5. Отыскание обратных функций.
На основе метода, заложенного в алгоритме «Селигер», можно вывести соотношения для операций, обратных конъюнкции и дизъюнкции. Поскольку эти операции часто называются соответственно логическими умножением и сложением, то логично обратным операциям присвоить имена логического деления и логического вычитания. Впервые формулы для логического частного и логической разности для троичной логики получены Н.П.Брусенцовым. Поскольку в троичной логике не может быть получено корректное решение, то требуется проверка уравнений Брусенцова.
Если логическое уравнение вида z=f(x1, x2, x3 .....xi .....xn) решается относительно одной из своих переменных, например, отыскивается обратная функция x1=fi(z, x2, x3 .....xi ..... xn), то можно воспользоваться более простым алгоритмом «Селигер-С» решения задачи.
Алгоритм «Селигер-С» синтеза обратных функций.
1. Построить таблицу истинности для уравнения z=f(x1, x2 ..... xn).
2. По исходной таблице истиннсти построить таблицу истинности для обратной функции вида x1=fi(z, x2 ......xn) простой перестановкой столбцов z и х1.
3. По полученной таблице истинности построить обратную функцию x1=fi(z, x2, ..... xn) и провести её минимизацию.
4. Проверить полученное решение, вычислив полную единицу системы М по обратной функции.
Пример 5.
Дано: z = xу , v = x + у.
Найти: у = z/x , у = v-x .
Решение.
На основе формулы эквивалентности преобразуем исходную формулу z=xу. Тогда получим (z=xу) = zxу + z’(x’+у’). В соответствии с пп.4, 5 алгоритма «Селигер» получим у = xz+ix’z’+jx’z.
Решим ту же задачу посредством алгоритма «Селигер-С». Исходные уравнения представим в виде таблицы истинности. Тогда в соответствии с п.2 алгоритма «Селигер-С» построим частные таблицы истинности для у= z/x и у=v-x.
В соответствии с п.3 алгоритма «Селигер-С проведём минимизацию искомых функций в комплементарной логике.
Для комплементарной логики получим:
у = z/x = xz + ix’z’ + jx’z = xz+x’yz’+x’y’z - уравнение логического деления.
у = u-x = x’v + iv + jxv’ = x’v+yv+xy’v’ - уравнение логического вычитания.
Проверим оба полученных результата. Пусть вначале это будет операция логического деления. В рекурсивной форме она выглядит так:
у = xz + yx’z’ + y’x’z
Найдём полную единицу системы М для полученной функции.
M = (у = xz + yx’z’ + y’x’z ) = y(xz + yx’z’ + y’x’z )+y’(xz + yx’z’ + y’x’z )’ =
= xyz+x’yz’+y’(y’z’+xz’+x’yz) = xyz+x’yz’+y’z’ = xyz+z’(x’+y’).
Она должна совпадать с исходной
M = (z=xy) = xyz+z’(xy)’ = xyz+z’(x’+y’). Налицо совпадение результатов.
Проверим формулу, полученную для логической разности. Исходная полная единица системы M = (v = x+y) = v(x+y) + v’(x+y)’ = xv+yv+x’y’v’.
Полная единица системы на основе логической разности
M = (y = x’v+yv+xy’v’) = x’yv+yv+y’(x’v+yv+xy’v’)’ = yv+y’(x’v’+yv’+xy’v) =
= yv+x’y’v’+xy’v = xv+yv+x’y’v’, ч.т.д.
Проверка подтвердила правильность полученных результатов.
Теперь проверим формулы, полученные Брусенцовым Н.П. Для логического деления была получена формула: y = xz+ix’.
Приведём её к рекурсивному виду – получим y = xz+yx’. Найдём полную единицу системы: M = (y = xz+yx’) = xyz+x’y+y’(xz+yx’)’ = xyz+x’y+y’(xz’+y’x’)’ = xyz+x’+xy’z’ = x’+x(y=z) = x’+(y=z), что не соответствует исходной М.
Для логического вычитания Брусенцовым Н.П. построена частичная функция [3, с.37] : y = x’z+ix. В рекурсивном виде y = x’z+yx. Найдём полную единицу системы M = (y = x’z+yx) = x’yz+xy+y’(x’z+yx)’ = x’yz+xy+y’(x’z’+y’x) = x’yz+xy+xy’ = x’yz+x, что не соответствует исходной М.
Как мы убедились, однозначными и строгими решениями являются лишь уравнения комплементарной логики. Следовательно, в принципе не может быть правильным решение логического уравнения в троичной логике.
6. Основные недостатки классической логики.
Классическая логика не использует минимизацию логических функций с помощью карт Карно в том числе и в связи с незнанием алгоритмов, разработанных автором. Карты Карно наряду с методом обобщённых кодов Мавренкова – необходимейший и обязательнейший инструмент логика.
Классическая логика проявляет невежество при доказательстве законов логики суждений, поскольку не применяет аналитических методов, что катастрофически сужает круг рассматриваемых задач.
Отсутствие аналитического представления силлогистических функторов лишает фундамента логику предикатов.
