Баумана Факультет «Фундаментальные науки»

Скачать 494.12 Kb.

Название	Баумана Факультет «Фундаментальные науки»
страница	3/4
Дата публикации	19.12.2014
Размер	494.12 Kb.
Тип	Методические указания

100-bal.ru > Математика > Методические указания

1 2 3 4

Определение. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если его образом является вектор, равный произведению вектора на число λ. Число λ называется собственным значением линейного оператора.

Т. е.

(18)

Если в линейном пространстве, в котором действует оператор

, выбран базис, и в этом базисе оператору соответствует матрица А, то из условия

следует равенство

(19)

Так как матрица А однозначно характеризует действие оператора

, то вектор

и число λ можно называть собственным вектором и собственным значением матрицы А.

4.2 Нахождение собственных векторов и собственных значений линейного оператора

(матрицы А).

Пусть в линейном пространстве L выбран базис, в котором линейный оператор

имеет матрицу

. Вектор

в этом базисе имеет координаты

, и ему ставится в соответствие матрица-столбец

. Если

- собственный вектор линейного оператора, то

Отсюда следует, что

или

Т. е.

(20)

Отсюда следует, что координаты собственного вектора

удовлетворяют следующей ОСЛАУ:

(21)

Так как собственный вектор

, то ОСЛАУ (21) должна иметь ненулевое решение. Из критерия существования такого решения ОСЛАУ следует, что

. (Или

) Получили уравнение, которое позволит найти собственные значения

(22)

Это уравнение n-ого порядка называется характеристическим .

Из приведённых выкладок следует план нахождения собственных векторов и собственных значений линейного оператора

(или матрицы А).

Для заданного линейного оператора

, имеющего в некотором базисе матрицу А

составляем характеристическое уравнение (22)

и, решая его, находим собственные значения

;

для каждого составляем ОСЛАУ (21), которая соответствует равенству , и находим её общее решение, структура которого имеет вид , (23)

где r-ранг матрицы

, а

- матрицы-столбцы, соответствующие линейно-независимым собственным векторам

, найденным для

. (24)

Пример 24. Найдём собственные значения и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу

.

Решение. (см. (22)-(24))

Составим характеристическое уравнение и решим его.

Разложим определитель в левой части по элементам последнего столбца.

Найдено единственное собственное значение

Подставляем в ОСЛАУ (21) или (20)

, где

- матрица, соответствующая искомому собственному вектору

Очевидно, что в матрице

только одна линейно независимая строка и ранг

. Откуда следует, что по теореме о структуре общего решения ОСЛАУ

, т. к.

(см. (23)).

Т. е. данный оператор имеет два линейно независимых собственных вектора.

Равенство

равносильно системе, имеющей только одно уравнение:

, то есть

. Тогда

, где

- искомые собственные векторы.

Ответ: Любой вектор

, полученный при произвольных

, не равных нулю одновременно, является собственным вектором оператора

с собственным значением

, причём два из них, а именно

линейно независимы между собой.

4.3 Некоторые свойства собственных векторов линейного оператора.

1. Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное значение. Но, одному собственному значению соответствует бесконечное множество собственных векторов, так как из линейности оператора

следует, что если

, то и

. То есть, если

- собственный вектор линейного оператора, то и любой вектор

, где

, тоже является собственным вектором этого оператора.

2. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы. (25)

3. Если все корни характеристического уравнения

действительные и попарно различные, то существует базис линейного пространства, состоящий из собственных векторов линейного оператора

, в котором его матрица D имеет диагональный вид, причём

. (26)

В этом случае матрицы A и D связаны между собой формулой

, где U – матрица перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов. Откуда следует, что элементами столбцов матрицы U являются координаты соответствующих собственных векторов линейного оператора.

4. Кратность корня

называется алгебраической кратностью собственного значения

.

Количество линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению

, называется его геометрической кратностью.

Геометрическая кратность

не превосходит его алгебраической кратности.

5. Собственные значения не зависят от выбора базиса. То есть множество всех собственных значений линейного оператора, называемое его спектром, инвариантно относительно базиса.

4.4 Второй способ нахождения собственного вектора линейного оператора, соответствующего простому корню

характеристического уравнения.

Теорема. Если

- простой корень характеристического уравнения

, то соответствующий ему собственный вектор можно получить хотя бы из одного столбца присоединённой матрицы

, подставив в него

.

