Учебники 4 Методы вычислений 6 Геометрия страны пирамид

Муниципальное общеобразовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа № 5. РЕФЕРАТ по предмету: «Математика» на тему: «История развития математики в Древнем Египте и Индии» Выполнила: ученица 10 «Л» класса Томилова Ирина. Руководитель: преподаватель математики Турчина Елена Владимировна. 2011 г. Содержание Введение 3 Математика в Древнем Египте 4 1.1. Первые учебники 4 1.2. Методы вычислений 6 1.3. Геометрия страны пирамид 7 1.4. О формуле площади четырехугольника 8 1.5. Как могло появиться первое приближение числа π 9 1.6. Тайны великой пирамиды 10 2. Индийская математика 13 2.1. Алгебра и теория чисел 14 2.2. Геометрия 17 2.3. Тригонометрия 17 2.4. Индийская нумерация 19 2.5. Арифметические действия. Отрицательные и иррациональные числа 21 Заключение 24 Список литературы 25 Приложение 1. Математические источники древних египтян 26 Приложение 2. Формула нахождения площади четырехугольника 27 Приложение 3. Выведение формулы площади круга 28 Приложение 4. Индийские математики 29 Приложение 5. Числовые знаки разных народов 30 Приложение 6. Основной способ умножения индийцев 31 Введение Одна из важнейших задач понимания древнего мира — осмысление многообразия и уникальности древних культур, отдаленных от нынешних временем и пространством. Все они, взятые вместе и представляющие некое цивилизационное целое, своим многообразием и уникальностью в значительной степени повлияли на формирование и характер современной цивилизации. Именно в этой роли, своими достижениями, базой для создания нынешнего математического мира, их культурное единство и обретает значимость. Трудно себе представить страны с более богатыми культурными и научными знаниями и опытом, чем Египет и Индия. Несколько лет назад меня заинтересовали два загадочных государства – Египет и Индия. Математика – мой любимый школьный предмет, который увлек меня в свои лабиринты знаний около десяти лет назад. Работая над рефератом, я хотела бы больше узнать о развитии математики в этих странах. Цель реферата заключается в знакомстве с историей математики в таких восточных странах, как Египет и Индия. Задачи, которые мне нужно решить для достижения поставленной цели: Сбор материала по теме реферата и его обработка. Обобщение обработанного материала. Выводы о проделанной работе. Оформление обобщенного материала. Подготовка презентации. Ресурсы, используемые для написания реферата: литературные источники, Интернет - ресурсы. Актуальность работы: данную работу можно использовать на уроках математики для общего развития учеников. 1. Древний Египет Самые ранние математические тексты, известные в наши дни, оставили две великие цивилизации древности – Египет и Месопотамия, или Междуречье. Именно там появились первые математические задачи, решения которых требовала повседневная жизнь. Ведь невозможно без расчетов построить здание, будь то величественный дворец или простой склад для зерна. И как поделить землю между родственниками, прибыль между торговцами, найти правильный путь в пустыне или в море, если вы не знакомы с правилами счета? Несколько тысячелетий культура Египта развивалась без каких бы то ни было внешних влияний, и именно этим объясняется ее самобытность. Уровень древнеегипетской математики был довольно высок. Древние греки, достижения которых лежат в основе современной науки, считали себя учениками египтян. Вот так писал об этом в V в. До н. э. знаменитый греческий историк Геродот: «Они [египетские жрецы] говорили, что царь разделил землю между всеми египтянами, дав каждому по равному прямоугольному участку; из этого он создал себе доходы, приказав ежегодно вносить налог. Если же от какого-нибудь надела река отнимала что-нибудь, то владелец, приходя к царю, сообщал о происшедшем. Царь же посылал людей, которые должны были осмотреть участок земли и измерить, на сколько он стал меньше, чтобы владелец вносил с оставшейся площади налог, пропорциональный установленному. Мне кажется, что так и была изобретена геометрия, которая затем из Египта была перенесена в Элладу». 