По статье из Stanford Encyclopedia of Philosophy
Скачать 0.51 Mb.
|
| Философия математики (по статье из Stanford Encyclopedia of Philosophy; §§ 1 — 3 — пер. К. Куюмжиян; §§ 4 — 5 — пер. М. Панова) 1. Философия математики, логики и основания математики. С одной стороны, философия математики занимается задачами, тесно связанными с центральными проблемами метафизики и эпистемологии. На первый взгляд кажется, что математики изучают абстрактные сущности. Зададимся вопросами, в чем же содержится природа математических сущностей и как мы можем их познать. Если считать, что на эти вопросы нет ответа, то можно хотя бы попытаться проверить, могут ли математические объекты в том или ином смысле принадлежать миру реальных вещей. С другой стороны, оказалось, что до некоторой степени можно применить математические методы для решения философских вопросов, связанных с математикой. Постановка, в которой это было реализовано – это математическая логика в той формулировке, в которой она содержит теорию доказательства, теорию моделей, теорию множеств и теорию вычислимости как подтеории. Таким образом, двадцатый век стал свидетелем математического постижения последствий, возникающих тогда, когда базовые философские теории обращаются к природе математики. Когда профессиональные математики изучают основания своей науки, то говорят, что они заняты фундаментальными исследованиями. Когда профессиональные философы изучают философские вопросы, затрагивающие математику, то говорят, что они вносят вклад в философию математики. Конечно, граница между философией математики и основаниями математики довольно размытая, и больше всего взаимодействия на этой границе между философами и математиками, занимающимися математической логикой и изучающими вопросы, относящиеся к природе математики. 2. Четыре школы Основное философское и научное мироощущение 19 века было обращено к эмпирике. Платонистические аспекты рационалистических теорий быстро теряли поддержку. С особенно большим подозрением смотрели на когда-то высоко ценимый институт рациональной интуиции. Поэтому появилась задача – сформулировать философскую теорию математики, свободную от платонистических элементов. В первые 30 лет двадцатого века появились три неплатонистических подхода к математике: логицизм, формализм и интуиционизм. В начале двадцатого века возникла еще четвертая программа – предикативизм. По вине исторических обстоятельств её настоящий потенциал не был раскрыт до 60х годов двадцатого века. Однако же она вполне заслуживает место рядом с тремя традиционными школами. 2.1 Логицизм Основная идея логицизма состоит в сведении математики к логике. Так как считается, что логика нейтральна по отношению к онтологическим материям, то эта идея внешне гармонировала с антиплатонистической атмосферой эпохи. Утверждение, что математика – это логика во мраке, восходит к Лейбницу. Но серьезная попытка разработать программу логицизма в деталях смогла быть сделана только в 19 веке, когда были пошагово изложены основные принципы центральных математических теорий (Дедекиндом и Пеано) и когда были открыты основные законы логики (Фреге). Фреге посвятил большую часть своей карьеры попыткам показать, как математику можно свести к логике (Frege 1884). Ему удалось вывести начала арифметики Пеано (второго порядка) из основных законов системы логики второго порядка. Его вывод был безупречен. Однако он опирался в своём выводе на одно утверждение, про которое через некоторое время стало ясно, что это не логический закон. Хуже того, оно противоречиво. Это утверждение -- V Основной Закон Фреге: {x|Fx}={x|Gx} ≡ ∀x(Fx ≡ Gx). Словами его можно выразить так: множество Fs объектов s, удовлетворяющих свойству F, такое же точно, как множество Gs объектов s, удовлетворяющих свойству G, тогда и только тогда, когда Fs – это в точности Gs. В известном письме Рассела к Фреге Рассел показывает, что из V Основного Закона можно вывести противоречие (Russell 1902). Это рассуждение стало известно как парадокс Рассела (см. раздел 2.4). Затем Рассел сам попытался другим способом свести математику к логике. Из V Основного Закона Фреге следует, что для любого свойства математических объектов существует класс математических объектов, обладающих этим свойством. Очевидно, это слишком сильное утверждение. Ровно это следствие привело к парадоксу Рассела. Поэтому