Конспект урока геометрии в 10 классе
(Учитель Сарычева Н.Н.)
Тема урока: "Правильные многогранники".
Цели урока:
изучение свойств правильных многогранников;
развитие пространственного воображения;
формирование представлений о математике, как универсальном
языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;
воспитание культуры личности, отношение к математике как
части общечеловеческой культуры.
Наглядные пособия:
модели правильных многогранников и их развертки ,
изображения правильных многогранников Леонардо да Винчи по слайдам диска «Живая геометрия. 10-11»,
портрет И. Кеплера
План урока
Вступительное слово учителя – 3 мин.
Определение – 5мин.
а)"Конструирование" правильных многогранников - 8мин
б) Разверти правильных многогранников – 4 мин
Физкультминутка – 3 мин (организованно)
Выступления учащихся.
а) Многогранники и искусство – 7 мин.
Физкультминутка для глаз – 2 мин
б) Гармония Иоганна Кеплера – 7 мин
5. Заключение – 4 мин.
6. Домашнее задание – 2 мин.
Ход урока
1. Увлекательный раздел геометрии – теория многогранников. Многогранники выделяются необычными свойствами, красивыми формами, которые находят широкое применение в конструировании сложных и красивых многогранных поверхностей для реальных архитектурных сооружений. Сегодня мы познакомимся с правильными многогранниками. Начнем с определения.
2. Определение. Правильным называется многогранник, гранями которого служат одноименные правильные многоугольники, при этом в каждой вершине сходится одинаковое число граней.
3а. Вместе с учащимися "конструируем" правильные многогранники. Выясняем, почему нельзя построить правильный многогранник, гранями которого служат: а)правильные треугольники, при этом в каждой вершине сходится 6 граней; б) правильные четырехугольники, при этом в каждой вершине сходится более 4 граней; в) правильные пятиугольники, при этом в каждой вершине сходится более 4 граней. ( Учащиеся ссылаются на следующее свойство : сумма плоских углов многогранного угла меньше 360°.)
Мы начнем наше рассмотрение с правильных многогранников, гранями которых являются равносторонние треугольники.
П ервый из них – тетраэдр. В тетраэдре три равносторонних треугольника встречаются в одной вершине; при этом их основания образуют новый равносторонний треугольник. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел .
Следующее тело, которое образуется равносторонними треугольниками, называется октаэдром. В октаэдре в одной вершине встречаются четыре треугольника
Теперь можно попробовать соединить в одной точке пять равносторонних треугольников. В результате получится многогранник с 20 треугольными гранями – икосаэдр.
С ледующая правильная форма многоугольника – квадрат. Если соединить три квадрата в одной точке и затем добавить еще три, мы получим совершенную форму с шестью гранями, называемую гексаэдром или кубом («Земля»).
Н аконец, существует еще одна возможность построения правильного многогранника, основанная на использовании следующего правильного многоугольника – правильного пятиугольника - пентагона. Если собрать 12 правильных пятиугольников таким образом, чтобы в каждой точке встречалось три пентагона, то получим еще один многогранник – додекаэдр.
Делаем вывод: можно сконструировать только пять правильных многогранников. Это тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додэкаэдр.
В таблице представлены параметры, полностью характеризующие эти многогранники, в том числе характеристика Эйлера.
Многогранник
|
Число сторон
грани, m
|
Число граней,
сходящихся
в каждой
вершине, n
|
Число
граней, Г
|
Число
ребер, Р
|
Число
вершин, В
|
Г+В-Р
|
тетраэдр
|
3
|
3
|
4
|
6
|
4
|
2
|
куб
|
4
|
3
|
6
|
13
|
8
|
2
|
октаэдр
|
3
|
4
|
8
|
12
|
6
|
2
|
икосаэдр
|
3
|
5
|
20
|
30
|
12
|
2
|
додэкаэдр
|
5
|
3
|
12
|
30
|
20
|
2
|
3б. Рассмотреть развертки некоторых правильных многогранников.
 
 
4а. Леонардо да Винчи иллюстрировал книгу его современника, математика Луки Пачоли (1445-1514) «Божественная пропорция» («De Devina Proportione»), изданной в 1509 г. Он выполнил 59 иллюстраций различных многогранников, используя впервые метод жестких ребер. Книга оказала большое влияние на развитие геометрии того времени, в частности, стереометрии многогранников. Гравюру с изображением усеченного икосаэдра (рис. 2) Леонардо предваряет надписью по латыни Ycocedron Abscisus (усеченный икосаэдр) Vacuus. Термин Vacuus обозначает тот факт, что грани многогранника изображены «пустыми» — не сплошными. Строго говоря, грани не изображаются вовсе, они существуют только в нашем воображении. Зато ребра многогранника изображены не геометрическими линиями (которые,как известно, не имеют ни ширины, ни толщины), а жесткими трехмерными сегментами. Обе эти особенности данной гравюры и составляют основу способа пространственного изображения многогранников, изобретенного Леонардо для иллюстрации книги Луки Пачоли и называемого сегодня методом жестких (или сплошных) ребер. Такая техника позволяет зрителю, во-первых, безошибочно определить, какие из ребер принадлежат передним, а какие — задним граням многогранника (что практически невозможно при изображении ребер геометрическими линиями), и, во-вторых, взглянуть как бы сквозь геометрическое тело, ощутить его в перспективе, глубине, которые теряются при использовании техники сплошных граней (см. рисунок ).