1.1. Первые учебники Общественное устройство Древнего Египта не менялось в течение долгого времени. Сохранялись без изменений и научные знания, поэтому сегодня ученым очень трудно точно определить дату того или иного открытия. К тому же источников, по которым можно судить об уровне математических знаний древних египтян, совсем не много. Назовем самые известные из них. Во-первых, это папирус Райнда, названный так по имени своего первого владельца (см. приложение 1, рис. 1). Он был найден в 1858 г., расшифрован и издан в 1870 г. Рукопись представляла собой узкую (33 см) и длинную (5,25 м) полосу папируса, содержащую 84 задачи. Теперь одна часть папируса хранится в Британском музее в Лондоне, а другая находится в Нью-Йорке. Во-вторых, так называемый Московский папирус – его в декабре 1888 г. Приобрел в Луксоре русский египтолог Владимир Семёнович Голенищев (см. приложение 1, рис. 2). Сейчас папирус принадлежит Государственному музею изобразительных искусств имени А. С. Пушкина. Этот свиток длиной 5,44 м и шириной 8 см включает 25 задач. И наконец, «Кожаный свиток египетской математики», с большим трудом распрямленный в 1927 г. и во многом проливший свет на арифметические знания египтян. Ныне он хранится в Британском музее. Эти рукописи относятся к эпохе Среднего царства (XX – XVII вв. до н. э.). Московский папирус был переписан неким учеником между 1800 и 1600 гг. до н. э. А папирус Райнда переписал писец Ахмес около 1650 г. до н. э. автор оригинала неизвестен, установлено лишь, что текст создавался во второй половине XIX в. до н. э. «Кожаный свиток» датируется XIX – XVIII вв. до н. э. Подобные папирусы, по-видимому, служили своего рода учебниками. Как сказано в рукописи Ахмеса, она посвящена «совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущности, познанию их тайн». Так высоко ценились в те далекие времена математические знания! В папирусах есть задачи на вычисление – образцы выполнения арифметических операций, задачи на раздел имущества, на нахождение объема амбар или корзины, площади поля и т. д. Для кого же предназначались такие учебники? Папирус Райнда заканчивается такими словами: «Лови гадов, мышей; выпалывай сорные травы засвежо, получай обильную пряжу. Проси у бога Ра тепла, ветра и высокой воды». Поэтому некоторые исследователи решили, что свиток адресован землевладельцам. Однако многие из содержащихся в нем задач вовсе не нужны крестьянину. В стране фараонов была особая группа людей, которой требовались подобные знания, - это писцы. Писец – должность ответственная и весьма привилегированная. Он обязан был обладать самыми разнообразными математическими навыками, чтобы без труда разрешить любую задачу. 1.2. Методы вычислений Все правила счета древних египтян основывались на умении складывать и вычитать, удваивать числа и дополнять дроби до единицы. Умножение и деление сводили к сложению при помощи особой операции – многократного удвоения или раздвоения чисел. Выглядели такие расчеты довольно громоздко. Для дробей были специальные обозначения. Египтяне использовали дроби вида 1/n, где n – натуральное число. Такие дроби называются аликвотными. Единственная неаликвотная дробь, которую «признавали» египетские математики, - это 2/3. Иногда вместо деления m : n производили умножение m · . Для этого применяли специальные таблицы. Надо сказать, что действия с дробями составляли особенность египетской арифметики, в которой самые простые вычисления порой превращались в сложные задачи. Сравнительно небольшой круг задач в египетских папирусах сводится к решению простейших уравнений с одним неизвестным, например 33-я задача из папируса Райнда: «Некое количество, его 2/3, его 1/2 и его 1/7, сложенные вместе, дают 37. Каково это количество?». Ответ 16 записан в аликвотных дробях: 16 + + + . При решении подобных задач для неизвестного использовали специальный иероглиф со значением «куча». В задачах про «кучу», решаемых единым методом, можно усмотреть зачатки алгебры как науки об уравнениях. В египетских папирусах встречаются также задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии, что ещё раз подчёркивает не только практический, но и теоретический характер древней математики. 