Глава II посвящена квазиравномерным сеткам и обобщению методов Ричардсона и Эйткена на этот класс сеток.
В первом параграфе дано определение квазиравномерных сеток. Выведены свойства, позволяющие строить аппроксимацию для интегралов и производных на квазиравномерных сетках. Приведены примеры одномерных сеток на конечном отрезке, полупрямой и прямой, а также в задачах слоистых сред. Показано, как строить многомерные регулярные квазиравномерные сетки.
Во втором параграфе построены аппроксимации интегралов и производных на квазиравномерных сетках. Показано, что благодаря наложенным в определении квазиравномерности требованиям сохраняется структура погрешности в виде разложения по обратным степеням числа узлов. Поэтому метод сгущения сеток полностью обобщается для семейств квазиравномерных сеток.
Установлена связь между квазиравномерными и адаптивными сетками, а также методом замены переменных.
Квазиравномерные сетки с конечным числом интервалов можно строить даже в неограниченной области: последний узел сетки будет бесконечно удалённой точкой. В третьем параграфе построены аппроксимации для интегралов и производных со вторым порядком точности, пригодные в неограниченной области. При этом дополнительно накладываются требования достаточной быстрого убывания производных функции и на бесконечности. Это дает возможность естественного и аккуратного учета граничного условия в бесконечно удаленной точке в спектральных задачах, задачах обтекания и многих других.
Четвертый параграф посвящен построению двумерной аппроксимирующей поверхности по данным, заданным на квазиравномерной сетке в плоскости и полуплоскости. Построение такой поверхности необходимо для восстановления решения в промежуточных точках и визуализации результатов расчета. Сложность состоит в сильной неравномерности сетки. Предложенный метод основан на нелинейной среднеквадратичной аппроксимации.
В главе III построен метод диагностики особенностей заранее неизвестного точного решения задачи Коши для ОДУ. Задачи, допускающие разрушение решения за конечный промежуток времени, являются математическими моделями таких физических явлений как взрывы, пробои полупроводника, разрушение конструкций и т.п.
В первом параграфе дан анализ поведения численного решения на задачах с особенностями при использовании различных разностных схем. Большинство схем дает переполнение в расчетах, причем момент переполнения никак не связан с моментом сингулярности. Показано, что одностадийная схема Розенброка с комплексным коэффициентом, изначально предложенная для жестких задач, позволяет избежать переполнения счета при расчетах плохообусловленых задач.
Во втором параграфе теоретически обоснован и проиллюстрирован на примерах алгоритм, позволяющий диагностировать тип сингулярности и другие особенности точного решения при расчетах с использованием схемы Розенброка с комплексным коэффициентом (CROS).
Диагностика основана на методе сгущения сеток и контроле эффективного порядка точности. В областях, где решение достаточно гладкое эффективный порядок точности схемы CROS практически совпадает с теоретическим значением 2. Существенное отклонение от этого значения свидетельствует о разрушении точного решения.
Если точное решение задачи Коши в точке  имеет степенную асимптотику  , то в расчете по схеме CROS численное решение после прохождения стабилизируется на уровне  (здесь  шаг сетки). А эффективный порядок точности при увеличении числа узлов сетки  . Тем самым контроль эффективного порядка точности дает нам возможность диагностировать не только местоположение особенности, но и ее тип (степень  ). Для логарифмической особенности  эффективный порядок точности схемы CROS стремится к 0 во всех точках сетки за особенностью. При экспоненциальной асимптотике точного решения  эффективный порядок схемы CROS отрицателен и неограниченной нарастает по модулю  во всех узлах сетки за особенностью.
В третьем параграфе дано обобщение метода диагностики сингулярности на неавтономные задачи и системы ОДУ. В этом случае стабилизация решения схемы CROS вообще говоря уже не имеет места, но по отклонению  от теоретического значений 2 можно диагностировать разрушение решения. В узле сетки, ближайшем к истинному моменту сингулярности, схемы CROS подчиняется тем же законам, что и в одномерном случае, что на практике позволяет диагностировать асимптотику разрушающегося решения. Приведены примеры, иллюстрирующие возможности предложенного алгоритма.
Пример 1. Точное решение задачи Коши
есть  . На рис. 2 приведены эффективные порядки точности для обоих компонент решения в узлах сеток  . В узлах сеток, ближайших к моменту сингулярности  ,  , указывая на степенную особенность 1-о1 компоненты решения, а  , диагностируя экспоненциальный рост второй компоненты решения , в точном соответствии с теоретическими результатами.
|
|
Рис. 2. Эффективный порядок точности схемы CROS для компонент численного решения
системы .
|
Четвертый параграф посвящен обнаружению разрывов высоких производных. Метод основан на контроле базового расчета и последовательных уточнений по Ричардсону. Каждое уточнение вида повышает порядок точности на 1 (или на 2 для симметричных алгоритмов) для решений, имеющих необходимое количество ограниченных производных. Если при очередном уточнении, начиная с некоторого момента  , не повышается, это свидетельствует о разрыве соответствующей производной в этой точке.
