Урок по теме: «Правильные многогранники».
Тип урока: изучение нового материала.
Продолжительность урока: 2 урока по 45 минут.
Цель урока: дать понятия правильного многогранника, полуправильных и звездчатых многогранников, рассмотреть свойства многогранников, познакомить с историей возникновения и развития теории многогранников.
Задачи урока:
Формирование пространственных представлений, математической культуры, культуры общения.
Развитие практических навыков учащихся по изготовлению правильных, полуправильных, звездчатых многогранников.
Развитие умения наблюдать, умения рассуждать по аналогии, интереса к предмету через использование информационных технологий и осуществление межпредметных связей.
Воспитание общетрудовых умений, графической культуры, умения работать в группе.
Оборудование: компьютер, проектор, презентация (приложение 1), карточки (приложение 2), модели правильных многогранников, компьютеры, принтер, компьютерный тест (приложение3).
Подготовительная работа: учащиеся готовят рефераты и сообщения на 5-6 минут по предложенным темам под руководством учителей математики, физики, химии, биологии.
Ход урока.
1.Орг.момент.
2. Целеполагание (2 минуты).
Учитель: Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести тему "Правильные многогранники". Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. Сегодня на уроке мы узнаем и увидим много интересного, нам предстоит ответить на такие вопросы, как, например: Какие многогранники называются правильными? Сколько их существует? Что такое Эйлерова характеристика? Какие тела носят название тел Кеплера- Пуансо? И многие - многие другие… И, наконец: где, зачем и для чего нам нужны многогранники? Может быть, в жизни можно обойтись и без них? Данный материал пригодится нам при изучении темы “Объемы многогранников» и при решении задач на комбинацию геометрических тел.
3. Изучение нового материала.
Объяснение нового материала учителем. (5 минут).
Учитель: Мне хотелось бы начать со слов Бертрана Рассела: “Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства”. Название “правильные” идет от античных времен, когда стремились найти гармонию, правильность, совершенство в природе и человеке. Правильные многоугольники – это многоугольники, у которых все стороны и все углы равны, правильные многогранники – это многогранники, ограниченные правильными и одинаковыми многоугольниками.
ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК- выпуклый многогранник, грани которого являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер.
ТЕТРАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из четырех правильных треугольников.
ГЕКСАЭДР (КУБ) – правильный многогранник, поверхность которого состоит из шести правильных четырехугольников (квадратов
ОКТАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из восьми правильных треугольников.
ДОДЕКАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двенадцати правильных пятиугольников.
ИКОСАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двадцати правильных треугольников. Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:
«эдра» - грань
«тетра» - 4
«гекса» - 6
«окта» - 8
«икоса» - 20
«додека» - 12
Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, 13-я книга знаменитых “Начал” Евклида. Как говорилось раньше, эти многогранники часто называют также платоновыми телами – в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном, четыре из них олицетворяли 4 стихии: тетраэдр – огонь, куб – землю, икосаэдр – воду, октаэдр – воздух, пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание – его по-латыни стали называть quinta essentia (квинта эссенция), означающее все самое главное, основное, истинную сущность чего-либо.
Сообщение ученика по теме: «Правильные многогранники в философской картине мира Платона» (6 минут).
Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.).
Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.
Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.
Учитель: А теперь от Древней Греции перейдём к Европе XVI – XVII вв., когда жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571 – 1630).
Доклад ученика по теме: «Кубок Кеплера» (6 минут).
Представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы – столбики цифр. Это результаты наблюдений движения планет Солнечной системы – как его собственных, так и великих предшественников – астрономов. В этом мире вычислительной работы он хочет найти некоторые закономерности. Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера.
В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта. Год за годом учёный уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних расстояний от Солнца.
Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура Солнечной системы не является случайной, но истинные причины, по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны. Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы, бредовых, не может существовать наука.
Доклад учащегося по теме: «Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли» (6 минут).
Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли (рис.7). Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра
Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.
Учитель: А сейчас от научных гипотез перейдём к научным фактам.
4. Практическая работа (15 минут).
Работа в группах. Деление на группы производится заранее, учитывая уровень подготовки детей, так же их желание. Задания дифференцированные. Более подготовленные учащиеся входят в 1 и 3 группу, 4-5 группа- ученики, которые хорошо работают в графическом редакторе. Можно разделить между 4 и 5 группой многогранники (2 одной группе и 3 другой). Развертки, которые получатся, необходимо распечатать учащимся для выполнения дом. задания.