1.3. Геометрия страны пирамид Поразительно, но при довольно примитивной и громоздкой арифметике египтяне смогли добиться значительных успехов в геометрии. Они умели точно находить площадь поля прямоугольной, треугольной и трапециевидной формы. Известно, что в середине I тысячелетия до н. э. для построения прямого угла египтяне использовали верёвку, разделённую узлами на 12 равных частей. Концы веревки связывали и затем натягивали ее на три колышка. Если стороны относились как 3 : 4 : 5, то получался прямоугольный треугольник. И это – единственный прямоугольный треугольник, который знали в Древнем Египте. В папирусах нет задач, как-либо связанных с теоремой Пифагора, хотя до расшифровки математических текстов существовало мнение, что древние египтяне были с ней знакомы. Важным достижением геометрической науки египтян было очень хорошее приближение числа π, которое получается из формулы для площади круга диаметра d: S = = . Этому правилу из 50-й задачи папируса Райнда соответствует значение π = ≈ 3,1605. однако каким образом египтяне получили саму формулу, из контекста неясно. В Московском папирусе есть еще одна интересная задача: вычисляется поверхность корзины «с отверстием 4 ». исследователи толкуют ее по-разному, поскольку в тексте не указано, какой формы была корзина. Но все сходятся во мнении, что и здесь для числа π берется то же самое приближенное значение . Заметим, что на всём древнем Востоке при вычислениях использовалось значение π = 3. Даже в Библии есть указание на него. Так что в этом отношении египтяне намного опередили другие народы. Среди пространственных тел самым «египетским» можно считать пирамиду, ведь именно такую форму имеют знаменитые усыпальницы фараонов. Так вот, оказывается, кроме объемов куба, параллелепипеда, призмы и цилиндра египтяне умели вычислять объем усеченной пирамиды, в основаниях которой лежат квадраты со сторонами a и b, а высота равна h. Они применяли формулу: . 1.4. О формуле площади четырехугольника В папирусе Райнда приводится такое правило для вычисления площади произвольного четырехугольника: полусумму длин двух противоположных сторон четырехугольника умножить на полусумму длин двух других сторон. Разумеется, оно пояснялось на примере, а не с помощью формулы, как на рисунке (см. приложение 2). Но это правило неверно! Даже для параллелограмма оно не дает истинного значения площади. Ведь если изготовить шарнирный прямоугольник, а затем сжать его так, чтобы он превратился в параллелограмм, то длины сторон не изменятся, а площадь уменьшится. Вообще, для любого четырехугольника со сторонами a, b, c, d имеет место неравенство . В равенство оно превращается только для прямоугольника. Иначе говоря, египетское правило справедливо (и то не точно, а лишь приближенно), когда четырехугольник мало отличается от прямоугольника. По-видимому, именно такую форму имело большинство земельных участков египтян, и для них ошибка, заключенная в этом правиле, была незначительна. 1.5. Как могло появиться первое приближение числа π Чтобы понять, каким образом древние ученые получили тот или иной результат, нужно постараться представить себя на их месте, т. е. попытаться решить поставленную задачу, используя только знания и приемы вычислений того времени. Именно так поступают исследователи старинных текстов, однако решения, которые им удается найти, вовсе не обязательно «те самые». Очень часто для одной задачи предлагается несколько возможных вариантов решения – реконструкций. Каждый вправе отдать предпочтение одному из способов, но никто не может утверждать, что именно им пользовались в древности. По поводу формулы площади круга нам кажется весьма правдоподобной гипотеза автора многочисленных книг по истории математики А. Е. Раик: площадь круга диаметра d сравнивается с площадью описанного вокруг него квадрата, из которого по очереди удаляются малые квадраты со сторонами и (см. приложение 3). В наших обозначениях вычисления будут выглядеть так. В первом приближении площадь круга S равна разности между площадью квадрата со стороной d и суммарной площадью четырех малых квадратов A со стороной : . Далее из полученной площади нужно вычесть площадь восьми квадратов В со стороной , и тогда площадь круга будет приближенно равна следующему выражению: . В пользу изложенной здесь гипотезы свидетельствуют аналогичные вычисления в одной из задач Московского папируса, где предлагается сосчитать . Эта формула считается высшим достижением древнеегипетской математики. 