Скачать 52.99 Kb.
|
Реферат з курсу “Введение в численные методы” Тема: “ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ” Содержание 1. Метод последовательных приближений 2. Метод Гаусса-Зейделя 3. Метод обращения матрицы 4. Триангуляция матрицы 5. Метод Халецкого 6. Метод квадратного корня Литература 1. Метод последовательных приближений Наиболее распространенными методами применительно к большим системам являются итерационные методы, использующие разложение матрицы на сумму матриц, и итерационные методы, использующие факторизацию матрицы, т.е. представление в виде произведения матриц. Простая итерация: уравнение приводится к виду , например, следующим образом: , где и содержат произвольную матрицу коэффициентов, по возможности желательно близкую к . Если выбрать A=H+Q так, чтобы у положительно определенной H легко находилась , тогда исходная система приводится к следующему удобному для итераций виду: . В этом случае, при симметричной матрице A и положительно определенной Q итерационный процесс сходится при любом начальном . Если взять H в виде диагональной матрицы D= , в которой лишь на главной диагонали расположены ненулевые компоненты, то этот частный случай называется итерационным методом Якоби. 2. Метод Гаусса-Зейделя Метод Гаусса-Зейделя отличается тем, что исходная матрица представляется суммой трех матриц: . Подстановка в и несложные эквивалентные преобразования приводят к следующей итерационной процедуре: . Различают две модификации: одновременную подстановку и последовательную. В первой модификации очередная подстановка выполняется тогда, когда будут вычислены все компоненты нового вектора. Во второй модификации очередная подстановка вектора выполняется в тот момент, когда будет вычислена очередная компонента текущего вектора. В векторно-матричной форме записи последовательная подстановка метода Гаусса-Зейделя выглядит так: . Вторая форма требует существенно меньшее число итераций. 3. Метод обращения матрицы Эквивалентные преобразования матрицы в произведение более простых, приводящих к решению или облегчающих его получение, начнем с рассмотрения метода обращения матрицы. Так как в общем виде решение системы представляется через обратную матрицу в виде , то предположим, что , тогда, умножив справа равенство на матрицу A , получим . Отсюда можно сделать вывод, что матрицы должны последовательно сводить матрицу A к единичной. Если преобразующую матрицу выбрать так, чтобы только один ее столбец отличался от единичных векторов-столбцов, т.е. , то вектор-столбец можно сформировать таким, чтобы при умножении на текущую преобразуемую матрицу в последней i-тый столбец превратился в единичный . Для этого берут и тогда . Фактически это матричное произведение преобразует все компоненты промежуточной матрицы по формулам, применяемым в методе исключения Гаусса. Особенность этого процесса заключается в том, что диагональные элементы исходной и всех промежуточных матриц не должны быть нулевыми. Кроме обратной матрицы, равной произведению всех T-матриц, теперь можно получать и решения уравнений для любого вектора в правой части. 4. Триангуляция матрицы Разложение исходной матрицы на произведение двух треугольных матриц (триангуляция матрицы) не является однозначной. В соответствии с этим имеется несколько различных методов, привлекательных с той или иной стороны. Сам способ формирования уравнений или формул для вычисления элементов треугольных матриц в различных методах практически одинаков: это метод неопределенных коэффициентов. Различия возникают на стадии выбора условий разрешения полученных уравнений. Пусть , где – нижняя треугольная матрица, – верхняя треугольная матрица. Выполняя перемножения треугольных матриц и приравнивая получающиеся элементы соответствующим элементам исходной матрицы несложно для k-той строки и m-того столбца записать . Полученная система состоит из уравнений и содержит неизвестных коэффициентов. За счет лишних n неизвестных существует свобода выбора, благодаря которой и имеется разнообразие методов разложения. 5. Метод Халецкого Если положить , то разложение и последующее решение системы из двух векторно-матричных уравнений с треугольными матрицами называется методом Халецкого. Элементы треугольных матриц L и U последовательно будут вычисляться по следующим формулам: Если исходная матрица симметричная, то от треугольных матриц можно потребовать, чтобы они были друг к другу транспонированными, т.