 16 районного конкурса «учитель года 2014» номинации: «Учитель... «Учитель начальных классов», «Учитель основной и средней школы», «Классный