1 группа- доказать, что правильных многогранников 5.
2 группа- заполнить таблицы и сделать вывод.(модели).
3 группа- вывести формулы полной поверхности правильных многогранников.
4-5 группы- нарисовать развертки (на компьютере).
5. Отчет групп о работе (15 минут).
Один представитель группы отчитывается о результатах у доски (3-4 минуты д каждой группе).
Учащиеся делают соответствующие записи в тетради.
- формулы площадей;
- теорему Эйлера.
6. Дополнительные сведения.
Учитель: Кроме пяти правильных многогранников существуют полуправильные многогранники, тела Архимеда.
Доклад ученика по теме: «Архимедовы тела» (5 минут).
Архимедовы тела обладают свойством: любые две вершины можно совместить так, что все грани многогранника попарно совпадут друг с другом.
Кроме полуправильных многогранников, из правильных многогранников – Платоновых тел можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером (1571 – 1630 гг.), а два других были построены почти двести лет спустя французским математиком и механиком Луи Пуансо (1777 – 1859 гг.). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название тел Кеплера – Пуансо. В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810 г.) Луи Пуансо перечислил и описал все правильные звездчатые многогранники, поставил, но не решил вопрос о существовании правильных многогранников, число граней которых отлично от 4, 6, 8, 12, 20.Отчет на этот вопрос был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком Огюстом Луи Коши (1789 – 1857 гг.) в работе «Исследование о многогранниках». В ней доказывается, что не существует других правильных многогранников, кроме перечисленных Пуансо. Автор приходит к выводу, что правильные звездчатые многогранники получаются из выпуклых правильных многогранников путем продолжения их ребер или граней, исследуется вопрос, из каких именно правильных многогранников могут быть получены правильные звездчатые многогранники. Делается вывод о том, что тетраэдр, куб и октаэдр не имеют звездчатых форм, додекаэдр имеет три, а икосаэдр – одну звездчатую форму (это малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр).
Учитель: Луи Кэрролл писал: "Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".
В глубины каких наук пробрались правильные многогранники? Где в жизни мы можем их повстречать?
7. Доклады учащихся (сопровождаются компьютерными презентациями) (15 минут).
Правильные многогранники и химия. (5 минут)
Правильные многогранники в биологии.(5 минут)
Искусство и правильные многогранники. (3 минуты)
Ювелирные украшения.(2 минуты)
9. Рефлексия (7-8 минут).
При наличии времени учитель проводит компьютерное тестирование рефлексия усвоения учебного материала), если времени мало, то только рефлексию учебной деятельности, а на следующем уроке - тест.
- рефлексия усвоения учащимися учебного материала.
Тест первичного закрепления. (учащиеся занимают места за компьютерами по 2)
- рефлексия деятельности учащихся на уроке.
-Что понравилось на уроке?
-Какой материал был наиболее интересен?
- Оцените свою работу на уроке: плохо работал, хорошо, отлично. Поднимите руки, кто работал плохо? Почему? И т.д.
- Связь геометрии, с какими науками вы увидели сегодня на уроке?
-В каких еще областях деятельности можно встретиться с правильными многогранниками?
- Как вы думаете, пригодятся ли вам знания данной темы в вашей будущей профессии?
8. Подведение итогов. Выставление оценок (2 минуты).
10. Домашнее задание.
Изготовить модели 5 правильных многогранников. По желанию - полуправильных и звездчатых (дополнительная оценка). (Учащимся можно распечатать развертки многогранников, которые нарисовали 4 и5 группы)
Примечание: Уроку предшествует очень большая подготовительная работа. Некоторые учащиеся получают задание подготовить рефераты и сообщения по конкретным темам геометрии, химии, биологии, МХК. При этом учитываются индивидуальные особенности детей, их профессиональные наклонности. Учителя-предметники проверяют рефераты и оценивают работу учащихся. Таким образом, оценки учащиеся могут получить не только по геометрии за работу на уроке, но и по другим предметам за подготовку реферата. Во время практической работы и после представления сообщений, рекомендуется выключать проектор. На втором уроке следует сделать динамическую паузу. Учитель сам должен определить её время проведения. Это могут быть упражнения для глаз (без использования компьютера) и несколько двигательных упражнений. |
