Тема реферата

Глава II. Применение теорем Чевы и Менелая для решения планиметрических задач. Сравнительный анализ в эффективности применение этих теорем по сравнению с другими способами решения планиметрических задач [2], [5].

I блок задач (замечательные точки треугольника).

1. 
   Докажем сначала теорему о биссектрисе угла.
   

1. 
   Дано: , – биссектриса , – произвольная точка на биссектрисе , .
   

1. 
   Сделаем дополнительное построение: проведём перпендикуляры и к лучам и соответственно (рис. 13).
   
2. 
   Рассмотрим прямоугольные и (, так как и ).
   

2. 
   Дано: , т. лежит во внутренней области , , , , , .
   

2. 
   Итак, теперь докажем следствие из этой теоремы, то есть то, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
   

1. 
   Рассмотрим произвольный . Обозначим точкой точку пересечения его биссектрис и . Биссектрисы и пересекаются, так как .
   

2. 
   По доказанной теореме и ( и – биссектрисы ). Поэтому , то есть точка равноудалена от сторон и, значит, лежит на биссектрисе этого угла.
   

1. 
   Биссектриса треугольника делит противоположную сторону этого треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
   

2. 
   Перемножая получившиеся равенства (3), (1) и (2), получаем, что:
   

1. 
   медианы и пересекаются в одной точке – точке ;
   
2. 
   .
   

1. 
   Рассмотрим произвольный . Обозначим точкой точку пересечения его медиан и . Медианы и пересекаются, так как .
   

2. 
   Рассмотрим и .
   

3. 
   Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан и делит каждую из них в отношении , считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой .
   

1. 
   Так как по условию – медианы , то , , , поэтому:
   

2. 
   Рассмотрим .
   

3. 
   Рассматривая теорему Менелая для и секущей , а также для и секущей , мы получим, что: