Учебно-методический комплекс дисциплины

Скачать 1.93 Mb.

Название	Учебно-методический комплекс дисциплины
страница	14/14
Дата публикации	26.05.2015
Размер	1.93 Mb.
Тип	Учебно-методический комплекс

100-bal.ru > Математика > Учебно-методический комплекс

1 ... 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Решение дифференциальных уравнений с помощью

с???????? рядов.

С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида:

Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям.

Это решение можно представить степенным рядом:

Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные c_i.

Эта задача решается методом сравнения неопределенных коэффициентов. Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное дифференциальное уравнение, выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.)

Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему уравнений, из которой последовательно определяем коэффициенты c_i.

Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям.

Пример. Найти решение уравнения c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.

Решение уравнения будем искать в виде

Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

Отсюда получаем:

………………

Получаем, подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее первой производной:

Окончательно получим:

Итого:

Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он носит название метод последовательного дифференцирования.

Рассмотрим тот же пример. Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения неизвестной функции в ряд Маклорена.

Если заданные начальные условия y(0)=1, y’(0)=0 подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим, что

Далее запишем дифференциальное уравнение в виде и будем последовательно дифференцировать его по х.

После подстановки полученных значений получаем:

Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде .)

1.1. 1.2.

Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

2.1. 2.2.

Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

3.1. 3.2.

Задача 4. Найти решение задачи Коши.

4.1.

4.2.

Задача 5. Решить задачу Коши.

5.1.

5.2.
Задача 6. Найти решение задачи Коши.

6.1.

6.2.

Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

7.1.

7.2.

Задача 8. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку .

8.1. 8.2.

Задача 9. Найти линию, проходящую через точку и обладающую тем свойством, что в любой ее точке нормальный вектор с концом на оси имеет длину, равную , и образует острый угол с положительным направлением оси .

9.1. 9.2.
Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения.

10.1. 10.2.

Задача 11. Найти решение задачи Коши.

11.1.

11.2.
Задача 12. Найти общее решение дифференциального уравнения.

12.1. 12.2.

Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения.

13.1.

13.2.

Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения.

14.1. 14.2.

Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения.

15.1.

15.2.

Задача 16. Найти решение задачи Коши.

16.1.

16.2.
Раздел 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после утверждения программы.
Характер изменений в программеНомер и дата протокола заседания кафедры, на котором было принято данное решениеПодпись заведующего кафедрой, утверждающего внесенное изменение Подпись декана факультета (проректора по учебной работе), утверждающего данное изменение

Раздел 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое звание и степень преподавателяУчебный годФакультетСпециальность к.ф.-м.н., доцент Верещагин Б.М.2004-2005ПМПЭ010200 Прикладная математика и информатика к.ф.-м.н., доцент Верещагин Б.М.2005-2006ПМПЭ010200 Прикладная математика и информатика к.ф.-м.н., доцент Верещагин Б.М.2006-2007ПМПЭ010200 Прикладная математика и информатика к.ф.-м.н., доцент Верещагин Б.М.2007-2008ПМПЭ010200 Прикладная математика и информатикак.ф.-м.н., доцент Верещагин Б.М.

Пышкина Т.В.2010-2011ФМОИП010501 Прикладная математика и информатикак.ф.-м.н., доцент Верещагин Б.М.

Большакова Н.С.2011-2012ФМОИП010501 Прикладная математика и информатикак.ф.-м.н., доцент Верещагин Б.М.

Большакова Н.С.2012-2013ФМОИП010501 Прикладная математика и информатика

1 ... 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Похожие:

	Учебно-методический комплекс дисциплины красноярск 2012 пояснительная... Учебно-методический комплекс дисциплины (умкд) «Психодиагностика» для студентов заочной формы обучения (3,5 года обучения) по специальности...		Учебно-методический комплекс дисциплины специальность 100110. 65... Учебно-методический комплекс дисциплины (умкд) «Информационная культура» состоит из следующих элементов
	Учебно-методический комплекс дисциплины специальность: 050706. 65 «Педагогика и психология» Настоящий учебно-методический комплекс дисциплины (умкд) «Психолого-педагогическая коррекция» для студентов 5-го заочного отделения...		Учебно-методический комплекс дисциплины специальность : 040101. 65... Учебно-методический комплекс дисциплины (умкд) «Информатика» для студентов очной формы обучения по специальности 040101. 65 социальная...
	Учебно-методический комплекс дисциплины по выбору направление 050700. 62 «Педагогика» Настоящий учебно-методический комплекс дисциплины по выбору (умкд) «Психолого-педагогическая коррекция» для студентов 4-го курса...		Учебно-методический комплекс дисциплины по направлению подготовки... Учебно-методический комплекс дисциплины (умкд) «Основы экономических учений» состоит из следующих элементов
	Пояснительная записка Учебно-методический комплекс дисциплины (умкд)... Учебно-методический комплекс дисциплины составлен к п н., доцентом Грасс Т. П., д э н., профессором Е. В. Щербенко		Пояснительная записка Учебно-методический комплекс дисциплины (умкд)... Учебно-методический комплекс дисциплины составлен к п н., доцентом Грасс Т. П., д э н., профессором Е. В. Щербенко
	Учебно-методический комплекс дисциплины Учебно-методический комплекс дисциплины составлен в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта высшего...		Учебно-методический комплекс дисциплины по направлению подготовки... Учебно-методический комплекс дисциплины (умкд) «Основы экономических учений» состоит из следующих элементов
	Учебно-методический комплекс «дисциплины» Учебно-методический комплекс «дисциплины» физическая культура составлен в соответствии с Государственным образовательным стандартом...		Учебно-методический комплекс «дисциплины» Учебно-методический комплекс «дисциплины» физическая культура составлен в соответствии с Государственным образовательным стандартом...
	Учебно-методический комплекс дисциплины Учебно-методический комплекс дисциплины Культура повседневности зарубежных стран Направление/ специальность — 031400. 62, культурология...		Учебно-методический комплекс дисциплины «информатика» Учебно-методический комплекс дисциплины составлен в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта высшего...
	Учебно-методический комплекс дисциплины «Риторика» Учебно-методический комплекс дисциплины составлен в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта высшего...		Учебно-методический комплекс дисциплины Учебно-методический комплекс дисциплины Источниковедение истории культуры Направление/ специальность — 031400. 62,культурология Форма...

Школьные материалы