Математическое моделирование термически нагруженных конструкций котельных агрегатов

Во второй главе основное внимание сосредоточено на построении и адаптации современных итерационных методов и некоторых прямых методов решения дискретных (разностных) аппроксимаций двумерных уравнений теплопроводности. Неявные ЛДС приводят к необходимости решения сеточных эллиптических уравнений, в общем случае с переменными коэффициентами, на каждом временном слое. По сравнению с сеточными эллиптическими уравнениями, возникающими при аппроксимации стационарных задач, сеточные операторы двумерных уравнений теплопроводности обладают некоторыми благоприятными для применения итерационных методов свойствами, к числу которых следует отнести, в первую очередь, наличие диагонального преобладания в матрице оператора, тем большего, чем меньше величина временного шага и хорошего начального приближения к решению при переходе на следующий временной слой, в качестве которого может быть выбрано решение, полученное на предыдущем временном слое (начальное условие для первого временного слоя). Особенностями задач теплового расчета конструкций (ТРК) для нестационарных режимов являются: необходимость многократно (102 – 104 раз) решать сеточные эллиптические уравнения для определения функции температуры; высокий порядок системы разностных уравнений, который в реальных задачах может составить 104 – 106; существенный разброс или даже разрыв коэффициентов уравнений. Следствием двух последних особенностей разностных аппроксимаций задач ТРК является плохая обусловленность соответствующих систем алгебраических уравнений. Перечисленные выше особенности задач ТРК делают актуальной разработку алгоритмов, которые бы позволили уменьшить число итераций, а также решать плохо обусловленные системы разностных уравнений, либо увеличить временной шаг. В качестве исходной рассмотрена смешанная задача Коши для двумерного уравнения теплопроводности вида где - функция температуры, которую необходимо определить в области , коэффициенты теплопроводности (температуропроводности), в координатных направлениях и соответственно, которые могут сильно меняться в зависимости от переменных и или даже терпеть разрыв на цилиндрических поверхностях видакусочно-гладкая (плоская) кривая. Типична ситуация, когда область G является цилиндрической, на боковой поверхности и на одном из оснований которой задаются граничные условия второго-третьего рода, а на втором основании – первого рода. Далее для простоты будем рассматривать случай граничных условий первого рода. Рассматриваемый алгоритм базируется на идее алгоритма Р.П. Федоренко решения сеточных эллиптических уравнений на верхнем временном слое, к которым сводится после аппроксимации неявной схемой задача с соответствующими граничными условиями. В отличие от известного многосеточного метода данный алгоритм ориентирован на использование одной вспомогательной сетки; в качестве итерационного метода применяется метод верхней релаксации со специально задаваемым значением релаксационного параметра, обеспечивающим заданные спектральные свойства оператора перехода (шага) итерационной процедуры. Применение одной вспомогательной сетки в реальных задачах ТРК обусловлено необходимостью сохранения информации о положении поверхностей разрыва коэффициентов , как в основной, так и во вспомогательной задачах. Оценка для числа итераций для решения двухсеточных методом последовательной верхней релаксации (ДСПВР) системы разностных уравнений, аппроксимирующих 1 краевую задачу для уравнения Пуассона в единичном квадрате G: , в граничных узлах G имеет вид . В п.2.2 рассмотрен вариант модифицированного попеременно-треугольного метода, предназначенный для решения разностных аналогов двумерных задач параболического типа с переменными коэффициентами, функцией источника и граничными условиями Дирихле в прямоугольнике данный вариант МПТМ можно рассматривать в качестве базового для реализации ЛДС в общем случае для обращения разностного эллиптического оператора на верхнем временном слое. Опыт использования модифицированного попеременно-треугольного метода решения разностных эллиптических задач показывает, что он требует небольшого числа итераций, незначительно зависящего от диапазона изменения коэффициентов и неравномерности шагов, в случае сеток, построенных для областей произвольной формы. Предполагаем, что функция источника имеет вид где искомое решение, Рассмотрена разностная схема, аппроксимирующая первую краевую задачу для уравнения эллиптического типа в пространстве двух измерений (p=2), с самосопряженным эллиптическим оператором второго порядка и переменными коэффициентами: , где Г – граница прямоугольника , - сетка с равномерными шагами : , . Разностную схему, с граничными и начальными условиями представим в операторном виде Оператор самосопряжен и положительно определен в H, так как и при условии . Тогда итерационная схема МПТМ имеет вид: , где – номер итерации, - итерационный параметр, , . операторы R1 и R­2 являются сопряженными в H, т.