Метод диагностики сингулярности, описанный в главе III, является одним из новых результатов, полученных в работе. Он уже нашел практическое применение в задачах математического моделирования процессов в полупроводниках, где он применяется для определения момента пробоя полупроводника [А.Б. Альшин и др., ФИЗМАТЛИТ, 2006].
Глава IV посвящена построению сеточных методов для задач математической физики с граничным условием в бесконечно удаленной точке.
В первом параграфе приведены примеры актуальных прикладных задач, описываемых дифференциальными, интегральными или интегродифференциальными уравнениями в неограниченной области. При этом граничные условия ставятся непосредственно на бесконечности. Достаточно часто для решения таких задач использовали хоть и большие, но конечные расчетные области, покрытые равномерной сеткой с огромным числом интервалов. Перенос граничного условия из бесконечно удаленной и в конечную точку требовал для сохранения приемлемой точности применения громоздких искусственных приемов [Софронов И.Л., 1999].
В данной работе использован другой подход. Квазиравномерные сетки с конечным числом интервалов можно строить даже в неограниченной области: последний узел сетки будет бесконечно удалённой точкой. Это позволило предложить эффективные методы решения многих классов задач в неограниченной области: несобственных интегралов, краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений. Метод естественно переносится на интегральные и интегро-дифференциальные уравнения, а также на многомерный случай.
Всё это открывает широчайшие возможности. Например, можно естественно решать аэродинамические задачи дозвукового обтекания, где граничным условием является невозмущённость набегающего потока на бесконечном удалении от обтекаемого тела.
Во втором параграфе для несобственных интегралов построены различные квадратурные формулы на квазиравномерных сетках в неограниченной области: простейшие аналоги формул трапеций и средних, имеющие второй порядок точности. Предложен и обоснован гаусово-сеточный метод, имеющий тот же высокий порядок точности, что и формулы Гаусса-Кристоффеля, но применимый к более широкому классу подынтегральных функций, в том числе и со слабым степенным убыванием. Еще лучшие результаты для вычисления несобственных интегралов дал метод рекуррентного уточнения по Эйткену.
Пример 2. Рассмотрим случай очень медленно убывающей степенной функции:
Выберем следующее преобразование переменных, удобное для использования в стандартных программах:
 .
После преобразования интеграл переходит в интеграл по конечному отрезку  с особенностью подынтегральной функции на правой границе. Для его вычислений в качестве базового алгоритма используем квадратурную формулу средних и проводим рекуррентные уточнения по Эйткену. Убывание погрешности с ростом числа узлов в двойном логарифмическом масштабе показано на рис. 3.
Гладкость подынтегральной функции недостаточна и базовый расчет имеет  намного хуже теоретического значения  . Рекуррентные уточнения по методу Ричардсона с теоретическими порядками в этом случае не улучшают точности. Уточнения же по методу Эйткена существенно уменьшают погрешность: первое уточнение дает  , второе уточнение также дает  , а третье дает . При  узлов погрешность последнего уточнения выходит на ошибки округления, которые в данном расчете составляют  .
Для сравнения на рис. 3 звездочками приведены результаты работы стандартной подпрограммы MATLAB на задаче , видно, что погрешность практически не убывает с ростом числа узлов сетки, а само значение погрешности неприемлемо велико. Такая ситуация типична для стандартных программ при вычислении интегралов со слабым степенным убыванием на бесконечности.
Рис. 3. Погрешность расчета интеграла и уточнения по методу Эйткена. 0 – формула средних, цифры – номер рекуррентного уточнения, звездочки – Matlab.
В третьем параграфе построены численные методы нахождения спектров дифференциальных операторов в неограниченной области. Проведено сравнение метода дополненного вектора, метода обратных итераций и обратных итераций со сдвигом по скорости сходимости и устойчивости. Доказано, что фазовый метод, весьма успешный в ограниченной области, не дает правильного предела при переходе к неограниченной области. Показано, что метод обратных итераций с переменным сдвигом напротив сходится даже из весьма далеких приближений за 3-4 итерации, что позволяет рекомендовать этот метод, например, для спектроскопии разреженной плазмы, где необходима высокая точность (как минимум 5-6 верных знаков).
В четвертом параграфе построены численные методы решения ряда начально-краевых задач для классических уравнений математической физики в неограниченной области. Корректный учет граничного условия в бесконечно удаленной точке в таких задачах возможен благодаря применению квазиравномерных сеток. Исследовано поведение наиболее употребительных разностных схем при использовании сеток в неограниченной области. Например, у схемы с весами для уравнения акустики получена граница безусловной устойчивости и ограничение на соотношение шагов в области условной устойчивости (оно актуально, например, для явной схемы, хорошо поддающейся распараллеливанию).