Изображения Леонардо да Винчи
додэкаэдра методом жестких ребер (а)
и методом сплошных граней (б) в книге
Л. Пачоли «Божественная пропорция».
|
Техника, разработанная Леонардо, являет собой блестящий пример геометрической иллюстрации, нового способа графического изображения научной информации. Эта техника впоследствии многократно использовалась художниками, скульпторами и учеными. В качестве примеров приведем изображение платоновых тел (рис. а) на титульном лист изданной во Франции в 1560 г. книги Жана Кузена «Livre de Perspective» («Книга о перспективе») и надгробный памятник Сэру Томасу Джорджсу (рис. 6), установленный в 1635 г. в кафедральном соборе в Солсбери (Англия).
Рис.4.
Художественное изображение многогранников
в разработанной Леонардо технике
жестких ребер:
|
а — титульный лист
книги Ж. Кузена
«Книга о перспективе»,
|
б — надгробный памятник
в кафедральном соборе Солсбери.
|
Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в XX веке являются, конечно, графические фантазии Маурица Эшера (1898-1972), две из которых представлены на рис. 5 (изображая многогранники в этих работах, Эшер пользуется как техникой сплошных граней, так и методом жестких ребер Леонардо).
|
|
Рис. 5.
Графические фантазии Маурица Эшера:
а — «Звезды» (1948), б — «Рептилии» (1943).
|
Приведем также пример изображения многогранника, выполненного художникам Сальвадором Дали (1904-1989) в картине "Тайная вечеря".
Рис. 12.
Сальвадор Дали. Тайная вечеря (1955).
4б) Среди ученых, исследовавших многогранники, особое место принадлежит Иоганну Кеплеру (1571-1630). Кеплер определил классы многогранников, в частности тот, который мы называем архимедовыми телами, описал каждый из многогранников того или иного класса (некоторые — впервые). Еще в молодые годы им овладела идея поиска симметрии или гармонии мира. В своей первой работе "Космогоническая тайна" (1596) Кеплер, опираясь на геометрию, решил вывести число орбит, их относительные размеры и характер движения планет, т. е. проникнуть в замысел творца. Эта работа принесла ему большой успех и широкую известность. В ней ученый вывел свой геометрический принцип, по которому с помощью пяти правильных многогранников - так называемых платоновых тел - обьясняется число известных тогда планет (Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн) и относительные размеры их орбит. Геометрия Солнечной системы по Кеплеру заключалась в следующем: вокруг сферы, на поверхности которой по окружности большого круга движется Меркурий, описывается октаэдр; вокруг октаэдра – сфера, на которой находится Венера; вокруг последней сферы описывается икосаэдр и вокруг него сфера, на которой оказывается Земля; Далее идет додекаэдр со сферой, на которой движется Марс; затем тетраэдр со сферой Юпитера; затем следует куб со сферой, на которой находится последняя известная Кеплеру планета – Сатурн. Такая модель гелиоцентрической системы мира получила название "космический кубок". Кеплер считал геометрию "прообразом красоты мира" и в отличие от пифагорейцев искал первопричины не в числовых соотношениях, а в скрытых за числами геометрических фигурах.
В конце концов, Кеплеру пришлось признать ошибочность этой гипотезы. Позже, изучив долголетние тщательные наблюдения знаменитого астронома Тихо Браге над движением планеты Марс, Кеплер обнаружил, что Марс движется не по кругу, а по эллипсу, и, критически пересмотрев свои взгляды на движение планет, пришел к "законам Кеплера". Ошибочность первоначальной гипотезы, кстати, является красноречивым свидетельством того, что в науке прекрасное (с чисто эстетической точки зрения) все же не всегда оказывается правильным.
5. История изучения и изображения многогранников, уходящая корнями в глубь тысячелетий, продолжается в наши дни, неожиданно «превращаясь» в историю науки о фуллеренах и технологии новых материалов на их основе или историю современной архитектуры. История эта являет собой яркий пример взаимопроникновения различных областей знания, неразрывности понятий «наука» и «искусство» как различных способов познания мира, двух основных составляющих единого целого — культуры, главного наследия человеческой цивилизации.
В качестве домашнего задания предлагается сделать модель правильного многогранника по его развертке или каркасную его модель. |