Доказательство. а) Убедимся в том, что если

, то любой столбец Х присоединенной к

матрицы

удовлетворяет уравнению

, где 0 – нулевой столбец. Вспомним, что присоединенной для

называется матрица, элементами столбцов которой являются алгебраические дополнения элементов соответствующих строк матрицы

. И для элемента

алгебраическое дополнение равно произведению

на минор этого элемента, то есть на определитель, полученный из

вычеркиванием

-ой строки и

-ого столбца. Итак, если

- i-столбец матрицы

, то

, где

- алгебраическое дополнение элемента

матрицы С.

Пусть

, тогда каждый элемент этой матрицы

.

Имеют место следующие свойства определителя: сумма произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения равна этому определителю, а сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю.

Таким образом, при

получаем

по условию, и при

также

. То есть,

.

Отсюда следует, что если

- корень характеристического уравнения

и хотя бы один столбец матрицы

не является нулевым, то этот столбец

соответствует собственному вектору

.

в) Убедимся в том, что если

- простой корень характеристического уравнения

, то присоединенная матрица

содержит хотя бы один ненулевой столбец.

Допустим, что все элементы присоединенной матрицы равны нулю, то есть алгебраические дополнения всех элементов матрицы

равны нулю.

Алгебраические дополнения являются минорами

-ого порядка матрицы и равенство всех их нулю влечет за собой вывод о том, что ранг матрицы

не больше, чем

. В этом случае координаты искомого собственного вектора, соответствующего

, удовлетворяют ОСЛАУ

, общее решение которой содержит не меньше двух линейно независимых частных решений, соответствующих собственным векторам для

.

Так, если

, то по теореме о структуре общего решения неопределенной ОСЛАУ это общее решение имеет вид

. Причем

-линейно независимые частные решения ОСЛАУ, которые соответствуют двум собственным векторам

для

, линейно независимым между собой.

Получили следующий вывод. Если все алгебраические дополнения элементов присоединенной матрицы равны нулю, то собственному значению

соответствует не менее двух собственных линейно независимых векторов. Это противоречит теореме о том, что геометрическая кратность не превышает алгебраическую кратность собственного значения, то есть если

- простой корень характеристического уравнения, то ему может соответствовать только один собственный вектор. И так как пришли к противоречию, исходное предположение неверно.

Следовательно, если

- простой корень характеристического уравнения

, то присоединенная матрица

содержит хотя бы один ненулевой столбец, которому соответствует собственный вектор.

Пример 25. Существует ли базис из собственных векторов линейного оператора

, имеющего в некотором базисе матрицу

?

Решение. Найдём собственные значения

. (см.(24))

Составим характеристическое уравнение.

и решим его.

.

Так как

, то существуют два линейно независимых вектора и они образуют новый базис линейного пространства, в котором действует данный линейный оператор. (см. (25)) Найдём векторы этого базиса, то есть собственные векторы линейного оператора. Так как

, то собственные векторы можно найти, используя присоединённую матрицу

. (см. (27))

Вычисляем алгебраические дополнения элементов первой строки матрицы

и выписываем их в первый столбец матрицы

. Подставляя по очереди в этот столбец

, получаем соответствующие собственные векторы:

– первый собственный вектор;

(а также

– второй собственный вектор; (а также

).

Найдены векторы нового базиса

Матрица линейного оператора

в этом новом базисе имеет диагональный вид

. (см. (26))

Матрица перехода от старого базиса к новому:

(см. (4))

Проверим связь между матрицами:

Ответ:

- базис из собственных векторов.

Пример 26. Привести матрицу А к диагональному виду и указать матрицу перехода .

.

Решение. Данная матрица, заданная в некотором базисе, однозначно определяет линейный оператор

.

а) Матрица линейного оператора

имеет диагональный вид в базисе из собственных векторов, если таковой существует.

Составим характеристическое уравнение

и найдём его корни. (см.(22))

Так как собственные значения попарно различны, соответствующие им собственные векторы линейно независимы. Следовательно, эти векторы образуют новый базис линейного пространства, при переходе к которому матрица оператора принимает диагональный вид.

. (см. (26))

Матрица перехода от старого базиса к новому составляется из координат новых базисных векторов, то есть собственных векторов матрицы А. Так как собственные значения попарно различны, то есть являются простыми корнями характеристического уравнения, соответствующие им собственные векторы можно найти, используя присоединённую матрицу

. (см.(27))

Составим первый столбец этой матрицы, для чего вычислим алгебраические дополнения элементов первой строки матрицы

.

