Скачать 64.5 Kb.
|
Лобачевский по существу берет за отправной пункт все то, что Евклид доказал без помощи 5-го постулата. Все эти предположения являются общими как для геометрии Евклида, так и для геометрии Лобачевского. Таким образом, все предложения абсолютной геометрии сохраняют свою силу и в геометрии Лобачевского. Абсолютная геометрия есть общая часть и общий фундамент евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского. В первом случае мы получим геометрию Евклида, во втором случае – Геометрию Лобачевского. Отсюда ясно, что все сходное в геометриях Евклида и Лобачевского имеет свои основания в абсолютной Геометрии, а все то, что различно в них, коренится в различии аксиом параллельности. Укажем ряд важнейших планиметрических теорем, относящихся к абсолютной геометрии.
Исходным пунктом геометрии Лобачевского является принятие всех предложений геометрии Евклида, не зависящих от 5-го постулата (т.е. абсолютной геометрии, включая аксиомы Паша, Архимеда, Дедекинда), и присоединение к ним взамен отброшенного 5-го постулата следующая аксиома, противоположный аксиоме Плейфера, а значит, и 5-му постулату. Через точку, лежащую вне прямой плоскости, определяемой ими, можно провести не менее 2-х прямых, не пересекающих данной прямой. Эта аксиома утверждает существование, по крайней мере 2-х таких прямых. Отсюда следует, что таких прямых существует бесконечное множество. Очевидно, что все прямые, проходящие через точку М внутри вертикальных углов и , образованных прямыми b и c также не пересекают а, а таких прямых бесконечное множество. Плоскость (или пространство), в которой предполагается выполнение аксиомы Лобачевского, называется плоскостью (или пространством) Лобачевского. Перейдём непосредственно к параллельным Лобачевского. Две граничные прямые СС’ и DD’ называются параллельными прямой ВВ’ в точке А, причём прямая С’С называется параллельной В’В в направлении В’В, а прямая D’D называется параллельной прямой ВВ’ в направление ВВ’. Острый угол , образуемый параллельными с перпендикуляром АР, называется углом параллельности в точке А относительно прямой BB’. Этот угол, есть функция длины р перпендикуляра АР и обозначается так: =П (р). АР называются отрезком параллельности в точке А относительно прямой BB’. Все прямые пучка не пересекающие BB’ и лежащие внутри заштрихованных вертикальных углов, называются расходящимися с BB’ или сверх параллельными к BB’; угол, образуемый такой прямой с перпендикуляром АР с обеих от него сторон, больше угла параллельности . Наконец , все остальные прямые пучка, образующие с АР с какой-либо стороны острый угол, меньше угла параллельности , называются пересекающими прямую BB’ или сходящимися с BB’ . Необходимо обратить внимание , что геометрия Лобачевского при указание, то прямая СС’ параллельно прямой BB’, является совершенно обязательным также указывать, во-первых, в каком направление CC’ параллельно BB’, во-вторых, в какой точке , ибо у нас пока нет уверенности в том , что если мы на прямой CC’ возьмём какую-нибудь точку М , отличную от А , то и по отношению к пучку прямых с центра в точке М прямая СС’ будет граничной прямой. Определение. Прямая С’C называется параллельной прямой в направление B’B в точке А, если , во-первых, прямая С’C не пересекает прямой BB’, во-вторых , C’C является граничной в пучке прямых с центром в точке А, т. е. всякий луч АЕ, проходящий внутри угла CAD, где D-любая точка прямой BB’, пересекает луч DB. Условимся в целях краткости и удобства обозначать параллельность прямой АА’ к BB’в направление B’B символом AA’ B’B, где порядок букв указывает направление параллельности. На чертеже направление параллельности указывается стрелками. Теорема1. Если прямая ВВ’АА' в точке М, то ВВ'АА' в любой своей точке N. Теорема 2. Если ВВ'АА', то и обратно: АА'ВВ'. Теорема 3. Если АА'СС' и ВВ'СС', то АА'ВВ'. Теорема 4. Если прямая CC’ лежит между двумя прямыми АА’ и BB’, параллельными в некотором направление, не пересекая их, то CC’параллельна обеим этим прямым в том же направлении. Теорема 5.