По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик van

4. 
   Не возрастающая на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁2f(x₁)f(x₂)
   

1. 
   Ограниченной сверху на Х если существует В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется xR
   
2. 
   Ограниченной снизу на Х если существует А, так что для любого х принадлежащего Х выполняется Ах
   
3. 
   Ограниченной и сверху и снизу на Х если существует А,В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется АхВ, или существует С, так что для любого х принадлежащего Х выполняется хС
   

1. 
   Ограниченная сверху, то есть существует В так что а_nВ, для любого nN
   
2. 
   Ограниченная снизу, то есть существует А так что Аb_n, для любого nN
   
3. 
   Ограниченная, то есть существует А,В так что Аа_nВ, для любого nN  существует С>0 так что а_nС, для любого nN.
   

Монотонные последовательности

1. 
   возрастающая a_nn₊₁,  nN
   
2. 
   убывающая a_n>a_n+1,  nN
   
3. 
   не возрастающая a_na_n+1,  nN
   
4. 
   не убывающая a_na_n+1,  nN
   

Бесконечно малые последовательности

1/arcsinε N=[1/arcsinε]+1. Докажем, что lim sin1/n=0

^n+

3) _n=ln(1+1/n)

n0; 1/n; 1+1/n1

lim ln(1+1/n)=0

^n+

Докажем ln(1+1/n)<ε ln(1+1/n)<ε  1+1/nε

1/nε-1

n>1/e^ε-1 N=[1/e^ε-1]+1

5. 
   _n=1-cos(1/n)
   

lim(1-cos(1/n))=0

^n+

Докажем ε>0 1-cos(1/n)<ε

1/n первой четверти cos первой четверти положительный 0
cos(1/n)>1-ε (считаем, что 0<ε<1)



1/n1/arcos(1-ε)

N=[1/arcos(1-ε)]+1

Свойства бесконечно малой последовательности.
Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое.

_n_nбесконечно малое  _n+_n – бесконечно малое.

Доказательство.

Дано:

_n- бесконечно малое  ε>0  N₁:_n>N₁  _n<ε

_n- бесконечно малое  ε>0  N₂:_n>N₂  _n<ε

Положим N=max{N₁,N₂}, тогда для любого n>N  одновременно выполняется оба неравенства:




_n<ε _n+_n_n+_n<ε+ε=2ε=ε₁n>N

_n<ε
Зададим ε₁>0, положим ε=ε₁/2. Тогда для любого ε₁>0 N=maxN₁N₂ :  n>N  _n+_n<ε₁  lim(_n+_n)=0, то

^n

есть _n+_n – бесконечно малое.
Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое.

_n,_n – бесконечно малое  _n_n – бесконечно малое.

Докозательство:

Зададим ε₁>0, положим ε=ε₁, так как _n и _n – бесконечно малое для этого ε>0, то найдётся N₁:  n>N  _n<ε

N₂:  n>N₂  _n<ε

Возьмем N=max {N₁;N₂}, тогда n>N = _n<ε

_n<ε

_n_n=_n_n<ε²=ε₁

 ε₁>0 N:n>N _n_n<ε²=ε₁

lim _n_n=0  _n_n – бесконечно малое, что и требовалось доказать.

^n

Теорема Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность

а_n – ограниченная последовательность

_n –бесконечно малая последовательность  a_n_n – бесконечно малая последовательность.

Доказательство: Так как а_n – ограниченная  С>0: nN  a_nC

Зададим ε₁>0; положим ε=ε₁/C; так как _n – бесконечно малая, то ε>0 N:n>N _n<ε a_n_n=a_n_n1/C=ε₁

ε₁>0 N: n>N  a_n_n=Cε=ε₁  lim a_n_n=0 a_n_n – бесконечно малое

^n
Замечание: в качестве ограниченной последовательности можно рассматривать const  произведение постоянно.

Теорема о представление последовательности имеющий конечный предел.
lim a_n=a  a_n=a+_n

^n+

Последовательность a_n имеет конечный предел а тогда и только тогда, когда она представлена в виде a_n=a+_n

где _n – бесконечно малая.

Доказательство:

lim a_n   ε>0 N:n>N  a_n-a<ε. Положим a_n-a=_n  _n<ε, n>N, то есть _n - бесконечно малая

^n+

a_n=a+_n что и требовалось доказать

Доказательство (обратное): пусть a_n=a+_n, _n – бесконечно малая, то есть _n=a_n-a  ε>0 N: n>N 

_n=a_n-a<ε, то есть lim a_n-а

^n+

Теоремы о пределах числовых последовательностей.

1. 
   Теорема о пределе суммы:
   

Пусть lim a_n=a lim b_n=b  lim a_n+_n=a+b

^{n+ n+ n+}

Докозательство: a_n=a+_n b_n=b+_n Сложим a_n+b_n=a+b+_n+_n=a+b+_n lim a_n+b_n=a+b

^n+

2) Теорема о произведение пределов:

Пусть lim a_n=a lim b_n=b  lim a_nb_n=ab

^{n+ n+ n+}

Доказательство: a_n=a+_n b_n=b+_n  a_nb_n=(a+_n)(b+_n) a_nb_n=ab+a_n+b_n+_n_n=ab+_n lim a_nb_n=ab что и

^n+

требовалось доказать.