Все законы и правила силлогистики некорректны, поскольку в них не учитывается влияние универсума и конкретного содержания терминов.
Все фигуры и модусы силлогистики никчёмны, поскольку нельзя анализировать и синтезировать силлогизмы в общем виде без рассмотрения конкретного базиса, универсума, содержания и количественных характеристик каждого термина.
Классическая силлогистика оперирует лишь функторами Axy, Exy, Ixy, Oxy и не охватывает подавляющее большинство суждений любого другого типа.
Функтор Oxy является не только лишним, но и некорректным.
В классической логике до сих пор не решена проблема единичного множества.
Нет окончательного результата в проблеме решения логических уравнений и в синтезе обратных логических функций.
Искореняется всякое мышление.
В связи с вышеперечисленным студенты и преподаватели обречены на унылую бестолковую зубрёжку и не умеют решать серьёзные задачи логики.
7. Основные результаты, полученные при создании Русской логики.
Создана графическая алгебра логики.
Разработаны графические методы минимизации логических функций для большого числа аргументов с помощью карт Карно (алгоритм «НИИРТА»).
Впервые доказано, что алгебра множеств – «лишняя сущность»(Оккам), поскольку алгебра логики выполняет и её функции, оперируя как с множествами, так и с единичными логическими элементами.
Показано, что «кванторное исчисление» ничего не исчисляет, поскольку является примитивной мнемоникой.
Создана 4-значная комплементарная логика и её алгебра с методами минимизации комплементарных функций.
Разработаны простые методы решения логических уравнений (алгоритм «Селигер») на основе комплементарной логики.
Применение метода при выводе обратных логических функций показало, что однозначное решение для двоичных аргументов может быть получено лишь в комплементарной логике.
Впервые получены все 16 обратных логических функций для двух аргументов, в том числе функции логического вычитания и деления.
Комплементарная логика при аппаратной реализации позволяет значительно упростить решение проблемы самодиагностирования вычислительной техники: например появление j на любом выходе может свидетельствовать о сбое или отказе.
Синтезированы методы нахождения парных термов для равносильных преобразований логических равенств.
Предложен простой математический метод анализа и синтеза законов логики суждений (алгоритм «Импульс»).
Предложены скалярные диаграммы, позволившие формализовать силлогистику и дать графическую интерпретацию алгебры логики.
Впервые создан аналитический базис силлогистики и определены его разновидности: русский, аристотелевский, базис Васильева и т.д.
Впервые показано, что даже общие суждения имеют неоднозначную структуру и аналитическое описание.
Впервые представлено все многообразие базиса частноутвердительного суждения и дано его аналитическое представление.
Впервые найдено аналитическое выражение для частноутвердительных суждений, удовлетворяющих критерию Васильева.
Предложен простой и надежный способ графической и аналитической проверки силлогизмов и синтеза заключений для любых базисов (алгоритмы «Осташ», «ИЭИ» и «ТВАТ»).
Применение предложенного метода избавляет от необходимости запоминания множества логических правил и законов.
Руская логика оперирует не только функторами Axy, Exy, Ixy, но и суждениями любого типа.
Впервые аналитически описан базис логики Аристотеля-Жергонна. Впервые на основе базиса Аристотеля-Жергонна разработана силлогистика, существенно отличающаяся от классической.
Впервые проверены все 64 модуса силлогистики Аристотеля-Жергонна. Доказано, что почти все «правильные» модусы Аристотеля не корректны.
Впервые доказано, что силлогистика Аристотеля-Жергонна не укладывается в прокрустово ложе 19 «правильных» модусов.
Разработаны графоаналитический алгоритм «Осташков» синтеза полисиллогизмов и графический алгоритм «Суздаль» синтеза соритов.
Разработан графический алгоритм «Редан» синтеза недостающей посылки.
Доказано, что ни силлогистика Аристотеля, ни силлогистика Аристотеля-Жергонна не имеют никакого отношения к логике здравого смысла.
Впервые обнаружена и учтена при синтезе силлогизмов зависимость заключения от объёма универсума и содержания терминов.
Впервые решена проблема единичного множества в силлогистике.
Доказано, что все 4 классических правила посылок ошибочны.
Показано, что фигуры и модусы не имеют смысла, поскольку не учитывают универсум и конкретное содержание посылок.
Отмечено, что аналитическое представление силлогистических функторов Axy, Exy впервые дано русским логиком П. С. Порецким, чего до сих пор не поняла мировая наука.
Показано, что общеразговорная логика не является двоичной.
Доказано, что логика суждений и логика предикатов идентичны, т.к. идентичны импликация и общеутвердительный квантор: x → y = x’ + y = Axy (здесь апостроф обозначает инверсию).
Впервые создана вероятностная логика.
Разработаны методы определения вероятности того или иного заключения в силлогизме.
Поскольку термины силлогистики являются множествами, то заключение зависит не только от содержания терминов, но и от количества элементов в терминах-множествах и универсуме.
Показано, что вся общеразговорная логика является вероятностной.
|
