Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики»,
посвященная 75-летию академика М.М.Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
О влиянии начальных отклонений в геометрической форме
на устойчивость тонких оболочек
В.Л. Якушев*
* ИАП РАН
ул.2-я Брестская, 19/18
123056 Москва, Россия
E-mail: yakushev@icad.org.ru
Работа автора была поддержана РФФИ (грант 03-01-00699-а),
Отделением математических наук РАН (программа №3)
Экспериментальные исследования по устойчивости тонких оболочек, в особенности сферических куполов и цилиндров, выявили сильный разброс значений верхних критических нагрузок. Сравнение теории и экспериментальных данных [1,2] показано на рис. 1.
Рис. 1: Данные экспериментов (кружки) и теоретические результаты по устойчивости тонких сферических куполов.
В дальнейшем обозначены:  - радиус кривизны,  - радиус основания,  - толщина и  - высота подъёма купола,  – геометрический параметр,  - внешнее равномерное нормальное к поверхности критическое давление,  и  - модуль упругости и коэффициент Пуассона.
На рис. 1 жирной линией показано теоретическое решение в предположении об осесимметричной форме потере устойчивости, а тонкой линией – о несимметричной потере устойчивости. В обоих случаях предполагалось, что начальная форма оболочки идеальная. Как видно существует сильное различие между теорией и экспериментом с одной стороны, так и между экспериментальными данными. Подобные эксперименты повторялись много раз, и хорошего совпадения с теорией удалось достичь только для очень тщательно изготовленных образцов. В большинстве случаев разброс составлял сотни процентов.
Поэтому проблема устойчивости пологих сферических куполов привлекает исследователей уже более 60 лет. Отсчет принято вести от работы [3]. С этого момента было выполнено большое количество теоретических и экспериментальных исследований. Их обзоры за различные периоды времени можно найти в [4,5]. По существующим сейчас представлениям для адекватного решения задачи устойчивости ее необходимо решать на основе нелинейных уравнений, учитывать малые начальные геометрические отклонения в исходной форме оболочки, реальные условия закрепления и неидеальность упругих свойств материала.
Анализ задачи показывает, что малые начальные отклонения в геометрической форме, которые составляют несколько процентов от толщины оболочки или сотые или тысячные доли процента от ее характерного размера (например, радиуса основания), приводят к разбросу критической нагрузки в десятки и сотни процентов. То есть наблюдается сильная зависимость от начальных условий. Кроме того, имеются существенные трудности в решении нелинейных уравнений теории оболочек, возникающие из-за наличия особых точек, отсутствия необходимой информации о начальных геометрических неправильностей.
Был разработан алгоритм [6,7] решения нелинейных задач деформирования и устойчивости оболочек с учетом начальных геометрических несовершенств в форме и контуре оболочки, позволяющий регуляризировать задачу и без смены параметров рассматривать деформирование и устойчивость оболочек, находить до- и закритические состояния.
Для этой цели использовались вязкие (метод дополнительной вязкости) и динамические уравнения теории оболочек, позволяющие по единому алгоритму без смены параметров решать задачи устойчивости и находить устойчивые до- и закритические состояния.
Неизвестными являются нормальный прогиб  и функция напряжений  ,  - начальный прогиб,  и  - пространственные координаты,  - время,  - давление:
Решение состоит из нескольких этапов:
1. Находятся собственные частоты  , формы для нормального прогиба  и распределений функций напряжения  для собственных колебаний идеальной по форме и контуру оболочки.  и  - номера мод по координатам.
2. Нормальный прогиб и функция напряжений для нелинейной задачи раскладываются в ряды по ранее найденным собственным функциям с неизвестными коэффициентами  и  .
3. Начальные несовершенства в форме оболочки раскладываются в ряды по собственным формам с известными коэффициентами  .
4. Несовершенства в форме и производной начального прогиба около контура оболочки учитываются путем добавления в ряды для геометрических несовершенств дополнительных членов  . В результате имеем:
5. Полученные ряды подставляются в динамические уравнения .
6. Функции обладают свойством ортогональности с весом  . Для функций напряжения подбираем специальную ортогонализирующую функцию  . Эти свойства записываются следующим образом:
Благодаря этим свойствам удается получить систему уравнений для прогиба, в которой в левой части каждого уравнения стоит вторая производная от коэффициента разложения только для одной компоненты. Кроме этого и для каждой компоненты функции напряжения имеем отдельное уравнение:
 и  - линейные части,  и  нелинейные части уравнений.