1.6. Тайны Великой пирамиды Еще в X веке историк-араб Масуди утверждал, что пирамиды являются не только хранилищем всех знаний древних египтян по вопросам астрономии, искусства и религии, но и содержат в себе «исторические и пророческие предсказания». В 1865 году Роберт Мензиес высказал предположение, что, если взять за основу священный дюйм египтян и измерить длину внутренних покоев пирамиды, то мы найдем хронологические даты наиболее важных событий прошлого и будущего. На основании сделанных в 1948-1949 годах открытий египтологи-символисты считают, что архитектура большинства храмов древнего Египта содержит в себе целый ряд символов философского, исторического и в особенности религиозного характера. По их мнению, расположение фундаментов колоннад и даже надстройки поверхностных сооружений этих памятников указывают на эзотерические знания, скрытые от простых людей. В свою очередь известный астроном, директор Буржской обсерватории аббат Море посвятил жизнь раскрытию загадок, которые приносит ученым изучение древнеегипетских храмов и пирамиды Хеопса. Полученные инженером Давидсоном результаты измерения Великой пирамиды оказались поразительными. Диагональ пирамиды дает абсолютно точное ее направление по меридиану, причем точность этого направления на теоретический северный полюс достигает 4 минуты 30 секунд: это точнее, чем Парижская обсерватория. Кроме того, этот меридиан, проходящий через Хеопсову пирамиду, делит на две равные части поверхность моря и суши, считая Америку и Тихий океан. Более того: широта, проходящая через центр пирамиды, делит также на две равные части весь земной шар, по количеству суши и воды. Таким образом, за 2500лет до Р.Х. египтяне знали точное соотношение поверхности всех материков и не случайно выбрали устье Нила для постройки своих пирамид. При измерении самой пирамиды оказалось, что периметр пирамиды, разделенный на двойную высоту, дает точное число π, с точностью до одной стотысячной. Интересно, что священная мера длины Египта, т.е. пирамидальный дюйм (по странному совпадению равный современному английскому) есть одна миллиардная часть орбиты Земли, пройденной ею в 24 часа. Другая линейная мера пирамиды – локоть, равная 25 дюймам, или 635,66 миллиметра – это одна десятимиллионная полярного радиуса Земли. Сумма двух диагоналей пирамиды, выраженных в дюймах, дает число лет, в течение которых северный полюс нашей земли совершает один полный оборот. Объем пирамиды, помноженный на удельный вес камня, из которого она сделана, дает теоретический вес земного шара. Та же мера обнаруживается еще раз в покоях короля при измерениях «саркофага». Мы находим его объем в соотношении с объемом земного шара. Этот объем, так сказать, эталон веса, совпадает в точности с весом одного английского фунта (453,59г). Архаические единицы мер англичан в точности соответствуют «священным» единицам Древнего Египта! Но если внешние измерения пирамиды дали такие удивительные результаты, то измерения внутренних покоев пирамиды, сделанные другими египтологами, оказались не менее неожиданными. Сравнивая эти данные с текстом крайне загадочной и еще не вполне расшифрованной «Книги Мертвых» Древнего Египта, египтологи пришли к заключению, что Хеопсова пирамида является дополнением текстов этой книги и содержит в своей архитектуре даты исторических событий нашей истории. Особенно удивительно то, что пирамида дает с большой точностью дату рождения Иисуса Христа, который в «Книге Мертвых» называется «Владыкой пирамиды» и «Владыкой смерти и воскресения». Эта дата получается при измерении уровня покоев королевы, названных «комнатой второго и нового рождения». Измеряя высоту порога главной галереи, мы находим дату распятия Христа, с которой – по «Книге Мертвых» - начинается эпоха «спасения человечества». Таким образом, главная галерея символизирует христианскую эру. Галереи входа в пирамиду дают даты исхода Израиля из Египта и другие исторические события до Рождества Христова. Главная галерея, называемая также «Залом Истины», после целого ряда дат, относящихся к далекому прошлому, дает дату, имеющую большую важность для нашей эпохи, - 1 августа 1914 года (начало I