Учебники 4 Методы вычислений 6 Геометрия страны пирамид

2. Индийская математика Уже в середине III тысячелетия до н. э. в долине реки Инд существовала развитая цивилизация. Об уровне знаний той далекой эпохи можно судить по результатам археологических изысканий. Например, при раскопках были найдены обломок линейки с делениями и древнейший в мире игральные кости кубической формы. На каждой стороне ямочками обозначены числа от одного до шести. Торговцы тех далеких времен пользовались каменными гирями различной величины. Археологи обнаружили большое число предметов правильной геометрической формы. для построения окружностей индийцы, по-видимому, применяли инструмент, похожий на современный циркуль. Многие черты роднят цивилизацию долины Инда с другими древними культурами – Египтом и государствами Междуречья. Везде возникали одинаковые проблемы: приходилось делать расчеты при строительстве дворцов, храмов, жилищ, складов для зерна, военных укреплений, определять размеры и очертания полей, учитывать количество материалов и продуктов – словом, решать схожие математические задачи. Во II – I тысячелетиях до н. э. появились религиозно-философские книги – веды («знания»). Один из разделов ведийской культуры назывался «Шульба-сутра» («Правила веревки»). Этот трактат, составленный в VII – V вв. до н. э. содержит правила измерений с помощью веревки, применяемые при строительстве жертвенных алтарей и храмов. В первые века новой эры появились астрономические и математические труды – сиддханты («учения»). Факты, изложенные в первых сиддхантах, заимствованы у древних греков. Труд «Пулиса-сиддханта» (жителей Восточной Римской империи часто называли ромеями). В сиддхантах использованы некоторые греческие термины. Впрочем, научные связи Индии и Греции существовали еще в античные времена. В Средние века работали индийские математики и астрономы Ариабхата (V – VI вв.) (см. приложение 4, рис.1), Брахмагупта (VII в.), Магавира (IX в.), Шридхара (IX – X вв.), Бхаскара (XII в.) (см. приложение 4, рис.2), Нилаканта (XV – XVI вв.). Большинство трактатов индийцев записано на санскрите – языке науки, который объединял ученых, говоривших на разных наречиях. Многие труды изложены в стихах, для того чтобы правила можно было заучивать наизусть. Научные тексты обычно сопровождались подробными комментариями, где каждое правило тщательно объяснялось. 2.1. Алгебра и теория чисел Индийские математики создали развитую алгебраическую символику. В Индии впервые появились особые знаки для многих неизвестных величин свободного члена уравнения, степеней, основных арифметических действий. Большинство символов представляли собой первые слоги санскритских терминов. Например, неизвестную величину индийцы называли «йаваттават» («столько-сколько»), ее обозначали слогом «йа». Если неизвестных было несколько, то им давали наименования различных цветов: чёрный – «калака», голубой – «нилака», жёлтый – «питака» - и записывали слогами «ка», «ни», «пи» и т. п. Индийские математики достингли больших успехов в решении задач, связанных с алгебраическими вычислениями. Ариабхата оставил задачи, сводящиеся к решению линейного уравнения с одним неизвестным. У Магавиры, Бхаскары и других ученых есть задачи, приводящие к системам линейных уравнений с несколькими неизвестными. Вот одна из задач Магавиры: «Стоимость 9 лимонов и 7 лесных яблок равна 107; стоимость 7 лимонов и 9 лесных яблок равна 101. О, математик, быстро назови мне цену лимона и лесного яблока». Задача приводит к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными: Метод решения, изложенный Магавирой, не отличается от современного способа решения с помощью уравнивания коэффициентов. Бхаскара предлагает такую задачу: «Один имеет 300 монет и 6 лошадей; другой имеет 10 таких лошадей, но у него недостает 100 монет. Оба одинаково богаты. Какова цена лошади?». Условие выражается уравнением 6x + 300 = 10x – 100. Отсюда Бхаскара находит, что лошадь стоит 100 монет. Задачи на квадратные уравнения есть уже в «Шульба-сутре», где приведены уравнения вида Однако их решения мы впервые встречаем у Ариабхаты. Это задачи на сложные проценты и на нахождение числа членов арифметической прогрессии. Бхаскара рассматривал специально подобранные уравнения третьей и четвертой степеней, целочисленные корни которых он находил путем несложных преобразований. Индийские математики успешно решали неопределенные уравнения, которые возникали в астрономических задачах. В отличие от Диофанта, искавшего любые рациональные корни, индийцы дали способ решения неопределенных уравнений в целых положительных числах. Линейное уравнение в целых числах с двумя неизвестными ax + b = cy приводит уже Ариабхата, но более подробно о нем рассказывают в своих сочинениях Брахмагупта и Бхаскара. Вершина достижений индийских математиков в теории чисел – решение в целых положительных числах неопределённого уравнения второй степени с двумя неизвестными , где а – целое число, не являющееся квадратом. Это уравнение рассматривали Брахмагупта и бхаскара, который на примерах изложил