е., например, и так, что . В этом случае элементы треугольных матриц находятся в соотношении и, следовательно, число неизвестных уменьшается вдвое. В результате элементы треугольной матрицы могут вычисляться по следующим формулам: 6. Метод квадратного корня Использование разложения на взаимно транспонированные треугольные матрицы при решении систем алгебраических уравнений называется метод квадратного корня. Метод разложения на транспонированные треугольные матрицы имеет модификацию, заключающуюся в выделении в произведении диагональной матрицы D с элементами на диагонали . Таким образом, для исходной матрицы, которая может быть и эрмитовой (симметричной и комплексно сопряженной), разыскивается произведение трех матриц: . Каждое km-тое уравнение, определяется произведением k-того вектора-строки левой треугольной матрицы на диагональную матрицу, умноженную на m-тый столбец правой треугольной матрицы, и имеет вид: . Для однозначного разложения, учитывая комплексную сопряженность симметричных элементов треугольных матриц, в первом уравнении (i=1), имеющем вид , полагают . В этом случае . Аналогично, отделяя знак диагонального элемента диагональной матрицы от его модуля, можно получить формулы для вычисления : Литература
1 |
Реферат по математике. На тему: «основные методы решения систем уравнений с двумя переменными» I: методы решения систем линейных уравнений стр. 3-7 | Реферат по математике. На тему: «основные методы решения систем нелинейных... Тема моего реферата «Решение систем уравнений с двумя переменными». Эта тема играет важную роль в курсе математики. Издавна применялось... | ||
Тема: Старые методы для решения новых систем уравнений Тип урока Изучить методы решения систем уравнений, одно из которых является уравнение i-ой степени, а другое ii-ой степени | Элективный курс по теме «Алгебра матриц. Методы решения систем линейных... Данный элективный курс рассчитан на 14 часов. Разработаны конспекты всех уроков элективного курса | ||
Оригинальность идеи и подхода, использование разнообразных приемов Определители. И их применение к решению систем линейных алгебраических уравнений | Дипломная работа «О некоторых применениях алгебры матриц» В данной дипломной работе рассматривается новые применения матриц в теории систем линейных уравнений, теории чисел и теории алгебраических... | ||
Программа вступительного экзамена в аспирантуру по специальности... В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: функциональный анализ, теория дифференциальных уравнений, теория управления,... | Тема : Решение показательные уравнений Сегодня я дам вам действовать,чтобы вы поняли и запомнили способы и методы решения показательных уравнений | ||
Решение линейных уравнений и неравенств, систем линейных уравнений с 2 и 3 переменными.(2ч) Обсуждение сборника аналитических (статистических) материалов по итогам участия выпускников области в егэ и в новой форме в 2008-2009... | Конспект урока тема урока «Метод сложения в решении систем линейных... Тема урока «Метод сложения в решении систем линейных уравнений с двумя переменными» | ||
Формирование интеллектуальной компетентности при изучении темы «Системы... Менными. В 8 классе расширяются знания в области уравнений, а следовательно, и появляются системы с новыми уравнениями и более подробно... | Радиофизический факультет Ип в различных системах. Также содержание дисциплины направлено на обучение студентов основам решения задач линейной алгебры, решения... | ||
Программа дисциплины «Численные методы» для специальности 090102. 65 «Компьютерная безопасность» Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов специальности 090102 «Компьютерная... | Урок в 10 классе по теме "Методы решения иррациональных уравнений" Самостоятельность, ответственность, организованность во время урока поможет учащимся совершенствовать умения и навыки решения иррациональных... | ||
Методы решения иррациональных уравнений Развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения иррациональных уравнений | Конспект Тема: Графический способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными Комплексная программа «Программа воспитания и обучения в детском саду» под редакцией М. А васильевой, В. В. Гербовой, Т. С. Комаровой... |