2. 
   Теорема о пределе частного
   

Пусть lim a_n=a lim b_n=b b0 lim a_n/b_n=a/b

^{n+ n+ n+}

Доказательство: a_n=a+_n b_n=b+_n так как b0, то N₁: n>N₁b_n0

<sub>bn

0</sub>^{ (////////}_b^{/////////)} x

a_n/b_n=a_n/b_n-a/b+a/b=a/b+(ba_n-ab_n)/bb_n=a/b+[b(a+_n)-a(b+_n)]/b(b+_n)=a/b+_n/b(1+b_n/b)

lim a_n/b_n=a/b

^n+
Лекция №4

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: понедельник, 19 сентября 2000 г.

Тема: Бесконечно большие последовательности .
а_n=(-1)ⁿ – не имеет предел.

{b_n}={1,1…}

{a_n}={-1;1;-1;1…} – предел не существует.
Бесконечно большие последовательности.

a_n=2ⁿ



N:n>N  a_n>ε

b_n=(-1)ⁿ2ⁿ



N:n>N  b_n>ε

c_n=-2ⁿ



N:n>N c_n<-ε

Определение (бесконечно большие последовательности)

1) lim a_n=+, если ε>0N:n>N  a_n>ε где ε- сколь угодно малое.

^n

2)lim a_n=-, если ε>0 N:n>N  a_n<-ε

^n+

3) lim a_n=  ε>0 N:n>N  a_n>ε

^n+

Последовательностью имеющий конечный предел называют сходящимися. В противном случае последовательность называют расходящимися. Среди них есть последовательности, которые расходятся в бесконечность. О них мы говорим, что они имеют бесконечный предел.

Доказательство:

a_n=2ⁿ

Берём ε>0; хотим 2ⁿ>ε

n>log₂ε

N=[log₂ε]+1

Правило формирования обратного утверждения: нужно поменять местами значки  и , а знак неравенства на дополнительный.

Пример:

Утверждение lim a_n=a< aR ε>0 NN:n>N  a_n-a<ε

^n

Обратное утверждение aR ε>0 NN: n>N  a_n-a<ε
Всякая бесконечно большая не ограниченная. Обратное утверждение неверно.

b_n{2;0;2ⁿ;0;2³;0….}



Теорема (об ограниченной сходящейся последовательности)

Пусть lim a_n=a<  a_n - ограниченная

^n+

Доказательство:

Дано:

ε>0N:n>N  a_n-a<ε

Раз ε>0 возьмем ε=1  N:n>N  a_n-a<1

a-1n<1+a, n>N

Этому неравенству может быть не удовлетворять только первые N члены последовательности.

N₁=max{a₁;a₂;…a_n;1+a;a-1}

a_nc, n>N
Теорема (о единстве предела сходящейся последовательности).

Если lim a_n=a <, то а- единственное.

^n+

Доказательство:(от противного)

Предположим, что  b: lim a_n=b и ba ε=b-a/2>0 для определенности пусть b>a N₁:n>N₁ a_n-a<ε

^n+

N₂:n>N₂  a_n-b<ε N=max{N₁;N₂}, тогда оба неравенства выполняются одновременно 

 -(b-a)/2n-a<(b-a)/2

-(b-a)/2n-b<(b-a)/2

a_n-a<(b-a)/2

-

a_n-b>-(b-a)/2

b-a
0<0 – противоречие  предположение, что b>a неверно. Аналогично доказывается, что b
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами.

Теорема:

1)a_n- бесконечно большая  1/a_n – бесконечно малая

2)_т – бесконечно малая, _n0 (n>N₀) 1/_n – бесконечно большая

Доказательство:

1)a_n- бесконечно большая  lim a_n=  для достаточно больших номеров n a_n0. Зададим любое сколько

^n+

угодно малое ε>0, положим ε=1/ε>0

Для ε N₁:n>N₁ a_n>ε, то есть a_n>1/ε N=max{N₁;N₀}

Тогда n>N  1/a_n<ε, то есть lim 1/a_n=0, то есть 1/a_n – бесконечно малое

^n+

2)_n – бесконечно малое lim _n=0

^n+

Дано: _n0, n>N₀ зададим ε>0 положим ε=1/ε>0

N₁:n>N₁ _n<ε=1/ε

N=max{N₀;N₁}: n>N  1/_n=, то есть 1/_n – бесконечно большая.

Основные теоремы о существование предела последовательности.

Теорема Вейрштрасса:

Пусть a_n- ограниченная и моннатонна. Тогда  lim a_n=а<

^n+

Лемма. Среднее арифметическое чисел больше среднего геометрического. Равенство достигается только если все числа равны.