метод, называемый теперь циклическим. Позже в Европе с этим уравнением занимались П. Ферма, Л. Эйлер, Ж. Л. Лагранж. Метод нахождения полного решения, открытый Лагранжем в 1759 г., близок к индийскому. Арифметические и геометрические прогрессии занимали видное место в индийской математике. Некоторые задачи очень известны, к примеру, задача о награде за изобретение шахмат, которая сводится к нахождению суммы геометрической прогрессии со знаменателем 2. Суммирование числовых рядов интересовало многих индийских математиков. Ариабхата приводит правила суммирования рядов треугольных чисел, натуральных квадратов и кубов, а Магавира – правила суммирования рядов квадратов и кубов членов арифметической прогрессии. Большой интерес индийцы проявляли к комбинаторике. Вот, например, задача Магавиры: «О друг, назови число различных ожерелий, которые можно получить из бриллиантов, сапфиров, изумрудов, кораллов и жемчугов». А у Шридхары приводится такая задача: «Повар готовит различные блюда с шестью вкусовыми оттенками: острым, горьким, вяжущим, кислым, солёным, сладким. Друг, скажи, каково число всех разновидностей». 2.2. Геометрия Знания и открытия индийских математиков в геометрии скромнее, чем в арифметике, алгебре и теории чисел. Специальных сочинений по геометрии в Индии не было, эти сведения сообщались в арифметических трактатах или в арифметических разделах сочинений по астрономии. Геометрические теоремы приводились без доказательств. Обычно это был только чертеж со словом «смотри». Лишь в редких случаях его сопровождали краткие пояснения. По-видимому, доказательства учащимся сообщались устно. В геометрических задачах вопросы чаще всего сводились к вычислениям и гораздо реже – к построениям. Самые ранние сведения о познаниях индийцев в области геометрии содержатся в руководстве по постройке алтарей и храмов – «Шульба-сутре». Храмы возводили, подчиняясь ряду правил: здания должны были иметь в основаниях определённые фигуры и быть сориентированы по странам света. Для этого требовалось умение строить прямой угол, квадрат, прямоугольные треугольники, стороны которых выражаются целыми числами. Индийцы знали, как построить квадрат, равновеликий прямоугольнику, и квадрат, площадь которого кратна площади данного квадрата. Отправной точкой многих построений служила теорема Пифагора. Бхаскара приводит доказательство этой теоремы в виде чертежа с надписью «Смотри». 2.3. Тригонометрия На развитие астрономии в Индии, по-видимому, оказали влияние труда Птолемея, которые индийцы преобразовали в систему расчетных правил. Главным их достижением стала замена хорд синусами, что позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах. Индийские учёные пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме выражаются как , , . Индийцы также знали формулы для кратных углов sin nα, cos nα, где n = 2, 3, 4, 5. Тригонометрия необходима для астрономических расчетов, которые оформляются в виде таблиц. Первая таблица синусов имеется в «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты. Она приведена через 3°45'. Позднее ученые составили более подробные таблицы: например, Бхаскара приводит таблицу синусов через 1°. Южноиндийские математики в XVI в. добились больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов. По-видимому, они занимались этими исследованиями, когда искали способы вычисления более точных значений числа π. Нилаканта словесно приводит правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. А в анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды. Нужно сказать, что в Европе к подобным результатам подошли лишь в XVII – XVIII вв. Так, ряды для синуса и косинуса вывел И. Ньютон около 1666 г., а ряд арктангенса был найден Дж. Грегори в 1671 г. и Г. В. Лейбницем в 1673г. 2.4. Индийская нумерация Счет целых чисел в Индии с древних времен носил десятичный характер. Санскрит — индоевропейский язык, родственный индоевропейским языкам Европы (для сравнения приведем числительные 1 — эка, 2 — дви, 3 — три). В названиях чисел применялся и аддитивный и субстрактивный принципы; например, 19 можно было назвать и «навадаша», (девять-десять) и «экауна — вимсати» (без одного двадцать). В отличие от других индоевропейских языков, в санскрите существуют названия для 10n до n > 50. Одной из первых нумераций, применявшихся в Индии, были цифры «карошти», которыми пользовались в Северной Индии со времени персидского завоевания до III в. н. э. вместе с сирийским письмом. Цифры карошти были во многом похожи на финикийские: числа записывались справа налево, знаки для 1 и 10 были весьма близки к финикийским, имелся знак для 20, представляющий собой соединение двух знаков для 10, и знак для 100, который, как и в финикийской нумерации, не повторялся, а справа от него записывалось число сотен. Однако, в отличие от финикийских цифр, здесь употреблялся специальный знак для 4. Цифры карошти изображены в четвертом столбце таблицы числовых знаков разных народов (см. приложение 5). Начиная с VI в. до н. э. в Индии были широко распространены цифры «брахми». В