Баумана Факультет «Фундаментальные науки»
Скачать 494.12 Kb.
|
| Часть 5. Линейный оператор в евклидовом пространстве. 5.1 Cамосопряженный линейный оператор. Определение . Линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве  , называется самосопряжённым, если для скалярного произведения двух любых векторов этого пространства выполняется условие  .Теорема . Линейный оператор  , действующий в , является самосопряжённым тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе этого пространства его матрица является симметрической, то есть  . (28)5.2 Свойства собственных векторов и собственных значений самосопряжённого оператора. Теорема. Если - самосопряжённый оператор, действующий в , и имеющий в некотором базисе матрицу A, то все корни характеристического уравнения действительны. Следовательно, если матрица А симметрическая, то корни уравнения действительны. Теорема. Если  - корень характеристического уравнения кратности k, то ему соответствуют k линейно независимых векторов оператора  Следствие. Самосопряжённый линейный оператор, действующий в  , имеет n действительных собственных значений, считая кратные, и n линейно независимых собственных векторов. Отсюда следует, что если - самосопряжённый оператор, то в существует базис из собственных векторов этого оператора. (29)Теорема. Собственные векторы самосопряжённого оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. То есть, если  , то им соответствуют собственные векторы  такие, что  .Вывод. Если - самосопряжённый оператор, действующий в ,то существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. (30)Следствие. Если А - симметрическая матрица, то её можно привести к диагональному виду  причём  , где  - матрица перехода к новому базису, составленная соответствующим образом из координат собственных векторов матрицы А, образующих ортонормированный базис в . (31)Такая матрица В обладает свойством  и называется ортогональной. Поэтому  Преобразование пространства , задаваемое матрицей В, называется ортогональным. 5.3. Ортогональное преобразование евклидова пространства (ортогональный оператор). Определение. Линейный оператор  , действующий в евклидовом пространстве, называется ортогональным, если для любых двух векторов пространства выполняется условие  .Следствия. а) При ортогональном преобразовании евклидова пространства ортогональные векторы преобразуются в ортогональные. б) При этом не меняется норма вектора, так как  .в) Любой ортонормированный базис евклидова пространства под действием ортогонального оператора преобразуется в новый ортонормированный базис. Теорема. Линейный оператор , действующий в евклидовом пространстве  , является ортогональным тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе этого пространства ему соответствует ортогональная матрица В. (32)Определение. Матрица В называется ортогональной, если  , т.е. обратная матрица равна транспонированной. (33)Некоторые свойства ортогональной матрицы. 1.  .2.Строки и столбцы ортогональной матрицы  образуют ортонормированные системы, т.е.  и равны нулю при  и равны единице при  .Пример 27. Убедимся в том, что оператор  , проектирующий линейное пространство  на прямую l с единичным направляющим вектором  , является самосопряженным.Решение. Действие данного оператора можно выразить следующим образом:  . (См. пример16) Отнесем все векторы к общему началу О. Пусть  - ортонормированный базис пространства. Составим матрицу данного оператора в нем. (См.(11))В выбранном базисе координаты единичного вектора  , где  - углы, составленные этим вектором с соответствующими базисными векторами.Найдем образы базисных векторов и разложим их по векторам выбранного базиса. Учитывая, что  , имеем , , .Выписывая полученные координаты в соответствующие столбцы, получим матрицу данного оператора в выбранном ортонормированном базисе:  Матрица оператора в ортонормированном базисе такова, что  , т.е. симметрическая. Отсюда следует, что данный оператор является самосопряженным (см. (28)).Пример 28. Проверим, является ли ортогональным оператор  , который действует в пространстве  и в некотором ортонормированном базисе имеет матрицу  . Выясним, в чем заключается действие этого оператора. Решение. Для проверки ортогональности данного оператора вычислим обратную матрицу и убедимся в том, что  (см. (33)). Рисунок 5  . Действительно,  .Из теоремы (см.(32)) следует, что оператор является ортогональным.