Мпс РФ омский Государственный Университет Путей Сообщения

МПС РФ Омский Государственный Университет Путей Сообщения Р Е Ф Е Р А Т «Определение площади тела вращения с помощью определенного интеграла.» выполнила: студентка группы 29 Г Митрохина Анна Проверил : Гателюк О.В. Омск 2000г. ИНТЕГРАЛ (от лат. Integer - целый) - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п. СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ О ПРОИСХОЖДЕНИИ ТЕРМИНОВ И ОБОЗНАЧЕНИЙ Символ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый. В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же , в 1696г., появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли. Самое важное из истории интегрального исчисления! Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок. 287 - 212 до н. э.). Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX - XV веках изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили. Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур (задачи на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и определение центров тяжести . Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления. Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(x) , которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме S = бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму. На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571 - 1630 гг.) в своих сочинениях “Новая астрономия” (1609 г.) и “Стереометрия винных бочек” (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось на бесконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598 - 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 -1647 годы). В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой y =, где N - целое (т. е. вывел формулу ), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1603-1677 года), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функции в виде степенных рядов. Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано. Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.), В. Я. Буняковский (1804 - 1889 гг.), П. Л. Чебышев (1821 - 1894 гг.). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции. Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке, Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917). Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) теории меры. Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 гг.) и А. Данжуа (1884 - 1974) советским математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959 гг.) ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ. Пусть дана поверхность, образованная вращением кривой y=f(x) вокруг оси Ох. О пределим площадь этой поверхности на участке а ≤ х ≤ b. Функцию f(x) предположим непрерывной и имеющей непрерывную производную во всех точках отрезка [a;b]. Проведем хорды АМ1, М1М2,….Мn-1B длины которых обозначим через ΔS1, ΔS2… ΔSn (рис. 1). Каждая хорда длины ΔSi (i=1,2,….n) при вращении опишет усеченный конус, поверхность которого ΔPi равна: Применяя теорему Лагранжа получим: , где Следовательно Поверхность, описанная ломанной, будет равна сумме , или сумме , (1) распространенной на все звенья ломаной. Предел этой суммы, когда наибольшее звено ломаной ΔSi стремится к нулю, называется площадью, рассматриваемой поверхности вращения. Сумма (1) не является интегральной суммой для функции (2) , так как в слагаемом, соответствующем отрезку [xi-1, xi ], фигурирует несколько точек этого отрезка xi-1, xi ,ξi.. Но можно доказать, что предел суммы (1) равняется пределу интегральной суммы для функции (2), т.е. или (3) Формула (3) определяет площадь Р поверхности теля вращения возникающего в результате вращения вокруг оси x кривой, заданной на отрезке а ≤ x ≤ b неотрицательной, непрерывно дифференцируемой функцией f(x). Если вращающаяся кривая задана параметрически: x=φ(t), y=ψ(t) (t0 ≤ t ≤ t1) то формула (3) имеет вид, (3/)

Похожие:

	«Московский государственный университет путей сообщения» рабочая программа Ярославский филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский...		Мпс россии российский государственный открытый технический университет путей сообщения Техническая эксплуатация и реконструкция мостов и транспортных тоннелей”, завершая процесс обучения в университете, систематизируют,...
	Мпс россии российский государственный открытый технический университет путей сообщения Студенты- заочники специальности 290300 “Промышленное и гражданское строительство”, завершая процесс обучения в университете, систематизируют,...		Совершенствование технологии ремонта надрессорной балки и боковых рам тележки грузового вагона Работа выполнена в гоу впо «Омский государственный университет путей сообщения (Омгупс (Омиит))»
	П. К. Рыбин фгбоу впо «Петербургский государственный университет путей сообщения» Программу составили: к т н профессор П. К. Рыбин – фгбоу впо «Петербургский государственный университет путей сообщения»		Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение... Информатика: задания и методические указания к контрольной работе для студентов всех специальностей очной и заочной форм обучения...
	Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение... Специальность научных работников (отрасль науки): 07. 00. 00 – Исторические науки, 08. 00. 00 – Экономические науки, 22. 00. 00 –...		Образовательное учреждение высшего профессионального образования... Целями освоения учебной дисциплины «Дополнительные главы математики» являются углубленное изучение нелинейных дифференциальных уравнений...
	Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения... Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «московский государственный...		Отчет о результатах самообследования филиала государственного образовательного учреждения Отчет по результатам самообследования филиала государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования...
	Институт транспортного строительства Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Дальневосточный государственный университет путей...		Кандидатская диссертация: от первых шагов до защиты Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения
	Полезной модели Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения»...		Рабочая программа дисциплины Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Дальневосточный государственный университет путей...
	Институт управления, автоматизации и телекоммуникаций Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Дальневосточный государственный университет путей...		Рабочая программа дисциплины Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Дальневосточный государственный университет...