пятом столбце той же таблицы изображены цифры брахми, воспроизводящие надписи в пещере Назик. В отличие от цифр карошти, цифры брахми записывались слева направо, как индийское письмо. Однако в обеих нумерациях было немало общего. Не говоря уже о том, что первые цифры в обоих случаях изображали три палочки, а четвертая — четыре палочки (в случае карошти — в виде креста), общим было то, что до сотни в обоих случаях применялся чисто аддитивный принцип, а начиная с сотен этот принцип соединялся с мультипликативными: в нумерации брахми последний принцип применялся не только к знаку для 100, но и к знаку для 1000. Следует отметить, что первые три знака в обеих нумерациях совпадают с китайскими; встречалась в Китае и четверка в виде креста. Важным отличием цифр брахми от карошти было наличие специальных знаков для чисел от 1 до 9; возможно, что цифры карошти представляли собой промежуточную стадию между обозначениями чисел от 1 до 9 с помощью повторения знака для 1, применявшимися в Финикии, Вавилоне и Египте, и обозначениями этих чисел с помощью специальных знаков. Эта особенность цифр брахми стала предпосылкой создания в Индии десятичной позиционной нумерации. Наряду с цифровой записью в Индии широко применялась словесная система обозначения чисел, этому способствовал богатый по своему словарному запасу санскритский язык, имеющий много синонимов. При этом нуль обозначался словами «пустое», «небо», «дыра»; единица — предметами, имеющимися только в единственном числе: Луна, Земля; двойка — словами «близнецы», «глаза», «ноздри», «губы»; четверка — словами «океаны», «стороны света» и т. д. Применение позиционного принципа в словесной нумерации, в котором одно и то же слово в зависимости от места имеет разное числовое значение, а названия разрядов опускаются, зафиксировано еще в V в. Например, число 1021 записывалось словами «Луна — дыра — крылья — Луна». Одно из названий нуля — «шунья» (пустое) стало впоследствии основным. Когда в VIII в. индийские сиддханты переводили на арабский язык, слово «шунья» перевели арабским словом «сыфр», имеющим то же значение. Слово «сыфр» при переводе арабских сочинений на латынь было оставлено без перевода в виде ciffra, откуда происходит французское и английское название нуля zero, немецкое слово Ziffer и наше слово «цифра», также первоначально означавшее нуль. На основе цифр брахми выработались современные индийские цифры «деванагари» (божественное письмо), применяющиеся в десятичной позиционной системе, от которой происходят десятичные позиционные системы арабов и европейцев. Мы называем изобретенные индийцами цифры 1, 2, .., 9 и нуль арабскими, так как заимствовали их у арабов, но сами арабы называли эти цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе — «индийским счетом» (хисаб ал-Хинд). 2.5.Арифметические действия. Отрицательные и иррациональные числа. Если наши геометрические курсы в значительной степени восходят к греческой математике, то наша арифметика имеет, несомненно, индийское происхождение. Именно от индийской позиционной нумерации происходит наша нумерация. Индийцы первые разработали правила арифметических действий, основанные на этой нумерации. К основным арифметическим действиям индийцы относили сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и куб и извлечение квадратного и кубического корней. Вычисления индийцы производили на счетной доске, покрытой песком или пылью, а то и прямо на земле. Поэтому арифметические вычисления иногда назывались «дхули-карма» — работа с пылью. Числа записывались заостренной палочкой. Чтобы хорошо различать цифры, их писали довольно крупно, поэтому промежуточные выкладки стирались. Это наложило отпечаток на индийские способы вычисления. Сложение и вычитание производились как справа налево, т. е. от низших разрядов к высшим, так и слева направо, от высших разрядов к низшим. Для умножения существовало около десятка способов. При основном способе умножения операцию можно было начинать как с низшего, так и с высшего разряда. В процессе умножения цифры множимого постепенно стирались, а на их месте записывались цифры произведения. Индийцы применяли и более удобные приемы умножения. Например, расчерчивали счетную доску на сетку прямоугольников, каждый из которых разделен пополам диагональю, по сторонам сетки записывали сомножители, а промежуточные произведения писали в треугольниках и складывали их по диагоналям (см. приложение 6). При делении делитель подписывался под делимым так, чтобы первые их цифры находились одна под другой, и из цифр делимого, написанных над делителем, вычиталось максимальное кратное делителя, не превосходящее числа, образованного этими цифрами. Затем делитель передвигался на один разряд вправо и таким же образом вычитался из цифр остатка. Извлечение квадратного корня в Индии, как и в Китае, основано на разложении квадрата двучлена, но при этом (как и при извлечении кубического корня) не применялся метод Горнера. Так как при выполнении арифметических действий приходилось стирать промежуточные выкладки, проверить непосредственно, верны