мировой войны). Затем начинается опускающаяся часть входа в королевские покои, причем измерение этого спуска дает 11 ноября 1918 года. Измерения королевских покоев дают нам соответственно годы 1928, 1936, 1945-й, 19-20 августа 1953-го и, согласно Дональдсону, - 1955год. Характерно, что королевские покои названы в «Книге Мертвых» «Покоями суда», «Присутствием Владыки жизни и смерти» и «Концом всех времен». А все предсказания пирамиды кончаются на 2000 году. Если официальная наука еще не признала эти «совпадения», то все-таки она должна согласиться с тем, что Хеопсова пирамида не есть только гробница фараона, но является и хранилищем знаний Древнего Египта. Когда были расшифрованы иероглифы и открыты внутренний коридор пирамиды вместе с покоями короля и королевы, то ученые засомневались: возможно ли логически предположить, чтобы фараон построил такой колоссальный гроб для своей мумии, руководствуясь исключительно побуждениями тщеславия? Все «совпадения» слишком часто повторяются, чтобы объяснить их слепой случайностью. Как можно объяснить такую полноту знаний древних египтян и точность их измерений? Пирамида хранит загадки, которые вряд ли когда-нибудь будут разгаданы.

Похожие:

	Реферат по математике на тему: «В мире пирамид» Разгадать их еще предстоит будущим поколениям ученых и исследователей. Все это вызвало у меня большой интерес и побудило к более...		I. Общая характеристика территории Мировой сенсацией стало открытие "Страны городов" около 20 памятников протогородской цивилизации, являющихся остатками одной из древнейших...
	Отчет о научно-исследовательской работе организационно-тактические... Едования выступают отношения, возникающие между субъектами уголовно-процессуальной деятельности в процессе предварительного расследования...		Урок математики в 3 классе Цель: научить письменным приемам сложения трехзначных чисел, закрепить знания устных вычислений в пределах 1000, развивать навыки...
	Анкета (Form) фио Кроме того, в инженерном режиме появляются также возможности определения порядка вычислений при помощи скобок, осуществления побитовых...		К. Г. Кирьянов сигнатурный анализ Кроме того, в инженерном режиме появляются также возможности определения порядка вычислений при помощи скобок, осуществления побитовых...
	Конкурс документов с отметками о наличии Кроме того, в инженерном режиме появляются также возможности определения порядка вычислений при помощи скобок, осуществления побитовых...		Опубликовано в журнале: «нло» 2002, №54 Кроме того, в инженерном режиме появляются также возможности определения порядка вычислений при помощи скобок, осуществления побитовых...
	Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Кроме того, в инженерном режиме появляются также возможности определения порядка вычислений при помощи скобок, осуществления побитовых...		Предисловие введение чем не является эта книга Кроме того, в инженерном режиме появляются также возможности определения порядка вычислений при помощи скобок, осуществления побитовых...
	7. "Другая история": создание растения, ботаники, систематики Кроме того, в инженерном режиме появляются также возможности определения порядка вычислений при помощи скобок, осуществления побитовых...		Отдых с детьми от 5 до 10 лет Отдых детей от 10 до 16 лет Особенности... Ваш выбор страны отдыха не связан со школьной программой, не забудьте посвятить достаточно времени, например, изучению пирамид и...
	Заявление о самостоятельном характере выполнения выпускной квалификационной работы Кроме того, в инженерном режиме появляются также возможности определения порядка вычислений при помощи скобок, осуществления побитовых...		Примерные программы дисциплин базовой части общенаучного цикла Кроме того, в инженерном режиме появляются также возможности определения порядка вычислений при помощи скобок, осуществления побитовых...
	Тема урока «Письменная нумерация в пределах 1000. Приёмы устных вычислений» Сегодня на уроке мы повторим с вами нумерацию чисел в пределах 1000 и познакомимся с приёмами устных вычислений		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Рф и буп (утвержденным приказом мо и н рт №154/12 от 09. 07. 2012 г.) к учебникам «Алгебра» 8 класса (авторы Ю. Н. Макарычев, Н....