Рис. 4. LS-режим горения. Сплошные линии соответствуют моментам времени  , штриховые  (после диагностированного разрушения).
Проведение серии расчетов на вложенных сгущающихся квазиравномерных сетках позволило осуществлять контроль точности в расчетах в неограниченных областях и диагностировать разрушение решения. Например, для уравнения нелинейной теплопроводности и горения построен метод, позволяющий диагностировать наличие режима с обострением, момент обострения и в ряде случаев асимптотику разрушающегося решения.
Пример 3. Рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения нелинейной теплопроводности и горения (так называемый LS-режим горения):
Применение метода прямых сводит задачу к жесткой системе большого числа ОДУ, для численного решения которой была использована схема CROS. Профили численного решения показаны на рис. 4. Серия расчетов на сгущающихся квазиравномерных сетках позволила диагностировать момент обострения  и разрушение точного решения . Контроль позволяет предположить асимптотику разрушающегося точного решения  .
Результаты этой главы являются частью цикла работ по методам решения задач в неограниченных областях (в соавторстве А.Б. Альшиным), который в 2003 г. был отмечен медалью РАН для молодых ученых.
Глава V посвящена численному решению дифференциально-алгебраических систем, которые достаточно часто возникают на практике. Например, колебания тока в электрических цепях подчиняются дифференциальным уравнениям; если цепь разветвленная, то в точках разветвления накладываются алгебраические связи на токи и потенциалы. Газовая и гидродинамика описываются системой дифференциальных уравнений Эйлера, дополненной алгебраическими уравнениями состояния. Движение шарнирного механизма описывается дифференциальными уравнениями ньютоновской динамики для каждой детали и алгебраическими условиями сопряжения в шарнирах и опорах. Сингулярно возмущенные задачи в предельном случае переходят в дифференциально-алгебраические системы. В дифференциально-алгебраических системах дифференциальные уравнения сами по себе могут оказаться жесткими. Сверхвысокая жесткость характерна для расчетов широкополосной электронной аппаратуры.
В первом параграфе дан обзор задач, приводящих к дифференциально-алгебраическим системам, и существующих методов решения жестких и дифференциально-алгебраических задач. Приведены понятия жесткой  и  устойчивости.
Отмечено, что одностадийная схема Розенброка с комплексным коэффициентом (CROS) [Rosenbrock H.H., 1963]
для задачи вида
обладает уникальными свойствами: сочетает точность  и  устойчивость, что делает ее применимой к сверхжестким задачам.
Метод  -вложения для дифференциально-алгебраических систем предложен Гиром в 1971 г. При этом рассматривают сингулярно возмущенную задачу:
где  векторы, а  достаточное число раз дифференцируемые вектор-функции той же размерности. Записывают для какую-либо разностную схему и в полученных формулах полагают  . Полученный метод используют для решения соответствующей приведенной системы
Это лишь наводящие соображения для построения численного метода решения дифференциально-алгебраических задач. Сходимость метода -вложения необходимо доказывать для каждой конкретной используемой разностной схемы. Кроме того, известно явление потери точности: большинство схем в методе -вложения для дифференциально-алгебраических систем имеет более низкий порядок точности, чем для чисто дифференциальной задачи . Схемы не теряющие своего порядка точности в методе -вложения называются жестко точными.
В параграфе 2 исследована локальная погрешность метода -вложения со схемой CROS. При условии дважды непрерывной дифференцируемости  и  по обоим аргументам и обратимости  в окрестности точного решения локальная погрешность на есть  для дифференциальной компоненты  и - для алгебраической компоненты  . Исследовано накопление глобальной погрешности и доказана сходимость метода -вложения со схемой CROS с точностью и по дифференциальной, и по алгебраической компонентам. Тем самым схема CROS является жестко точной.
Указана модификация схемы CROS
 .
для систем записанных в неявной форме
 .
Если  , то система дифференциально-алгебраическая, причем  есть число дифференциальных уравнений, а разность между  размерностью системы и  есть число алгебраических связей.
Описан универсальный прием, приводящий систему с явной зависимостью от времени в правой части  к автономной форме, обеспечивающей жесткую точность для схемы CROS.
В третьем параграфе на основе метода -вложения со схемой CROS, алгоритма расчета на вложенных сгущающихся сетках и рекуррентного уточнения по Ричардсону построен численный метод расчета дифференциально-алгебраических систем с контролем точности. Вопрос контроля точности в таких сложных вычислительных задачах, как сверхжесткие и дифференциально-алгебраические системы стоит особенно остро.