В результате имеем систему уравнений для коэффициентов разложения нормального прогиба и функции напряжения удобную для пошагового решения.
Д
ля пологих сферических куполов проведено сравнение теоретических и экспериментальных данных для 50 образцов. Данные обмеров оболочек и результаты экспериментов были предоставлены профессором С. Ямада из Японии (S. Yamada, Toyohashi University of Technology, Japan) [1]. Один из примеров распределения реальных начальных неправильностей для образца С98 показан на рис. 2. с увеличением в направлении нормали в 800 раз по сравнению с другими направлениями. Левые рисунки построены по экспериментальным данным на сетке, в узлах которой проводились замеры, правые получены на основе аппроксимации по описанной выше методике на более подробной сетке при числе точек по углу равным 48 и по радиусу 76. Два верхних рисунка дают трехмерное распределение по куполу начального отклонения, а нижние вид сверху на купол с линиями уровня неправильностей. Как видно, замеры показали, что искажения начальной формы имеются как в самой оболочке, так и в опорном контуре.
Рис.2: Распределение начальных неправильностей для образца С98.
При теоретических расчетах данные о начальных несовершенствах в форме оболочки брались из их прецизионных обмеров. В результате расхождение между теоретическими и экспериментальными данными оказалось около 3-6%. Типичная зависимость между внешним давлением  и интенсивностью полного прогиба:
представлена на правом рис. 3 сплошной линией.
В
начале расчет велся с положительным шагом по давлению, после перехода в устойчивое закритическое состояние увеличение давления было продолжено, а затем оно уменьшалось. Таким образом, была найдена верхняя критическая нагрузка и две нижние. Стрелки указывают направление процесса при потере устойчивости для верхнего и нижнего критического давления.
Рис. 3: Типичное поведение оболочки при потере устойчивости.
Для цилиндрических оболочек данные о начальных несовершенствах были предоставлены профессором Д. Арбочем из Нидерландов (Prof. Dr. J. Arbocz, Delft University of Technology Faculty of Aerospace Engineering Chair Aerospace Structures and Computational Mechanics) и Эдуардом Эвертом из Германии (Eduard Ewert, Universitaet Karlsruhe - Institut fuer Mechanik). Распределение неправильностей в последнем случае показано на рис. 4. Здесь наблюдаются отклонения как в форме, так и в граничных условиях.
Р
ис. 4: Распределение начальных геометрических неправильностей для цилиндрической оболочки. На правом вернем рисунке они даны с увеличением в 50 раз.
С целью сокращения времени расчета и увеличения точности усовершенствована конечно-разностная схема для решения по времени жесткой системы нелинейных уравнений; проведен детальный анализ асимптотических свойств решения и показано, что угловые и радиальные гармоники, начиная с некоторых номеров, не вносят существенного вклада в решение и не влияют на величину критической нагрузки. Проведен анализ зависимостей между критическим давлением и начальными несовершенствами и подтверждено предположение о независимости критических нагрузок от компонент разложения начальных несовершенств для больших номеров угловых и радиальных мод.
Литература.
Yamada S., Uchiyama K., Yamada M. Experimental investigation of the buckling of shallow spherical shells. Int. J. Non-Linear Mechanics, Vol. 18, No. 1, pp. 37-54, 1983.
Yamada M., Yamada S. Agreement between theory and experiment on large-deflection behavior of clamped shallow spherical shells under external pressure. Collapse, edited by Thompson and Hunt, Cambridge University Press, (1983), 431-441.
Karman Th., Tsien H.S. The buckling of spherical shells on external pressure, J. Aeron. Sci. 7 (1939), pp. 43-50.
Ворович И.И., Минакова Н.И. Проблема устойчивости и численные методы в теории оболочек // Итоги науки. Механика. Т. 7. – М.: ВИНИТИ, 1973. – С. 5-86.
Григолюк Э.И., Мамай В.И. Механика деформирования сферических оболочек. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. – 114 с.
Якушев В.Л. Математическое моделирование нелинейной устойчивости пологих сферических куполов: сравнение теории и эксперимента. Математическое моделирование: Проблемы и результаты. – М.: Наука, 2003. С. 358-383.
Якушев В.Л. Нелинейные деформации и устойчивость тонких оболочек. - М.: Наука, 2004.
|