Далее отнесем все векторы пространства  к общему началу О. Пусть ортонормированный базис, в котором задана матрица  состоит из векторов  .Под действием оператора базисные векторы преобразуются в векторы  , которые тоже образуют ортонормированный базис.Элементы столбцов матрицы являются координатами новых базисных векторов  . То есть  , .Построив обе системы базисных векторов с общим началом О, выясняем, что пространство под действием оператора повернулось на угол  относительно точки О и отобразилось симметрично относительно прямой, проходящей через точку О с направляющим вектором  . (см. рис. 5)Из рис. 5 следует, что  Замечание. В данном примере  . Если матрица оператора имела бы вид  , то ее  , и действие соответствующего оператора заключалось бы только в одном повороте пространства  относительно точки О на угол  .Пример 29. Привести матрицу  к диагональному виду. Указать матрицу перехода .Решение. В некотором базисе евклидова пространства  данной симметрической матрице соответствует самосопряжённый оператор. Следовательно, существует базис из его собственных векторов , и в этом базисе ему соответствует диагональная матрица  . (см.(26))Найдём собственные значения, решив характеристическое уравнение . . Найдём собственные векторы, соответствующие полученным собственным значениям. Так как все  различны, воспользуемся способом, связанным с присоединённой матрицей (см. (27)).Составим первый её столбец. (Его элементами являются алгебраические дополнения элементов первой строки матрицы  .    Заметим, что, так как все различны, собственные векторы, им соответствующие, не только линейно независимы, но и ортогональны. Действительно, все скалярные произведения  (см. (30)) . То есть собственные векторы образуют ортогональный базис, в котором матрица оператора приобретает диагональный вид: Матрица перехода от исходного базиса к новому состоит из координат собственных векторов, записанных в соответствующие столбцы.  (см. (4)).Так как нормы базисных векторов не равны единице, эта матрица не является ортогональной. Тогда связь между всеми матрицами имеет вид:  = .Замечание. Если построить базис из пронормированных собственных векторов  , то он будет ортонормированным. Матрица перехода в этом случае окажется ортогональной, само преобразование тоже будет ортогональным. И тогда будет верно равенство . Откуда следует . (см. (31))Построим матрицу перехода для ортогонального преобразования линейного пространства . Вычислим нормы собственных векторов:  (см.(28))  Тогда  - ортонормированный базис: ,   - ортогональная матрица преобразования.И теперь  Пример 30. Привести симметрическую матрицу  к диагональному виду ортогональным преобразованием. Указать матрицу этого преобразования. Решение. Матрица самосопряжённого оператора  , заданного матрицей А в некотором ортогональном базисе, принимает диагональный вид в базисе из собственных векторов. Так как А - симметрическая матрица, то существует ортонормированный базис из этих векторов , который необходимо найти для построения матрицы преобразования. Найдём собственные значения, решив характеристическое уравнение .  . Третий вектор  , соответствующий простому корню характеристического уравнения  , можно найти, используя присоединённую матрицу   Но для  этот способ использовать нельзя. Решим ОСЛАУ  , где  - матрица, соответствующая искомому собственному вектору.Равенство  равносильно системе, состоящей из одного уравнения . . общее решение имеет вид = соответствуют два линейно независимых собственных вектора и  . Проверим попарную ортогональность собственных векторов.  и  (Так и должно быть, так как  и  )Но  . В задаче требуется построить ортонормированный базис, поэтому полученные  не подходят. Можно подвергнуть векторы процессу ортогонализации Грама-Шмидта. Можно поступить следующим образом. соответствует бесконечное множество собственных векторов , где  произвольные числа. Один из них при  . Подберём  так, чтобы векторы и были ортогональными, то есть чтобы выполнялось условие   ,  ,  .Пусть  , тогда  и  - второй собственный вектор. Базис из собственных векторов  является ортогональным. Пронормируем эти векторы и получим ортонормированный базис:  ,  ,  (см.(9)) ,  - ортонормированный базис,в котором матрица оператора приобретает диагональный вид:  Матрица перехода от исходного базиса к новому состоит из координат собственных векторов  , и в новом базисе матрица оператора .(см. (31)) .Ответ:  .Задачи для самостоятельной работы.
