Баумана Факультет «Фундаментальные науки»
Скачать 494.12 Kb.
|
| Часть 2. Линейный оператор. 2.1 Определение линейного оператора. Определение. Если задан закон, по которому каждому вектору  линейного пространства L ставится в соответствие единственный вектор  пространства  , являющегося подпространством L, то этот закон, отображающий L на , называется оператором  .  (9)Вектор называют образом, а вектор - прообразом.Отображение  (то есть линейное пространство отображается на себя) называется преобразованием пространства L. Определение Оператор, отображающий пространство L на пространство , называется линейным оператором, если выполняются следующие условия:   где  (10)Пример 15. Рассмотрим множество компланарных геометрических векторов в плоскости V2 . Действие оператора заключается в повороте этого пространства вокруг некоторой точки на угол φ. Является ли этот оператор линейным? Решение. Так как геометрические векторы свободны, отнесём начала всех этих векторов к точке 0, вокруг которой поворачивается пространство. Все векторы принадлежат теперь одной плоскости π. Проверим, выполняются ли условия линейности оператора. (см. (10)) а) Если  - векторы пространства V2 , то есть они принадлежат плоскости π , то сумма  - вектор, построенный, например, по правилу параллелограмма, тоже принадлежит этой плоскости. При повороте V2 , а, следовательно, и плоскости π, на угол φ вокруг точки 0, не происходит никакой деформации, поэтому взаимное расположение образов ,  окажется таким, что  будет вектором, направленным по диагонали параллелограмма, построенного на векторах  как на сторонах. б) Аналогично, вектор  . Так как вектор  , начало которого совпадает с точкой 0, без деформации повернётся вместе с плоскостью π на угол φ.Оба условия линейности выполнены. Ответ: данный оператор является линейным. Пример 16. Выясним, является ли линейным оператор, действующий в пространстве V2 , действие которого заключается в проектировании пространства на некоторую прямую l с направляющим вектором  V2.Решение. Проверим, выполняются ли условия линейности данного оператора (см. (10)). а) Подвергнем действию данного оператора сумму двух векторов и .  Проекция вектора на прямую – есть проекция вектора на  . По свойству проекций  . Так как  , образом вектора является вектор  , принадлежащий l . Длина образа  . Отсюда следует, что вектор  , где  - единичный вектор, являющийся направляющим для прямой l.б) Аналогично,  И тогда   - одно условие выполнено.Аналогично,   Ответ: данный оператор является линейным. Пример 17. Выясним, является ли линейным оператор, действующий в V3 так, что  , где  - некоторый зафиксированный вектор.Решение. Проверим, выполняются ли условия линейности оператора (см. (10)). . Найдём образ суммы двух векторов пространства V3 : ,Итак, образ суммы не равен сумме образов. Ответ: данный оператор не является линейным. Замечание. Нулевой оператор  является линейным.Единичный оператор  является линейным.2.2 Матрица линейного оператора. Если в конечномерном линейном пространстве L зафиксировать некоторый базис  , то любой вектор пространства можно разложить по этому базису. То есть, если  , то  или Если  линейный оператор, отображающий L на L, то образ каждого базисного вектора  можно разложить по базису  : Система образов базисных векторов может быть новым базисом пространства, но может и не быть базисом. Определение. Матрицей А линейного оператора в базисе называется матрица, элементами столбцов которой являются координаты образов соответствующих базисных векторов, полученных под действием этого оператора.  (11)Если векторам  и  поставить в соответствие матрицы-столбцы из координат этих векторов:  , то имеет место следующее соответствие: (12)Пример 18. В линейном пространстве, элементами которого являются многочлены степени не выше третьей, задан оператор дифференцирования  . Убедимся, что он является линейным оператором, составим матрицу этого оператора в базисе  .Найдём образ элемента  под действием данного оператора.Решение. 1) Проверим, выполняются ли условия линейности оператора  , используя свойства производных (см. (10)) .  , .Оба условия выполнены. Аксиомы линейности оператора совпадают со свойствами производной функции. Данный оператор является линейным. 2) Составим его матрицу в базисе . (см. (11)) Чтобы составить матрицу линейного оператора, подвергаем его действию базисные векторы. Образы этих векторов     .Полученные образы разложим по базису      Матрица линейного оператора в каждом столбце содержит координаты соответствующих образов базисных векторов (см. (11)):  .3)Образ вектора  получается в результате действия на вектор оператора , то есть  . Или в матричном виде  (см (12)).Здесь матрица Q соответствует вектору  . Так как в условии дан элемент пространства   .Тогда   , или . Легко убедиться в верности ответа, вычислив производную непосредственно. .Пример 19. Составим матрицу линейного оператора, проектирующего пространство геометрических векторов V2 на некоторую прямую с направляющим единичным вектором  , принадлежащим этому пространству , выбрав ортонормированный базис  .Решение. В примере 16 было показано, что данный оператор является линейным. В пространстве компланарных геометрических векторов V2 зафиксируем на данной прямой l точку О и отнесём к ней все векторы. Тогда они окажутся принадлежащими вместе с прямой l одной плоскости π. Действие данного оператора можно выразить следующим образом:   . (см. пример 16)Рисунок 1 Из векторной алгебры известно, что  . Учитывая, что  , имеем  . Чтобы составить матрицу линейного оператора, найдём образы базисных векторов  и  и разложим их по базису . (см. (11)) (см. рис 1)  - угол, который составляет прямая l с вектором  Полученные координаты образов  и  выписываем в соответствующие столбцы: - матрица данного оператора в базисе .В частности, если прямая l составляет с базисными векторами углы  , то  .И, например, проекцией вектора  на такую прямую будетвектор :  , что легко можно проверить, построив соответствующий рисунок.Ответ: матрица данного оператора Пример 20. В пространстве арифметических векторов  задан оператор .Выяснить, является ли он линейным и, если является, составить его матрицу в каноническом базисе. Решение. Проверим, выполняются ли условия линейности оператора (см.(10))Пусть    и  Тогда  Из свойств линейных операций с векторами, заданными своими координатами, следует, что   - одно условие выполнено. Заданный оператор является линейным.Составим его матрицу в каноническом базисе, то есть в базисе, состоящем из векторов    . . (см.(11)) Найдём образы базисных векторов и разложим их по базису  У вектора  координаты  И его образ  .Аналогично  ,  . Выписывая полученные координаты образов в базисе  в соответствующие столбцы, получим матрицу линейного оператора  Задачи для самостоятельной работы.