При

получаем столбец

Но собственный вектор не может быть нулевым по определению. Для

необходимо составить второй, а, может быть, и третий, столбец.

При

получим столбец

При

получим столбец

Вычислим алгебраические дополнения элементов второй строки матрицы

и выпишем второй столбец матрицы

.

При

получаем столбец

первый собственный вектор

.

Чтобы составить матрицу перехода U, выписываем координаты собственных векторов в соответствующие столбцы:

. (см.(4))

Вычислив обратную матрицу

, можно далее убедиться в том, что

.

Замечание. Если координаты вектора

в старом базисе обозначить как

, а в новом базисе - как

и поставить этому вектору в соответствие матрицы-столбцы

, то связь между новыми и старыми координатами выражается следующим соотношением:

(см.(4))

То есть

- линейное преобразование координат вектора при переходе к базису из собственных векторов.

Ответ:

.

Задачи для самостоятельной работы.

Найдите собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу: а).

Ответ:

б)

. Ответ:

1 2 3 4

Похожие:

	Реферат на тему “Нанотрубки. Их свойства. Использование в качестве... Московский государственный технический университет имени Николая Эрнестовича Баумана		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Факультет русской филологии и журналистики. Факультет истории и юриспруденции. Факультет татарской и сопоставительной филологии....
	Правила совершенствования стипендиального обеспечения студентов мгту им. Н. Э. Баумана Мгту им. Н. Э. Баумана путем повышения размеров государственных академических стипендий студентам, имеющим достижения в различных...		Вопросы для повторения по курсу «История и философия науки» («Философия науки»). Апрель 2011г Белоусов А. И., Ткачев С. Б. Дискретная математика: Учеб для вузов / Под ред. В. С. Зарубина и А. П. Крищенко. – 4-е изд. М. Изд-во...
	Российской Федерации Московский государственный технический университет... Нтп «Создание системы открытого образования», Директор Российского государственного института открытого образования Минобразования...		Российской Федерации Московский государственный технический университет... Нтп «Создание системы открытого образования», Директор Российского государственного института открытого образования Минобразования...
	О приеме в аспирантуру мгту им. Н. Э. Баумана в 2014 году Письма Минобрнауки России №ак-318/05 от 21. 02. 2014 г. «О приеме на обучение по программам подготовки научно-педагогических кадров...		Исследовательская работа «Психологический портрет собственной личности» Наименование тем для самостоятельной работы по предмету «Психология и педагогика». Лечебный факультет, педиатрический факультет,...
	Положение об Общем собрании трудового коллектива гоу лицея №1580 (при мгту им. Н. Э. Баумана) Настоящее положение разработано для гоу лицея №1580 (при мгту им. Н. Э. Баумана) (далее Учреждение) в соответствии с Законом РФ «Об...		Международной конференции Двигатель-2007, посвященной 100-летию школы... Сборник научных трудов по материалам Международной конференции Двигатель-2007, посвященной 100-летию школы двигателестроения мгту...
	Вопросы для подготовки к сдаче кандидатского экзамена по «Истории и философии науки» Белоусов А. И., Ткачев С. Б. Дискретная математика: Учеб для вузов / Под ред. В. С. Зарубина и А. П. Крищенко. – 4-е изд. М. Изд-во...		Организация ученического самоуправления Факультетское образование: филологический факультет с изучением 2-х иностранных языков, физико-математический факультет с элементами...
	О проведении Олимпиады по истории авиации и воздухоплаванию Артамента г. Москвы, Департамента науки и промышленной политики, мгту им. Н. Э. Баумана, «мати» ргту им. К. Э. Циолковского, Московского...		Заявка на участие в 8-й Международной конференции «Углерод: фундаментальные... Об утверждении Административного регламента администрации муниципального образования «Чердаклинский район» Ульяновской области предоставления...
	Информатизация образования и фундаментальные проблемы информатики Причина здесь заключается в том, что проблема позиционирования информатики в современной системе науки еще недостаточно исследована...		«Высшая школа экономики» Факультет прикладной политологии Программа... Министерства образования и науки Российской Федерации от 02. 12. 2009 №695, приказом Министерства образования и науки Российской...

Школьные материалы