Составьте матрицу этого оператора в стандартном базисе и проверьте, является ли данный оператор самосопряжённым, ортогональным. Ответ: 
Ответ:  Список рекомендуемой литературы. 1. Канатников А.Н., Крищенко А. П. Линейная алгебра. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1998, 336с. 2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1984, 286с. 3. Ильичёв А. Т., Крапоткин В.Г. , Савин А.С. Линейные операторы: Методические указания к выполнению типового расчёта. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003, 36с. Оглавление. Часть 1. Линейное и евклидово пространства. Часть 2. Линейный оператор. Часть 3. Действия с линейными операторами. Часть 4. Собственные векторы линейного оператора. Часть 5. Линейный оператор в евклидовом пространстве. |
, преобразует вектор так, что 
.
к диагональному виду ортогональным преобразованием. Укажите матрицу преобразования. Похожие:
 | Реферат на тему “Нанотрубки. Их свойства. Использование в качестве... Московский государственный технический университет имени Николая Эрнестовича Баумана |  | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Факультет русской филологии и журналистики. Факультет истории и юриспруденции. Факультет татарской и сопоставительной филологии.... |
| Правила совершенствования стипендиального обеспечения студентов мгту им. Н. Э. Баумана Мгту им. Н. Э. Баумана путем повышения размеров государственных академических стипендий студентам, имеющим достижения в различных... | | Вопросы для повторения по курсу «История и философия науки» («Философия науки»). Апрель 2011г Белоусов А. И., Ткачев С. Б. Дискретная математика: Учеб для вузов / Под ред. В. С. Зарубина и А. П. Крищенко. – 4-е изд. М. Изд-во... |
| Российской Федерации Московский государственный технический университет... Нтп «Создание системы открытого образования», Директор Российского государственного института открытого образования Минобразования... | | Российской Федерации Московский государственный технический университет... Нтп «Создание системы открытого образования», Директор Российского государственного института открытого образования Минобразования... |
| О приеме в аспирантуру мгту им. Н. Э. Баумана в 2014 году Письма Минобрнауки России №ак-318/05 от 21. 02. 2014 г. «О приеме на обучение по программам подготовки научно-педагогических кадров... | | Исследовательская работа «Психологический портрет собственной личности» Наименование тем для самостоятельной работы по предмету «Психология и педагогика». Лечебный факультет, педиатрический факультет,... |
| Положение об Общем собрании трудового коллектива гоу лицея №1580 (при мгту им. Н. Э. Баумана) Настоящее положение разработано для гоу лицея №1580 (при мгту им. Н. Э. Баумана) (далее Учреждение) в соответствии с Законом РФ «Об... | | Международной конференции Двигатель-2007, посвященной 100-летию школы... Сборник научных трудов по материалам Международной конференции Двигатель-2007, посвященной 100-летию школы двигателестроения мгту... |
| Вопросы для подготовки к сдаче кандидатского экзамена по «Истории и философии науки» Белоусов А. И., Ткачев С. Б. Дискретная математика: Учеб для вузов / Под ред. В. С. Зарубина и А. П. Крищенко. – 4-е изд. М. Изд-во... | | Организация ученического самоуправления Факультетское образование: филологический факультет с изучением 2-х иностранных языков, физико-математический факультет с элементами... |
| О проведении Олимпиады по истории авиации и воздухоплаванию Артамента г. Москвы, Департамента науки и промышленной политики, мгту им. Н. Э. Баумана, «мати» ргту им. К. Э. Циолковского, Московского... | | Заявка на участие в 8-й Международной конференции «Углерод: фундаментальные... Об утверждении Административного регламента администрации муниципального образования «Чердаклинский район» Ульяновской области предоставления... |
| Информатизация образования и фундаментальные проблемы информатики Причина здесь заключается в том, что проблема позиционирования информатики в современной системе науки еще недостаточно исследована... | | «Высшая школа экономики» Факультет прикладной политологии Программа... Министерства образования и науки Российской Федерации от 02. 12. 2009 №695, приказом Министерства образования и науки Российской... |