 . Ответ проверьте, вычислив векторное произведение непосредственно. Ответ: 
 , где  . Убедитесь в том, что этот оператор является линейным. Составьте его матрицу в базисе     Ответ:  Часть 3. Действия с линейными операторами. 3.1Линейные операции с линейными операторами. Определение. Операторы  и  называются равными, если для любого выполняется равенство: (13)Определение. Суммой операторов и называется новый оператор  действие которого заключается в следующем: Если в пространстве задан базис, и операторы имеют в нём матрицы  и  соответственно, то матрица суммы операторов равна сумме матриц этих операторов, то есть  (14)Определение. Произведением оператора и числа называется новый оператор действие которого заключается в следующем  Матрица произведения оператора на некоторое число равна произведению матрицы оператора на это число, то есть  (15)Пример 21. В пространстве геометрических векторов V2 с базисом заданы два оператора, таких, что  оператор поворота пространства относительно точки О на угол  , а  – оператор проектирования пространства на прямую l , составляющую с вектором угол  . Составим  Рисунок 2 матрицы операторов  ,  и найдём образы вектора  под их действием.Решение. 1) Линейность оператора была установлена в примере 15. Составим матрицу оператора в базисе . (см. (11)) (см. рис. 2)  2) Линейность оператора и его матрица в базисе были определены в примерах 16 и 19. И так как в данном примере  . Матрица оператора имеет вид: .3) Найдём образы вектора под действием операторов и . (см.(12))   
и  . Тогда   . (см. (14))Проверим действие матриц этих операторов.  и   Вектор  , найденный по определению суммы двух операторов, и вектор, найденный с помощью матриц операторов, совпали.
 И если  , то  Ответ:  ,  ,  ,  .3.2 Произведение операторов. Определение. Произведением или композицией двух операторов и называется новый оператор , действующий следующим образом: , где , и  По аналогии,  и в общем случае  .Если в некотором базисе пространства операторы имеют матрицы и соответственно, то матрицей оператора, равного произведению является матрица, равная произведению  , то есть  (16)Пример 22. В линейном пространстве  задан оператор дифференцирования . Найдём образ вектора  под действием оператора, равного произведению операторов  . Решение. Выберем базис пространства L такой же, как в примере 18, в котором была установлена линейность данного оператора и составлена его матрица. А именно, базис .Матрица оператора в нём имеет вид . (см. пример 18)Тогда матрица оператора   (см.(16))Найдём образ вектора . Из того, что  следует, что  , где   , что соответствует многочлену  8. Замечание. Выясним, в чём заключается действие оператора на элементы данного пространства. По определению  .То есть - оператор, действие которого заключается в вычислении производной второго порядка.Проверим полученный в примере ответ.    8. Ответы совпали.Ответ:  8.Пример 23. В геометрическом пространстве V3 с зафиксированным базисом  , отнесённым к точке О, заданы два оператора. Действие оператора  заключается в повороте пространства вокруг оси, на которой расположен вектор  на угол  ,  . Оператор проектирует пространство на плоскость  , то тесть отображает  на  .Составим матрицы операторов    в заданном базисе.Найдём образ вектора  , под действием каждого из этих операторов.Рисунок3 333 333 Решение. а) Чтобы составить матрицу оператора , найдём образы базисных   - матрица оператора Аналогично, для оператора имеем  - матрица оператора .Оператору суммы  соответствует матрица . (см.(14))Оператору произведения  соответствует матрица . (см.(16))И, наконец, оператору произведения  соответствует матрица . б) Найдём образы вектора под действием этих операторов.Если  , то  (см. (12))Откуда получаем:  .Аналогично, если  , то   .  . .  .Все результаты можно проверить геометрически (см. рис. 4). Вектор  получается как образ вектора при повороте вокруг орта  на   как образ вектора при проектировании на плоскость XOY.По определению, вектор   .      Аналогично, вектор  = , то есть вектор  получается как образ вектора  при повороте вокруг орта на Рисунок 4 И, наконец, вектор  = , то есть - образ вектора при проектировании на плоскость XOY.Ответ:  ,  ,  ,  ,  3.3 Матрица линейного оператора при переходе к новому базису. Если в линейном пространстве действует линейный оператор , то в базисе ему соответствует матрица  , а в другом базисе  матрица  . Эти матрицы линейного оператора связаны между собой следующей формулой: , (17)где  - матрица перехода от базиса к базису .Задачи для самостоятельной работы.