Рассел постулирует, что только те свойства математических объектов, про которые уже известно, что есть объекты, удовлетворяющие этому свойству, задают классы. Предикаты, неявным образом ссылающиеся на класс, который они должны были бы задавать, если бы такой класс существовал, не задают класс. Таким образом получается структура свойств, разбитая на типы: свойства фундаментальных объектов, свойства фундаментальных объектов и классов фундаментальных объектов, и так далее. Типизированная структура свойств задает многоуровневый мир математических объектов, начинающийся с фундаментальных объектов, расширяющийся до классов фундаментальных объектов, затем до классов рассмотренных вместе фундаментальных объектов и классов фундаментальных объектов, и так далее. К сожалению, Рассел обнаружил, что законы его типизированной логики недостаточны даже для того, чтобы вывести основные законы арифметики. Расселу было надо, помимо всего остального, предположить в качестве основного принципа, что существует бесконечное множество фундаментальных объектов. Этот постулат довольно трудно назвать логическим. Таким образом, вторая попытка свести математику к логике также не увенчалась успехом. На этом всё остановилось более, чем на 50 лет. В 1983 году появилась книга Криспина Райта по теории Фреге натуральных чисел (Wright 1983). В ней Райт дает новую жизнь логицистическому проекту. Он утверждает, что процесс получения Фреге арифметики Пеано второго порядка можно разбить на два этапа. На первом этапе Фреге использует противоречивый Основной Закон Фреге V, с помощью которого получает утверждение, известное, как принцип Хьюма: число элементов Fs = числу элементов Gs ≡ F≈G, где F≈G означает, что между Fs и Gs есть взаимно-однозначное соответствие. (Отношение взаимно-однозначного соответствия может быть выражено в логике второго порядка.) Далее на втором этапе принципы арифметики Пеано второго порядка получаются из принципа Хьюма и принятых принципов логики второго порядка. В частности, Основной Закон V не нужен для второго этапа. Более того, Райт предположил, что в отличие от Основного Закона V принцип Хьюма непротиворечив. Георг Булос и другие доказали, что принцип Хьюма действительно непротиворечив (Boolos 1987). В продолжение этого, Райт заявил, что принцип Хьюма можно рассматривать как логически верный. Если так, то как минимум арифметика Пеано второго порядка сводима к одной лишь логике. Так появилась новая форма логицизма, сейчас эта точка зрения известна как неологицизм (Hale & Wright 2001). Большинство философов математики в настоящее время сомневаются, что принцип Хьюма является законом логики. Действительно, даже Райт в последние годы пытался уточнить это утверждение. Но работа Райта как минимум привлекла внимание философов математики к законам такого сорта, как V Основной Закон и принцип Юма. Эти законы называются законами абстракции. Сйчас философы математики пытаются построить общую теорию законов абстракции, объясняющую, какие законы абстракции допустимы, а какие – нет, и почему (Weir 2003). 2.2 Интуиционизм Интуиционизм зародился в работах математика Л.Э.Я. Брауэра (см. van Atten 2004). Согласно интуиционизму, математика по сути есть построение. Натуральные числа есть умственные конструкции, вещественные числа есть умственные конструкции, доказательства и теоремы суть умственные конструкции, математический смысл есть умственная конструкция, и т. д.. Математические конструкции создаются идеальным математиком, то есть абстрагированным от окружения и физических ограничений, накладываемых на настоящего живого математика. Но даже идеальный математик остается конечным бытиём. Он никогда не может завершить бесконечное построение, даже если он может выполнить сколь угодно большую, но конечную, его начальную часть. (Брауэр делает исключение для интуиции вещественной прямой.) Из этого следует, что интуиционизм во многом отвергает существование актуальной (или законченной) бесконечности, в основном в процессе построения образуются только потенциально бесконечные наборы. Самым основным примером является последовательное построение во времени натуральных чисел по одному. Отталкиваясь от этих основных положений про природу математики, интуиционисты переходят к ревизионистской работе над логикой и математикой. Они считают неконструктивные доказательства существования