е. . Оценки для постоянных Δ и δ, входящих в неравенства: . имеют вид . Учитывая формулу для числа итераций МПТМ, необходимую для достижения заданной точности ε для первой краевой задачи получим Оценка для числа итераций построенного варианта МПТМ в предположении, что , , имеет вид . В п. 2.3 рассмотрена двумерная разностная задача, решаемая на каждом временном слое, при помощи быстрых прямых методов (циклической редукции, Фурье-алгоритма) решения сеточных задач и их параллельных реализаций. Рассмотрен метод разделения переменных для отыскания собственных значений и собственных функций (i, j) разностного оператора Лапласа, заданного на равномерной прямоугольной сетке в прямоугольнике при условиях Дирихле: , , Предполагается, что в прямоугольнике G= задана равномерная сетка с шагами h1 и h2: Будем искать собственную функцию (i, j) соответствующую собственному значению , в виде (i, j)= k=(k1, k2) Так как то оператор действует на сеточную функцию, зависящую от аргумента . Аналогично оператор действует на функцию, зависящую от аргумента . Поэтому (i, j)= для , а также находим, что Левая и правая части постоянные. Положим и добавим сюда краевые условия. В результате получим одномерные сеточные задачи на собственные значения , и , Собственные функции и собственные значения разностного оператора Лапласа для случая граничных условий Дирихле найдены (i, j)= = , Так как число собственных функций равно и совпадает с числом внутренних узлов сетки , то любую сеточную функцию заданную на , можно представить в следующем виде: где коэффициенты Фурье определяются так: Для собственных значений справедлива оценка Аналогично решаются задачи на собственные значения для разностного оператора Лапласа в прямоугольнике и в случае других комбинаций краевых условий на сторонах прямоугольника G. Метод разделения переменных позволяет свести их к одномерным задачам Описанный метод решения задачи может быть реализован с затратой арифметических действий. Данный алгоритм метода разделения переменных требует примерно в 1,5 раз больше действий, чем метод полной редукции. В алгоритме FACR(1) методом прогонки решены системы с трехдиагональными матрицами. Приведены оценки количества арифметических операций последовательного варианта FACR(1) – алгоритма в предположении, что - целое число для задачи Получены необходимые оценки затрат арифметических операций алгоритма метода FACR(l). Третья глава посвящена построению, исследованию и численной реализации дискретной математической модели термически нагруженных конструкций котельных агрегатов. Построена дискретная модель, удовлетворяющая основным балансовым соотношениям (закону сохранения полной энергии и балансовым соотношениям между отдельными формами энергии). Описан комплекс программ на языке С++, общим объемом более 7000 строк, обеспечивающий моделирование данного класса задач с удобным интерфейсом ввода и контроля исходных данных и визуализацией, базирующейся на системе Tecplot. На основе построенных моделей, алгоритмов и программ выполнены численные эксперименты для модельных задач, а также для реальной задачи расчета распределения температуры в радиаторе. Данный комплекс позволяет осуществлять теплотехническое проектирование конструкций в терминах и обозначениях принятых в котлостроении и существенно поднять точность и надежность тепловых расчетов. Результаты представленные к защите В данной работе получены следующие основные результаты: 1.Рассмотрены локально-двумерные схемы расщепления, предназначенные для решения начально-краевых задач для трехмерных уравнений параболического типа в областях со сложной геометрией и обладающие лучшей реальной точностью по сравнению с одномерными схемами расщепления в случае коэффициентов теплопроводности, имеющих разрывы на цилиндрических поверхностях; 2.Исследован усовершенствованный вариант модифицированного попеременно-треугольного метода (МПТМ), который позволяет численно реализовать неявные схемы для уравнения теплопроводности с функцией источника и обладает лучшими асимптотическими оценками вычислительных затрат (числа арифметических операций) по сравнению с известными вариантами МПТМ; 3.Построен комплекс программ с развитыми средствами ввода конструктивных данных, проведения тепловых вычислительных экспериментов и визуализации результатов расчетов. Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах Основные теоретические и практические результаты работы достаточно полно отражены в 7 печатных работах: Сухинов А.