Ответ:  ,  ,  ,  
Часть 4. Собственные векторы линейного оператора. 4.1 Определение собственного значения и собственного вектора линейного оператора. |
, является линейным. Составьте матрицу этого оператора в стандартном базисе. Ответ: 
задан оператор 
, где 
. Убедитесь в том, что этот оператор является линейным. Составьте его матрицу и найдите образ вектора
на прямую l , проходящую через точку 0 и составляющую равные углы базисными векторами. Убедитесь в том, что этот оператор является линейным. Составьте его матрицу и найдите образ вектора 
. Ответ: 
действует оператор
- оператор суммы операторов 
. (см.(15))
, осуществляющий поворот пространства на угол 
относительно вектора 
, осуществляющий поворот пространства на угол 
относительно вектора 
под действием операторов 
. Убедитесь в том, что векторы 
тоже образуют базис и найдите в этом базисе матрицу данного оператора. Ответ: 
Похожие:
 | Реферат на тему “Нанотрубки. Их свойства. Использование в качестве... Московский государственный технический университет имени Николая Эрнестовича Баумана |  | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Факультет русской филологии и журналистики. Факультет истории и юриспруденции. Факультет татарской и сопоставительной филологии.... |
| Правила совершенствования стипендиального обеспечения студентов мгту им. Н. Э. Баумана Мгту им. Н. Э. Баумана путем повышения размеров государственных академических стипендий студентам, имеющим достижения в различных... | | Вопросы для повторения по курсу «История и философия науки» («Философия науки»). Апрель 2011г Белоусов А. И., Ткачев С. Б. Дискретная математика: Учеб для вузов / Под ред. В. С. Зарубина и А. П. Крищенко. – 4-е изд. М. Изд-во... |
| Российской Федерации Московский государственный технический университет... Нтп «Создание системы открытого образования», Директор Российского государственного института открытого образования Минобразования... | | Российской Федерации Московский государственный технический университет... Нтп «Создание системы открытого образования», Директор Российского государственного института открытого образования Минобразования... |
| О приеме в аспирантуру мгту им. Н. Э. Баумана в 2014 году Письма Минобрнауки России №ак-318/05 от 21. 02. 2014 г. «О приеме на обучение по программам подготовки научно-педагогических кадров... | | Исследовательская работа «Психологический портрет собственной личности» Наименование тем для самостоятельной работы по предмету «Психология и педагогика». Лечебный факультет, педиатрический факультет,... |
| Положение об Общем собрании трудового коллектива гоу лицея №1580 (при мгту им. Н. Э. Баумана) Настоящее положение разработано для гоу лицея №1580 (при мгту им. Н. Э. Баумана) (далее Учреждение) в соответствии с Законом РФ «Об... | | Международной конференции Двигатель-2007, посвященной 100-летию школы... Сборник научных трудов по материалам Международной конференции Двигатель-2007, посвященной 100-летию школы двигателестроения мгту... |
| Вопросы для подготовки к сдаче кандидатского экзамена по «Истории и философии науки» Белоусов А. И., Ткачев С. Б. Дискретная математика: Учеб для вузов / Под ред. В. С. Зарубина и А. П. Крищенко. – 4-е изд. М. Изд-во... | | Организация ученического самоуправления Факультетское образование: филологический факультет с изучением 2-х иностранных языков, физико-математический факультет с элементами... |
| О проведении Олимпиады по истории авиации и воздухоплаванию Артамента г. Москвы, Департамента науки и промышленной политики, мгту им. Н. Э. Баумана, «мати» ргту им. К. Э. Циолковского, Московского... | | Заявка на участие в 8-й Международной конференции «Углерод: фундаментальные... Об утверждении Административного регламента администрации муниципального образования «Чердаклинский район» Ульяновской области предоставления... |
| Информатизация образования и фундаментальные проблемы информатики Причина здесь заключается в том, что проблема позиционирования информатики в современной системе науки еще недостаточно исследована... | | «Высшая школа экономики» Факультет прикладной политологии Программа... Министерства образования и науки Российской Федерации от 02. 12. 2009 №695, приказом Министерства образования и науки Российской... |
