Реферат «Зачем были придуманы логарифмы?»
Скачать 128.97 Kb.
|
МОУ «Беловская средняя общеобразовательная школа» Реферат «Зачем были придуманы логарифмы?» Подготовил учитель математики Радченко К.Н. Сл. Белая 2011 г. Для чего были придуманы логарифмы? Испокон веков люди пытались упростить вычисления: составляли таблицы (например, таблицы квадратов, кубов, квадратных и кубических корней и т.д.), вводили приближённые формулы, облегчающие расчёты, пытались заменить сложные операции умножения и деления более простыми – сложением и вычитанием. Логарифмы также были созданы как средство для упрощения вычислений. В их основе лежит очень простая идея, знакомство с которой приписывается ещё Архимеду. Рассмотрим две прогрессии, арифметическую и геометрическую: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 Оказывается, эти строки позволяют упрощать вычисления. Действительно: если мы хотим перемножить два числа нижнего ряда, например, 16 и 32, нам достаточно сложить соответствующие числа верхнего ряда: над числом 16 стоит 4, над числом 32 стоит 5; сложим 4 и 5 (будет 9) и спустимся вниз - под 9 стоит 512. Значит, 16 • 32 = 512. Попробуем теперь разделить число нижнего ряда на число нижнего ряда, например, поделить 256 на 64. Выписанные строки позволяют заменять деление вычитанием. Итак, над 256 стоит 8, над 64 стоит 6. Вычтем: 8 — 6, получим 2. Теперь спускаемся вниз за ответом: под числом 2 в нижнем ряду стоит 4. Значит, 256 : 64 = 4. Но это еще не все. С помощью указанных двух строк действие возведение в степень заменяется умножением, а извлечение корня — делением. Приведем примеры. Пусть число нижнего ряда 32 мы задумали возвести в квадрат, т.е. в степень с показателем 2. Над 32 в верхнем ряду стоит 5. Умножим теперь 5 на 2. Получается 10. От числа 10 в верхнем ряду спускаемся вниз за ответом: 1024, т.е. 322 = 1024. А теперь извлечем корень четвертой степени из 256. Над числом 256 стоит 8. Разделим 8 на 4, получим 2. Спускаемся за ответом: под числом 2 стоит 4. Значит, корень четвёртой степени из 256 равен 4. Таким образом, каждый раз, когда мы хотим выполнить действия с числами нижнего ряда, мы выполняем более простые операции с числами верхнего ряда. А что представляют собой числа верхнего ряда? Да ведь это же показатели выписанных в нижнем ряду степеней с основанием 2. Действительно, снизу у нас стоят степени 2', 22, 23, 24 и т.д., а вверху только показатели этих степеней 1, 2, 3, 4... Так вот показатели степеней и называются логарифмами. Конечно, чтобы реально пользоваться такой таблицей, числа верхнего ряда целесообразно продолжить в отрицательную сторону, т.е. ввести понятие о степени с нулевым и отрицательным показателем; уплотнить числа нижнего ряда и верхнего ряда, чтобы можно было применить идею об упрощении вычислений вообще к любым числам. Идея Архимеда получила развитие не сразу. Пока математикам было достаточно уже имевшихся средств вычислений, они проходили мимо этого удивительного свойства прогрессий. Но в эпоху Возрождения ситуация изменилась. Крупнейшие европейские державы стремились к владычеству на море. Для дальних плаваний, для определения положения морских судов по звездам и по Солнцу необходимо было всё более развивать астрономию, а значит, и тригонометрию. И, в частности, понадобились более совершенные тригонометрические таблицы. В связи с нарастающими запросами практики продолжали совершенствоваться астрономические инструменты, увеличивалась точность наблюдений, исследовались планетные движения. Обработка полученных данных требовала колоссальных расчетов, и, следовательно, стали необходимы новые средства упрощения вычислений. Такими средствами в XV—XVI вв. явились в первую очередь логарифмы и десятичные дроби. Десятичные дроби ввёл в употребление нидерландский учёный и инженер Симон Стевин (1548 – 1620гг.), один из «универсальных гениев» эпохи Возрождения. В своей небольшой книжечке «Десятая», посвящённой десятичной системе мер и десятичным дробям, Стевин подробно изложил правила действия с десятичными дробями, всячески способствовал популяризации десятичных дробей. Изобретатель логарифмов – шотландский математик Нейпир Джон Непер (1550 – 1617гг.). В его труде «Описание удивительной таблицы логарифмов», изданном в 1614 году, содержалось определение логарифмов, объяснение их свойств, таблицы логарифмов синусов, косинусов, тангенсов и приложения логарифмов к сферической геометрии. Он же впервые ввёл запятую для записи десятичных чисел, а в последней своей работе рекомендовал использовать десятичную точку. Символическую запись log, ln, e ввёл великий русский математик 18 века Леонард Эйлер. О пользе логарифмов для вычислений говорят высказывания современников. Известный математик Лаплас говорил: «изобретения логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов». Во сколько же раз тогда упрощают вычисления современные калькуляторы, компьютеры, ЭВМ?.. Но логарифмы и сегодня позволяют, например, решить уравнение 2х = 5, упрощают некоторые вычисления. Пусть дана функция у = хх, от которой нужно найти производную. Тогда ln y = x ln x, 1/y y’ = ln x + x 1/x = ln x + 1. Значит, y’ = xx (ln x + 1). Представим себе, что нужно найти максимум функции F(x) = f1(x)f2(x)…fn(x), положительной для любого х. Для этого необходимо найти производную функции. Правило производной произведения двух функций не очень простое, а здесь его надо обобщить на n функций. В этом случае можно рассмотреть функцию ln F(x) = ln f1(x) + ln f2(x) +…+ ln fn(x), производную от которой найти уже не сложно, так как правило вычисления производной суммы достаточно простое. Примеров применения логарифмов множество, рассмотрим некоторые из них. Логарифмическая спираль Испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны. Математики, выделяя самые существенные черты того или иного наблюдаемого в природе явления, вводя числовые характеристики, составляют математическую модель явления. Изучение этой модели позволяют людям больше узнать о природном явлении, глубже уяснить его природу и свойства. Ряд явлений природы помогает описать именно логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции. Одним из наиболее наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль. Уравнение логарифмической спирали в полярной системе координат имеет вид ρ = aφ, где а > 0. Переписав уравнение в виде φ = logа ρ, мы видим, что величина полярного угла пропорциональна логарифму радиус-вектора. Отсюда и происходит название логарифмическая спираль. Спираль (рис.1) в одну сторону развёртывается до бесконечности, а вокруг полюса, напротив, закручивается, стремясь к нему, но не достигая. Так почему мы в качестве примера логарифмической зависимости в природе выбрали именно логарифмическую спираль? Известно, что живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех направлениях — взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем рост совершается так, что сохраняется подобие раковины с ее первоначальной формой (рис. 2). А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали (рис. 3).   По логарифмической спирали очерчены не только раковины. Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям. В подсолнухе (рис. 4) семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система (рис. 5).  Наша галактика — Млечный Путь — достаточно велика. Ее диаметр составляет примерно 100 тыс. световых лет. Примерное местоположение Солнечной системы показано на рис. 5 жирной точкой. Наша Солнечная система расположена во внешних областях галактики. Поэтому Млечный путь мы видим как светящуюся полосу, тянущуюся через все небо. Логарифмическая спираль остаётся неизменной при преобразовании подобия и других различных преобразованиях. Это свойство так поразило впервые изучавшего её Якоба Бернулли (XVII и.), что он пожелал иметь на своей могильной плите изображение логарифмической спирали (назвал он её дивной спиралью) с надписью: «изменённая, воскресаю прежней». Неизменяемость спирали при преобразовании подобия является основой любопытного явления, состоящего в том, что если лист бумаги с изображенной на нем логарифмической спиралью быстро поворачивать вокруг полюса по ходу часовой стрелки или против, то можно наблюдать кажущееся увеличение или уменьшение спирали. Рассмотрим еще одно важное свойство, связанное с касательной. Угол, составляемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали с радиус-вектором точки касания для каждой спирали является постоянным. Иными словами, логарифмическая спираль пересекает свои радиус-векторы под постоянным углом. На основании этого логарифмическую спираль называют также равноугольной. Из всех кривых подобным свойством обладает, кроме логарифмической спирали, окружность, которая пересекает свои радиусы под прямым углом. Последнее свойство логарифмической спирали находит, в частности, применение в технике. Дело в том, что в технике часто применяются вращающиеся ножи (рис. 10). Сила, с которой они давят на разрезаемый материал, зависит от утла резания, т.е. угла между лезвием ножа и направлением скорости вращения. Для постоянного давления нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное значение, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по дуге логарифмической спирали. Величина угла резания зависит от обрабатываемого материала.  Логарифмическая спираль — это замечательная кривая, имеющая очень много интересных свойств, но примеры логарифмической функции в природе на этом не ограничиваются. Поэтому рассмотрим еще несколько интересных фактов. Логарифмы в музыке, на заводе, в космосе Играя по клавишам современного рояля, мы играем, собственно говоря, на логарифмах. Так называемые «ступени» темперированной хроматической гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по отношению к числам колебаний, ни по отношениям к длинам волн соответствующих звуков, а представляют собой логарифмы этих величин. Нота «до» второй октавы имеет частоту в 2 раза больше «до» первой октавы. Частота ноты «до» третьей октавы в 2 раза больше частоты «до» второй октавы, значит, в 4 раза больше чем частота «до» первой октавы. Так как в октаве 12 белых и чёрных клавиш, то каждый последующий тон имеет в  раз большее число колебаний, чем предыдущий. Частота ноты «до диез» равна частоте ноты «до», умноженной на  . Частота «ре» равна частоте «до», умноженной на  , и так далее. Каждой следующей ноте соответствует следующий показатель степени, который, как известно, называется логарифмом, то есть, номера клавишей представляют собой логарифмы чисел числа колебаний соответствующих звуков.