недопустимыми. Неконструктивные доказательства существования – это такие доказательства, которые ставят целью показать существование математического объекта с заданным свойством, даже неявно не показывая, при помощи какого метода можно получить пример такого объекта. Интуиционисты отвергают неконструктивные доказательства существования как «теологические» и «метафизические». Характерным свойством неконструктивных доказательств существования является то, что в них существенно используется принцип исключенного третьего: φ ∨ ¬φ, или один из эквивалентных ему, например, принцип двойного отрицания: ¬¬φ → φ. В классической логике эти принципы верны. Логика интуиционистской математики получается путем выбрасывания принципа исключенного третьего (и эквивалентных ему) из классической логики. Конечно, это приводит к пересматриванию всего математического знания. Например, классическая теория элементарной арифметики - арифметика Пеано - не может быть принята. Вместо неё предлагается интуиционистская теория арифметики, называемая арифметикой Гейтинга. Она не содержит принципа исключенного третьего. Хотя интуиционистская элементарная арифметика и слабее, чем классическая теория арифметики, различие между ними не так уж велико. Существует простая синтаксическая процедура, переводящая все классические теоремы арифметики в теоремы, доказуемые интуиционистски. В первые десятилетия двадцатого века часть математического сообщества была благожелательна по отношению к интуиционистской критике классической математики и к той альтернативе, которая предлагалась взамен. Однако ситуация изменилась, когда стало ясно, что в высшей математике интуиционистский вариант очень сильно отличается от классической теории. Например, интуиционистский математический анализ – довольно запутанная теория, существенно отличающаяся от классического математического анализа. Это убавило энтузиазма математическому сообществу по отношению к интуиционистскому проекту. Однако последователи Брауэра продолжают развивать интуиционистскую математику и по сей день (Troelstra & van Dalen 1988). 2.3 Формализм. Давид Гильберт, как и интуиционисты, считал верным тот факт, что натуральные числа являются основой математики. Но в отличие от интуиционистов Гильберт не рассматривал натуральные числа как умственные конструкции. Наоборот, он утверждал, что натуральные числа можно принять как символы. Символы являются абстрактными сущностями, но, возможно, какие-то физические сущности могут сыграть роль натуральных чисел. Например, мы можем принять конкретный чернильный штрих формы | за число 0, конкретный штрих || за число 1, и так далее. Маловероятным, по мнению Гильберта, является то, что высшая математика может быть непосредственно интерпретирована в похожей простой и, возможно, даже конкретной форме. В отличие от интуиционистов, Гильберт не был подготовлен к тому, чтобы пересматривать существующий аппарат математического знания. Наоборот, он занял инструменталистскую позицию по отношению к высшей математике. Он считал, что высшая математика – не более, чем формальная игра. Утверждения математики высшего уровня – это не получившие толкования строки символов. Доказательство таких утверждений – не более чем игра, в которой с символами оперируют по заданным правилам. Смысл «игры в высшую математику» состоит с точки зрения Гильберта в доказательстве утверждений элементарной математики, которые имеют прямую интерпретацию (Hilbert 1925). Гильберт считал, что обоснованные сомнения насчет здравости классической арифметики Пеано – или как минимум насчет здравости той её подсистемы, которая называется Примитивная Возвратная Арифметика (Tait 1981) - невозможны. Он считал, что любое арифметическое утверждение, которое может быть доказано с выходом в высшую математику, также может быть непосредственно доказано в арифметике Пеано. То есть он был глубоко убеждён, что любое доказательство из области элементарой арифметики может быть выведено из аксиом арифметики Пеано. Конечно, решение арифметических задач в рамках арифметики в некоторых случаях практически невозможно. История математики показывает, что выход в высшую математику в некоторых случаях может привести к доказательству арифметического утверждения, которое будет значительно короче и даст гораздо больше понимания, чем любое чисто арифметическое