И., Левченко М.Н. Локально-двумерные схемы для математического моделирования термически нагруженных конструкций со сложной геометрией и неоднородностями//Материалы VI Международной научно- практической конференции Моделирование. Теория, методы и средства.– Новочеркасск ЮРГТУ, 2006, с. 34-36. Сухинов А.И., Левченко М.Н. Квазиэкономичные алгоритмы моделирования тепловых процессов на основе двумерных схем расщепления в областях специального вида.// Сборник статей II Международной научно-технической конференции Прогрессивные технологии в современном машиностроении - Пенза 2006., С. 63-65. Сухинов А.И., Левченко М.Н.Математическое моделирование уравнений параболического типа.// Сборник статей Международной научно-технической конференции «Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов» Таганрог ТГПИ 2006. С.23-25. Сухинов А.И., Левченко М.Н.Тезисы международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования». Воронеж 2005 Сухинов А.И., Левченко М.Н. Программный комплекс для моделирования термически нагруженных конструкций.// Сборник статей Международной научно-технической конференции «Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов» Таганрог ТГПИ 2007., С. 34-36. Сухинов А.И., Левченко М.Н. Модифицированный попеременно- треугольный метод решения разностных краевых задач теплопроводности с функцией источника.// Редакция журнала « Известия вузов. Электромеханика» Математическое моделирование и информационные технологии.- ЮРГТУ ( НПИ) г. Новочеркасск 2007., С.76-83. Сухинов А.И., Левченко М.Н. Двухсеточный метод верхней релаксации решения сеточных задач теплового расчета конструкций.// Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. Математика.- №9 2007., 147-149.

Похожие:

	Литература по энергетике 2211354 Конструкционные характеристики энергетических котельных агрегатов (в 2-ух частях) (230 стр.)		Памятка учебной дисциплины “Силовые агрегаты” для студентов групп... Целью изучения дисциплины является освоение студентами конструкций автомобильных силовых агрегатов и других типов двигателей транспортно-технологических...
	Математическое и компьютерное моделирование для неразрушающего... Они изготавливаются в форме тонких пластин различной геометрии, монтаж которых с учетом современного развития технологий изготовления...		Технические предложения и разработки по безмазутной растопке и подсветке... Выполнен анализ горелочных устройств по безмазутной растопке котельных агрегатов, рассмотрены наиболее перспективные варианты для...
	Рабочая программа для студентов 010800. 62 специальности «Механика... Мосягин В. Е. Теория вероятностей, математическая статистика, случайные процессы. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа...		Рабочая программа учебной дисциплины современные технологии математического... Специальность научных работников: 05. 13. 18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»
	Рабочая программа учебной дисциплины современные технологии программирования... Специальность научных работников: 05. 13. 18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»		Пояснительная записка рабочая программа дисциплины «Иностранный язык... «Математика и компьютерные науки», 010500. 62 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», 230100. 62...
	Рабочая программа составлена в соответствии с фгт к структуре основной... Методы компьютерного моделирования. Статистическое моделирование Учебно-методический комплекс рабочая программа для аспирантов специальности...		Математическое моделирование производства молока и объемов его государственной поддержки
	Фгбоу впо «сгэу» от 09. 11. 2012г. № Решение ученого совета Самарского... «Математическое моделирование», «Математические модели в финансовых операциях», «Методы оптимизации», «Экономико-математические методы...		Программа учебной дисциплины «гидрометаллургическое оборудование» Целью данного курса является ознакомление слушателей с основами конструкций гидрометаллургического оборудования, привитие навыков...
	Рабочая программа по дисциплине ен. Р. 01. Экономико-математическое моделирование Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Математическое моделирование систем управления Программа составлена в соответствии с требованиями фгос впо по направлению подготовки 080200 Менеджмент
	Программа вступительного экзамена в аспирантуру по специальности... В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: функциональный анализ, теория дифференциальных уравнений, теория управления,...		Урок по теме: «Математическое моделирование» Тема Дискретная случайная величина, способы ее задания. Числовые характеристики. Функция распределения и ее свойства. 19