ли окончательные результаты, было невозможно. Для проверки умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня индийцы рекомендовали не обратные операции, а так называемую проверку с помощью девятки, основанную на том, что остаток при делении целого числа на 9 равен остатку при делении на 9 суммы цифр этого числа. Первое описание этого правила применительно к умножению, делению с остатком и извлечению квадратного и кубического корней встречается у Ариабхаты II (X в.). Если мы назовем пробой остаток от деления на 9 суммы цифр данного числа, то, например, при умножении двух чисел проба произведения должна быть равна пробе произведения проб множителей. Равенство проб является только необходимым, но не достаточным условием правильности действия, чего индийцы не отмечают. Индийские математики, начиная с Брахмагупты (VII в. н. э.), систематически пользовались отрицательными числами и трактовали положительное число как имущество, а отрицательное — как долг. Брахмагупта приводит все правила арифметических действий над отрицательными числами. Ему еще не была известна двузначность квадратного корня, но уже в 850 г. Магавира в своей книге «Ганита-сара-санграха» («Краткий курс математики») пишет: «Квадрат положительного или отрицательного — числа положительные, их квадратные корни будут соответственно положительными и отрицательными. Так как отрицательное число по своей природе не является квадратом, то оно не имеет квадратного корня». Последние слова Маг-авиры показывают, что он ставил вопрос и об извлечении корня из отрицательного числа, но пришел к выводу, что эта операция невозможна. Не исключено, что об отрицательных числах индийские ученые узнали в результате контактов с китайской наукой. Прямых свидетельств в пользу такого предположения мы не имеем. Во всяком случае, в Индии отрицательные числа не применялись при решении систем линейных уравнений. Индийцы называли положительные числа «дхана» или «сва» (имущество), а отрицательные — «рина» или «кшайа» (долг).

Похожие:

	Реферат по математике на тему: «В мире пирамид» Разгадать их еще предстоит будущим поколениям ученых и исследователей. Все это вызвало у меня большой интерес и побудило к более...		I. Общая характеристика территории Мировой сенсацией стало открытие "Страны городов" около 20 памятников протогородской цивилизации, являющихся остатками одной из древнейших...
	Отчет о научно-исследовательской работе организационно-тактические... Едования выступают отношения, возникающие между субъектами уголовно-процессуальной деятельности в процессе предварительного расследования...		Урок математики в 3 классе Цель: научить письменным приемам сложения трехзначных чисел, закрепить знания устных вычислений в пределах 1000, развивать навыки...
	Анкета (Form) фио Кроме того, в инженерном режиме появляются также возможности определения порядка вычислений при помощи скобок, осуществления побитовых...		К. Г. Кирьянов сигнатурный анализ Кроме того, в инженерном режиме появляются также возможности определения порядка вычислений при помощи скобок, осуществления побитовых...
	Конкурс документов с отметками о наличии Кроме того, в инженерном режиме появляются также возможности определения порядка вычислений при помощи скобок, осуществления побитовых...		Опубликовано в журнале: «нло» 2002, №54 Кроме того, в инженерном режиме появляются также возможности определения порядка вычислений при помощи скобок, осуществления побитовых...
	Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Кроме того, в инженерном режиме появляются также возможности определения порядка вычислений при помощи скобок, осуществления побитовых...		Предисловие введение чем не является эта книга Кроме того, в инженерном режиме появляются также возможности определения порядка вычислений при помощи скобок, осуществления побитовых...
	7. "Другая история": создание растения, ботаники, систематики Кроме того, в инженерном режиме появляются также возможности определения порядка вычислений при помощи скобок, осуществления побитовых...		Отдых с детьми от 5 до 10 лет Отдых детей от 10 до 16 лет Особенности... Ваш выбор страны отдыха не связан со школьной программой, не забудьте посвятить достаточно времени, например, изучению пирамид и...
	Заявление о самостоятельном характере выполнения выпускной квалификационной работы Кроме того, в инженерном режиме появляются также возможности определения порядка вычислений при помощи скобок, осуществления побитовых...		Примерные программы дисциплин базовой части общенаучного цикла Кроме того, в инженерном режиме появляются также возможности определения порядка вычислений при помощи скобок, осуществления побитовых...
	Тема урока «Письменная нумерация в пределах 1000. Приёмы устных вычислений» Сегодня на уроке мы повторим с вами нумерацию чисел в пределах 1000 и познакомимся с приёмами устных вычислений		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Рф и буп (утвержденным приказом мо и н рт №154/12 от 09. 07. 2012 г.) к учебникам «Алгебра» 8 класса (авторы Ю. Н. Макарычев, Н....