доказательство этого же утверждения. Гильберт, хоть и немного смутно, понимал, что некоторые из его убеждений могут рассматриваться как математические гипотезы. Действительно, доказательство в формальных системах высшей математики или элементарной арифметики – это конечный комбинаторный объект, который можно закодировать натуральным числом. Но в 1920-х годах еще не были как следует поняты детали кодирования доказательств натуральными числами. С точки зрения формализма, минимальное требование к формальной системе высшей математики – чтобы она была непротиворечива. В противном случае в этой системе можно будет доказать любое утверждение элементарной арифметики. Гильберт также понимал (опять же, нечетко), что непротиворечивость системы высшей математики влечёт за собой тот факт, что эта система хотя бы частично арифметически обоснована. Поэтому Гильберт и его ученики начали доказывать такие утверждения, как непротиворечивость стандартных аксиом математического анализа. Конечно, утверждения подобного сорта надо доказывать на базе «безопасной» части математики, такой, например, как арифметика. Иначе доказательство не увеличит нашу убежденность в непротиворечивости математического анализа. И, к счастью, казалось возможным в целом это сделать, так как в конечном счете все утверждения о непротиворечивости по модулю кодирования суть арифметические утверждения. Если быть точным, таким образом Гильберт с учениками попытались доказать непротиворечивость, например, аксиом математического анализа в классической арифметике Пеано. Этот проект известен как программа Гильберта (Zach 2006). Оказалось, что это гораздо сложнее, чем они ожидали. В действительности им даже не удалось доказать непротиворечивость аксиом арифметики Пеано в арифметике Пеано. Затем Курт Гёдель показал что существуют арифметические утверждения, неразрешимые в арифметике Пеано (Gödel 1931). Это утверждение стало известно как первая теорема Гёделя о неполноте. Это не сулило ничего хорошего программе Гильберта, однако оставалась вероятность, что непротиворечивость высшей математики не есть одно из таких неразрешимых утверждений. К сожалению, вскоре Гёдель осознал, что если только (Боже упаси!) арифметика Пеано непротиворечива, то её непротиворечивость не зависит от самой арифметики. Это называется второй теоремой Гёделя о неполноте. Теоремы Гёделя о неполноте оказались в целом применимыми ко всем достаточно сильным, но непротиворечивым рекурсивным аксиоматизируемым теориям. Из них вместе следует, что программа Гильберта неосуществима. Оказывается, что высшую математику нельзя определить чисто инструментальным образом. Высшая математика может доказывать арифметические утверждения, которые находятся далеко за границами арифметики Пеано, такие как утверждения о непротиворечивости. Всё это еще не означает смерть формализма. Даже зная о теоремах о неполноте, можно разделять убеждения, что математика – это наука формальных систем. Одна из версий этой точки зрения была предложена Карри (1958). Согласно ей, математика состоит из набора формальных систем, у которых нет ни интерпретации, ни вещественной реализации. (Здесь Карри делает исключение для метаматематики.) Относительно некоторой формальной системы можно сказать, что утверждение верно тогда и только тогда, когда его можно вывести в этой системе. Но на фундаментальном уровне все математические системы равны. В том, почему мы предпочтем одной системе другую, могут быть не более чем прагматические причины. В противоречивых системах можно доказать любое утверждение, поэтому они совершенно бесполезны. Поэтому если обнаруживается, что система противоречива, то необходимо её модифицировать. Урок, полученный из теорем Гёделя о неполноте, заключается в том, что в достаточно сильной непротиворечивой системе нельзя доказать её собственную непротиворечивость. Существует канонический недостаток формалистской позиции Карри. В действительности математики не рассматривают все гипотетически верные формальные системы как равные. Большинство из них, например, не желает допускать, что превосходство тех арифметических систем, в которых арифметическое утверждение, означающее непротиворечивость арифметики Пеано, выводимо, перед теми, в которых выводимо его отрицание, объяснимо только прагматическими причинами. Математики предпочитают поддерживать убеждение, что