Громкость шума и яркость звёзд также оцениваются по логарифмической шкале. Астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой величины, второй величины, третьей и т. д. Последовательные звездные величины воспринимаются глазом как члены арифметической прогрессии. Но физическая яркость их изменяется по иному закону: объективные яркости составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что "величина" звезды представляет собой не что иное, как логарифм ее физической яркости. Звезда, например, третьей величины ярче звезды первой величины в 2,53-1, т. е. в 6,25 раза. Короче говоря, оценивая видимую яркость звезд, астроном оперирует с таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5. Сходным образом оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости служит "бел", практически – его десятая доля, "децибел". Последовательные степени громкости – 1 бел, 2 бела и т. д. (практически – 10 децибел, 20 децибел и т. д.) – составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию. Физическая же "сила" этих шумов (точнее – энергия) составляет прогрессию геометрическую со знаменателем 10. Разности громкостей в 1 бел отвечает отношение силы шумов 10. Значит, громкость шума, выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы. Рассмотрим несколько примеров. Тихий шелест листьев оценивается в 1 бел, громкая разговорная речь – в 6,5 бела, рычанье льва – в 8,7 бела. Отсюда следует, что по силе звука разговорная речь превышает шелест листьев в 106,5-1 = 105,5 = 316000 раз, львиное рычанье сильнее громкой разговорной речи в 108,7-6,5 = 102,2 = 158 раз. Шум, громкость которого больше 8 бел, признается вредным для человеческого организма. Указанная норма на многих заводах превосходится: здесь бывают шумы в 10 и более бел; удары молотка в стальную плиту порождают шум в 11 бел. Шумы эти в 100 и 1000 раз сильнее допустимой нормы и в 10–100 раз громче самого шумного места Ниагарского водопада (9 бел). Случайность ли то, что и при оценке видимой яркости светил и при измерении громкости шума мы имеем дело с логарифмической зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения? Нет, то и другое – следствие общего закона (называемого "психофизическим законом Фехнера"), гласящего: величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения. Как видим, логарифмы вторгаются и в область психологии. Как стать миллионером В сберкассах процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует бóльшая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в сберкассу положено 100 руб. при 100% годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 руб. превратятся в 200 руб. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 рублей, если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 руб. вырастут в 100 руб. · 1,5 = 150 руб. а еще через полгода – в 150 руб. · 1,5 = 225 руб. Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 руб. превратятся в 100 руб. · (1+1/3)1/3 = 237 руб. 03 коп. Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т. д. Тогда из 100 руб. спустя год получится: 100 руб. · 1,110 = 259 руб. 37 коп. 100 руб. · 1,01100 = 270 руб. 48 коп. 100 руб. · 1,0011000 = 271 руб. 69 коп. Методами высшей математики доказывается, что при безграничном сокращении сроков присоединения наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271 руб. 83 коп. Больше чем в 2,7183 раза капитал, положенный из 100%, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду. Полученное число 2,718..., играющее в высшей математике огромную роль, – не меньшую, пожалуй, чем знаменитое число , – имеет особое обозначение: е. Это – число иррациональное: оно не может быть точно выражено конечным числом цифр. Кроме того, оно, как и число , трансцендентно, т. е. не может получиться в результате решения какого бы то ни было алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Оно вычисляется только приближенно, с любой степенью точности, с помощью следующего ряда:  Из приведенного выше примера с ростом капитала по сложным процентам легко видеть, что число е есть предел выражения  при беспредельном возрастании n. Число е принято за основание системы логарифмов. Такие таблицы ("натуральных логарифмов") существуют и находят себе широкое применение в науке и технике. Число е появляется нередко там, где его вовсе не ожидали. Поставим себе, например, такую задачу: На какие части надо разбить данное число а, чтобы произведение всех частей было наибольшее? Мы уже знаем, что наибольшее произведение при постоянной сумме