Метод протестирован на большом количестве тестовых примеров как модельных, так и взятых из радиофизики. Проведено сравнение с существующими стандартными программами решения дифференциально-алгебраических задач, такими как RADAU5. Показано, что стандартные программы с автоматикой выбора шага далеко не всегда обеспечивают заявленную точность, тогда как предложенный алгоритм позволят добиваться очень высокой точности даже на сверхжестких дифференциально-алгебраических задачах.
Пример 4. В качестве тестовой системы ДАУ, записанной в неявной форме, достаточно часто используют систему уравнений для напряжений  в электрической цепи транзисторного усилителя [Хайрер Э., Ваннер Г., 1996] (схема усилителя на рис. 5)
Дополнительные условия
Входной сигнал периодический  . Начальные данные согласованны   Отрезок интегрирования  .
|
|
Рис. 5. Схема транзисторного усилителя.
|
Рис. 6. Погрешность расчета транзисторного усилителя. 0 основной расчет по схеме CROS, 1,2,…,7 уточнения по Ричардсону.
|
На рис. 6 приведено убывание средней по времени и компонентам погрешности
расчета методом -вложения со схемой CROS (индекс 0) и рекуррентных уточнений по Ричардсону (номера уточнений указаны возле кривых). Для достижения точности  требуется в общей сложности 6000 узлов (с учетом всех уточнений). Максимальная достигнутая точность в данном расчете  .
В [Хайрер Э., Ваннер Г., 1996] расчет транзисторного усилителя выполнен при помощи RADAU5, реализующей неявную схему Рунге-Кутты 5-го порядка точности и автоматический выбор шага сетки. На рис. 7 показана зависимость погрешности RADAU5 от времени. При задании уровня точности  программа RADAU5 выполняет 7721 вызов правой части (что больше, чем у CROS с рекуррентным уточнением по Ричардсону), заданный уровень точности нарушается лишь в некоторых точках. При задании более высокого уровня  , реальная точность RADAU5 на протяжении всего расчета почти в 100 раз хуже декларируемой.
Рис. 7. Средняя по всем 5 компонентам погрешность программы RADAU5 на задаче .
Возможная причина неудач алгоритмов с автоматикой выбора шага состоит в том, что они используют локальное ричардосоновское уточнение и априорную оценку погрешности. При этом, как показано на примере, могут быть потеряны свойства жесткой устойчивости схемы. В предложенном алгоритме уточнение по Ричардсону делается глобально и апостериорно и свойства жесткой устойчивости сохраняются.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Даны способы построения квазиравномерных сеток, в том числе, в неограниченной области. Построены аппроксимации интегралов и производных на квазиравномерных сетках, сохраняющие структуру погрешности, пригодную для применения рекуррентного уточнения по Ричардсону и Эйткену, даже в неограниченной области.
Построены эффективные сеточные методы расчетов краевых, начально-краевых, спектральных и некоторых других задач в неограниченных областях для функций, производные которых достаточно быстро затухают на бесконечности. Предложенный метод основан на применении семейства квазиравномерных сеток, что позволяет естественно и аккуратно учесть граничные условия в бесконечно удаленной точке и проводить расчеты с одновременным нахождением апостериорной асимптотически точной оценки погрешности.
Предложен и теоретически обоснован метод обнаружения заранее неизвестных особенностей точного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с диагностикой их типа (полюс и его кратность, логарифмический или экспоненциальный рост, отсутствие ограниченных производных высокого порядка) и местоположения. Алгоритм обобщается для уравнений в частных производных.
Для дифференциально-алгебраических систем предложен алгоритм, основанный на методе -вложений и одностадийной схеме Розенброка с комплексным коэффициентом. Доказана его сходимость с точностью  . На основе предложенной схемы и метода рекуррентного уточнения Ричардсона построен экономичный алгоритм, позволяющий находить численное решение с гарантированной и очень высокой точностью даже для сверхжестких задач.
ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
L.F. Richardson The deferred approach to the limit, Phil.Trans., A, 1927, vol.226, p.299-349.
Rosenbrock H.H. Some general implicit processes for the numerical solution of differential equations. // Comput. J. 1963. V.5. №4. P.329330.
А.Б. Альшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер, А.Г. Свешников Линейные и нелинейные уравнения Соболевского типа. ФИЗМАТЛИТ, 2006.
Калиткин Н.Н. Численные методы. М., Наука, 1978.
Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М., Наука, 1979, 319с.
Рябенький В.С., Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений. Гос. изд. Технико-теоретической литературы, Москва, 1956
Софронов И.Л. Точные искусственные граничные условия для некоторых задач аэродинамики и дифракции. Автореферат докт. дисс., М., ИММ РАН, 1999
Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. Мир, Москва, 1990, 512с
Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. Мир, Москва, 1999, 685с.
ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Монография
|