воспринимаемая корректность (некорректность) определенных формальных систем в конечном счёте объясняется тем, что они корректно (некорректно) описывают определенные сущности. Детлефсен подчеркивает, что теоремы о неполноте не препятствуют тому, что непротиворечивость тех частей высшей математики, которые в действительности используются для решения арифметических задач, интересных математикам, может быть установлена арифметически (Detlefsen 1986). В этом смысле, вероятно, можно спасти что-то из огня, даже если инструменталистский подход Гильберта по отношению к высшей математике в целом оказался в конце концов несостоятельным. Другая попытка спасти часть программы Гильберта была сделана Исааксоном (1987). Он защищает ту точку зрения, что в некотором смысле арифметика Пеано всё же полна. Он доказывает, что верные утверждения, неразрешимые в арифметике Пеано, могут быть доказаны только средствами идей высшего порядка. Например, непротиворечивость арифметики Пеано можно доказать при помощи трансфинитной индукции, то есть индукции до некоторого трансфинитного ординального числа (Gentzen 1938). Но понятие ординального числа является теоретико-множественным, то есть не арифметической идеей. Если все способы доказать непротиворечивость арифметики существенно используют понятия, которые принадлежат математике высших порядков, то непротиворечивость арифметики, даже если её можно выразить языком арифметики Пеано, является не арифметической задачей. Обобщая, можно задаться вопросом, может ли гипотеза Гильберта, что любая задача арифметики разрешима в рамках арифметики Пеано, всё же не быть верной. |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Steve Jobs' 2005 Stanford Commencement Address Видео подкаст, по жанру – учебный, по цели – формирование навыков, развитие умений | | Karl h. Pribram stanford university Росспорта от 12. 12. 2006 г. № Ск-02-10/3685 «Методические рекомендации по организации деятельности спортивных школ в Российской... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... В статье рассматриваются возможности икт в коррекционно-развивающей работе учителя-логопеда. Особенности применения икт технологий... | | Реферат статьи В статье представлен анализ динамики развития теорий межличностной коммуникации. Причем акцент делается именно на коммуникативные... |
| Программа дисциплины «современная философия» для направления 41. 04. 04 «Политология» Программа предназначена для преподавателей, ведущих дисциплину «Современная философия» истудентов направления 41. 04. 04 «Политология»... | | А. С. Серебряков в статье показаны история образования и этапы развития... В статье показаны история образования и этапы развития института, отражены основные направления деятельности |
 | В статье рассматриваются основные вопросы применения технологии педагогических... В статье рассматриваются основные вопросы применения технологии педагогических мастерских на уроке информатики в 7 классе, и предлагается... | | Н. В. Лукина огкоу «Никольская школа-интернат» В статье рассматриваются направления деятельности дефектолога в преодолении нарушений социализации |
| Название раздела, темы уроков Составление вопросов к статье учебника, беседа, анкетирование, письменный ответ на вопрос | | Задачами Аннотация. В статье рассматриваются вопросы применения информационных технологии для организации урочной и внеурочной деятельности... |
| Руководство для покупателей оборудования В статье подведены итоги посещения технической выставки и общения с представителями компаний-экспонентов] | | Задания студентам магистерской программы «Лидерство и управление» Группа 01 Подготовка и размещение видео-презентации о книге/статье на авторском канале You-Тube |
| Астрофизика и частотное измерение В настоящей статье проводиться "широкий" анализ астрофизики, как с позиций классической физики, так и "частотного измерения" | | Реферат к статье Подземная разведка с помощью прибора ига-1 и опыт его использования при проектировании и подготовке площадок под строительство |
| Курсы валеологии Назначение Перечень основных претензий к валеологам, изложенных в открытом «Письме 140» и в статье «Валеология – религия XXI века» | | Викторина игра на спортивную тему Перечень основных претензий к валеологам, изложенных в открытом «Письме 140» и в статье «Валеология – религия XXI века» |