Если две прямые при пересечении с третьей образуют равные соответственные углы, или внутренние односторонние углы, в сумме составляющие 2d, то эти прямые расходятся. Задача 902.(Сборник задач - Атанасян, ч.2) Пусть (U1V1) (U2V2). Доказать, что если прямая (UV) лежит между (U1V1) и (U2V2) и не пересекает одну из них, то она параллельна данным. Действительно, отрезок U1U2, соединяющий любые точки U1 и U2 параллельных прямых U2V2 и U1V1 , пересечет UV в некоторой точке U, ибо UV по условию лежит между U2V2 и U1V1 (теорема 1.18). В силу параллельности U2V2 и U1V1 любой луч U2E , проходящий внутри угла V2U2U1, пересечёт U1V1, а значит, и UV. Следовательно, U2V2 UV. Пользуясь теоремами 2 и 3 , легко убедиться, что U1V1 UV. Интересно отметить, что в геометрии Лобачевского прямая может пересечь две параллельные, не пересекая третьей. Действительно, например, любая прямая EF, расходящаяся с АА’, пересекает СС’и BB’, не пересекая АА’. |
За неделю до тематического математического вечера целесообразно объявить... Данный материал можно использовать для создания необходимой атмосферы. Победители конкурсов в течение вечера будут награждены. Герои... | «Как же мне все это надоело!». Мамам об их усталости, злости и раздражении Подумаешь, злость. Все мы иногда злимся – на случайных прохожих, начальника и коллег, родственников и друзей. Почему эти приступы... | ||
«Здоровье это всё, но всё без здоровья ничто» «Здоровье – это всё, но всё без здоровья – ничто». Эта сократовская мысль приобретает в наши дни большую актуальность. Охрана здоровья,... | Уильям Тейлор. Радикально лучше: Как преобразовать компанию, совершить... ... | ||
Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... На самом деле, нет. Все, что я рассказываю, происходило на cамом деле, как бы невероятно ни казалось и я, в действительности, очень... | Научно-популярное издание. Валерий Дмитриевич Молостов. «Иглотерапия... Описаны все варианты энергетической диагностики меридианов и все способы энергетического лечения болезней при помощи иглотерапии.... | ||
Комментарии Все эти вещи: темнота, бессознательность, неподвижность, безжизненность, бесплотная Бесконечность и безмерный ноль — все эти слова... | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Но мне безразличны все эти обожатели и поклонники… Ведь все, о чем я только могу мечтать. Это только о нем… о его глазах, в которых... | ||
Реферат по математике Думаю, многие хотя бы раз в жизни слышали подобные высказывания: «Все числа равны» или «два равно трём». Таких примеров может быть... | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Введение: Мы надеемся, что эти уроки являются для тебя настоящими шагами к вечной жизни. Но мы все еще не у цели. Божий план состоит... | ||
Задания Саша купил 4, а Коле не повезло: когда он зашел в магазин, карандаши уже закончились. Друзья решили не оставлять Колю без карандашей... | Уроках математики Все, что я познаю, я знаю, для чего это мне надо и где и как я могу эти знания применить, — вот основной тезис современного понимания... | ||
Постулаты Евклида Евклид – автор первого дошедшего до нас строгого логического построения геометрии. В нем изложение настолько безупречно для своего... | Реферат 2000 знаков для перевода на англ язык Если можно, в ссылках только указывать Фамилию автора, название работы, год и стр. Без подробного описания, т к ссылки все равно... | ||
Новый год и Рождество это время чудес и волшебства. Все мы, взрослые... Ну, и конечно по английской традиции у нас было чаепитие со сладостями. Праздник никого не оставил равнодушным, все ребята активно... | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Самурая, не вызывает сомнений, что все мы небрежительны. Поэтому, если в наши дни спросить: "В чем подлинный смысл Пути Самурая?",... |