дают числа тогда, когда они равны между собой. Ясно, что число а надо разбить на равные части. Но на сколько именно равных частей? На две, на три, на десять? Приемами высшей математики можно установить, что наибольшее произведение получается, когда части возможно ближе к числу е. Например, 10 надо разбить на такое число равных частей, чтобы части были возможно ближе к 2,718... Для этого надо найти частное  Так как разделить на 3,678... равных частей нельзя, то приходится выбрать делителем ближайшее целое число 4. Мы получим, следовательно, наибольшее произведение частей 10, если эти части равны  , т. е. 2,5. Значит, (2,5)4 = 39,0625 есть самое большое число, какое может получиться от перемножения одинаковых частей числа 10. Действительно, разделив 10 на 3 или на 5 равных частей, мы получим меньшие произведения:   Число 20 надо для получения наибольшего произведения его частей разбить на 7 одинаковых частей, потому что 20 : 2,718... = 7,36 ≈ 7. Число 50 надо разбить на 18 частей, а 100 – на 37, потому что 50 : 2,718... = 18,4, 100 : 2,718... = 36,8. Число е играет огромную роль в математике, физике, астрономии, статистике и других науках. Вот некоторые вопросы, при математическом рассмотрении которых приходится пользоваться этим числом (список можно было бы увеличивать неограниченно): Барометрическая формула (уменьшение давления с высотой), Закон охлаждения тел, Радиоактивный распад и возраст Земли, Колебания маятника в воздухе, Формула Циолковского для скорости ракеты, Колебательные явления в радиоконтуре, Рост клеток…. Кстати, любое целое положительное число можно записать с помощью трёх двоек и математических символов. Например, 3 = - log2 log2  = - log2 log2 21/8 = - log2 (1/8) = - (- 3) = 35 = - log2 log2  = - log2 log2 21/32 = - log2 (1/32) = - (-5) = 5,причём число радикалов равно числу единиц в заданном числе. |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Реферат на тему «История развития математики на Земле» Но кто и когда придумал цифры, стал выполнять над ними арифметические действия, кто дал им имена, кем и когда были придуманы дроби,... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Действительно, а зачем она вообще нужна, эта музыка? Денег в будущем больших не сулит, трудится надо долго и упорно – зачем? Зачем... |
| Урок-семинар по теме «логарифмическая функция. Логарифмы и их свойства.... Озможна рекомендация учителя и готовит выступление, используя учебник, дополнительную литературу, консультацию учителя. Учитель следит... |  | Секреты мотивации: зачем учиться? Педагоги отмечают, что у современных детей большие проблемы с мотивацией. Раньше основным стимулом к учебе были хорошие оценки, признание... |
| Что такое «реферат», и зачем он нужен? Как правило, подобные работы я даже не рассматриваю! А еще есть программа «Антиплагиат»! В общем, любителям «халявы» – просьба не... | | Федоров Н. В. Компьютерный набор библиографии Все эти люди жили в эпоху Средневековья. Мы с вами уже многое изучили: эпоху, средневековую архитектуру, замки, костюмы и многое... |
| Классный час на тему: «Символика Российского государства» Все эти люди жили в эпоху Средневековья. Мы с вами уже многое изучили: эпоху, средневековую архитектуру, замки, костюмы и многое... | | Муниципальное бюджетное дошкольное образовательное учреждение «Детский сад №90» Все эти люди жили в эпоху Средневековья. Мы с вами уже многое изучили: эпоху, средневековую архитектуру, замки, костюмы и многое... |
| Реферат на тему: «результаты и проекты дальнейших исследований луны, марса, венеры» КА. Кроме того, в Федеральную космическую программу России были включены и те проекты, по которым уже были выполнены существенные... | | Реферат на тему: «Зачем нужно читать книги?» Ведь не для этого развивались наши предки, чтобы мы потом опять превратились в обезьян. Этого ни в коем случае нельзя допускать.... |
| Реферат по теме: Массовая и Элитарная культура Элитарная культура'',(по-моему представлению) как новые ветки в культуре нашего времени, которые в большей или меньшой степени проявились... | | Урока: Образовательная Образовательная: закрепление умения выполнения преобразования выражений, содержащих логарифмы |
| Урок по алгебре в 10 «А» классе по теме: «Логарифмы. Логарифмическая функция» Методический материал: презентация, учебная литература, проверочный тест, бланки для ответов | | Психолого-педагогический факультет реферат по теме: зачем я поступила в магистратуру Понятие «Магистратура» появилось в России в 2003 году, когда наша страна официально включилась в Болонский процесс. Главным инициатором... |
| Конспект урока литературы в 10 классе Тема урока: «Зачем я жил? Для... Цели урока: вспомнить основные эпизоды повести «Княжна Мери» и выявить, каковы были цели, намерения Печорина; помочь детям разобраться... | | Урок по теме «Геральдика. Герб класса» Учитель изобразительного искусства... Все эти люди жили в эпоху Средневековья. Мы с вами уже многое изучили: эпоху, средневековую архитектуру, замки, костюмы и многое... |
