Статья написана на основе рефератов, представленных студентами первого курса кафедры Прикладной математики в соответствии с заданием по дисциплине 'Введение в специальность ' (группа 8650 приема 1985 года).

ВЕКОВЫЕ СТУПЕНИ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ (от Пифагора до Птолемея) под редакцией Кочегурова Владимира Александровича (г. Томск, Томский политехнический университет) CENTURY STEPS OF APPLIED MATHEMATICS (from Pythogor to Ptolomeus) under editorship of Kochegurov (Tomsk, Tomsk Polytechnic University) Статья написана на основе рефератов, представленных студентами первого курса кафедры Прикладной математики в соответствии с заданием по дисциплине 'Введение в специальность ' (группа 8650 приема 1985 года). Рефераты написаны почти 30 лет назад, но, на мой взгляд, представляют интерес для студентов, выбравших специальность Прикладная математика. Моя редакция носит формальный характер, на авторство я не претендую. Ключевые слова: геометрия, теорема, техника вычислений, прикладная математика. This article was written on basis of freshmen’s abstracts. The abstracts were written in 1985 year about thirty years ago according to task of the subject ‘Introduction in Applied Mathematics’ but in my opinion they represent interest to the students of Applied Mathematics speciality. My editorship is formal and I do not pretend on authorship. Key words: geometry, theorem, calculation technic, applied mathematics Астрономы и физики раньше других поняли, что математические методы для них не только способы вычислений, но и один из основных путей проникновения в существо изучаемых ими закономерностей. В наше время математизацией знаний математика совершает своеобразный победный марш. В результате многие науки и области знания до самого последнего времени находившиеся вдали от использования математических средств , теперь усиленно стремятся наверстать упущенное. Причина такого внимания к математике, конечно, не в приходящей моде, а в том, что качественное изучение явлений природы, техники, экономики зачастую оказывается недостаточным. Как можно создать автоматически работающую вычислительную машину, если имеются только общие представления о длительности последействия передаваемых импульсов на элементы? Как можно автоматизировать процесс выплавки стали или крекинга нефти без знания точных количественных закономерностей этих процессов? Вот почему автоматизация вызывает дальнейшее развитие математики, оттачивание ее методов для решения огромного числа новых и трудных проблем. Роль математики в развитии других наук и в практических областях деятельности человека невозможно установить на все времена. Изменяются не только те вопросы, которые требуют скорейшего решения, но и характер решаемых задач. Создавая математическую модель реального процесса, мы неизбежно упрощаем его и изучаем лишь приближенную схему. По мере уточнения наших знаний и выяснения роли ранее не учтенных факторов удается сделать более полным математическое описание процесса. Процедуру уточнения нельзя ограничить, как нельзя ограничить самого знания. Математизация науки состоит не в том, чтобы исключить из процесса познания наблюдение и эксперимент. Они являются непременными составными частями полноценного изучения явлений окружающего нас мира. Смысл математизации знаний состоит в том, чтобы из точно сформированных исходных предпосылок выводить следствия, доступные непосредственному наблюдению, с помощью математического аппарата не только описывать установленные факты, но и предсказывать новые закономерности, прогнозировать течение явлений, и тем самым получать возможность управлять ими. Если эти предсказания оправдываются, теория укрепляет свое положение и продолжает дальнейшие выводы. Но, поскольку, математическая теория того или иного явления всегда приближенна, рано или поздно наступает момент, когда какое-то следствие теории не подтверждается. Эксперимент или какой-то новый факт не всегда объясняется теорией. Значит математическая теория оказалась недостаточной. Необходим пересмотр исходных предпосылок теории, изменение положений, которые раньше казались незыблемыми. Такой пересмотр приводит к новой теории, способной шире и глубже проникнуть в структуру изучаемых явлений. Математизация наших знаний состоит не только и не столько в том, чтобы использовать готовые математические методы и результаты, а в том чтобы начать поиски того специфического аппарата, который бы позволил наиболее полно описать интересующий нас круг явлений, выводить из того описания новые следствия, чтобы уверенно использовать особенности этих явлений на практике. Так случилось в период, когда изучение движения стало насущной необходимостью, а Ньютон и Лейбниц завершили создание начал математического анализа. Этот математический аппарат до сих пор является одним из основных орудий прикладной математики. В наши дни разработка теории управления процессами привела к ряду выдающихся математических исследований, в которых заложены основы оптимального управления детерминированными и случайными процессами. Двадцатый век резко изменил представления о прикладной математике. Раньше в арсенал средств прикладной математики входили арифметика и элементы геометрии. 18 и 19 века добавили к ним мощные методы математического анализа. В наше время трудно указать хотя бы одну значительную ветвь современной математики, которая в той или иной мере не находила бы применение в великом океане прикладных проблем. По-видимому, разделение математики на прикладную и теоретическую потеряло смысл. Скорей всего не математика, и математики разделяются по своим интересам и творческой направленности, на прикладников и теоретиков. Одни считают своей основной задачей преодоление трудностей, связанных с решением задач, которые не поддавались усилиям прежних поколений. Эти задачи интересуют их сами по себе, они связаны не только с прикладными вопросами, но и с прогрессом математики в целом. Других волнует построение математики в ее основах. Они стремятся так отшлифовать центральные понятия математики, чтобы охватить ими возможно более широкий круг задач. Есть математики, для которых математики и ее методы существуют не ради самих себя, а в качестве орудия познания законов природы. Конкретная практическая задача для них – лишь источник для размышлений. Решая ее они разрабатывают общие приемы, позволяющие освещать широкий круг различных вопросов. Такой подход особенно важен для процессв науки. От этого выигрывает не только данная область приложений, но и все остальные, а в первую очередь, саамам теоретическая математика. Именно такой подход к математике заставляет искать новые методы, новые понятия, способные озватить новый круг проблем; он расширяет область математических исследований. Последние десятилетия дают нам множество примеров подобного рода. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить появление в математике таких теперь центральных ее ветвей как теория случайных процессов, теория информации, теория оптимального управления процессами, теория массового обслуживания, ряд областей , связанным ЭВМ. Математик-прикладник обязан владеть существом реальной задачи, уметь выбрать математический инструмент, который лучше всего подходит к ней, а если такого инструмента не существует, то разработать его, построить разумную математическую модель изучаемого процесса, вывести из нее необходимые следствия и найти их истолкование. Настоящий математик-прикладник не может ограничиться каким-либо одним методом и втискивать реальную проблему в известный ему математический аппарат, для каждой реальной проблемы он должен находить те математически средства, которые наиболее соответствуют природе. И прав Архимед, сказав, что по сравнению с чистыми геометрами он сделал шаг дальше, указав также на нематематические следствия из теоремы о параболе. Сейчас больше, чем когда-либо в прошлом, важно выяснить особенности прикладной математики. К сожалению, даже среди весьма способных математиков, интересующихся лишь абстрактно-теоретическими вопросами, существует своеобразное презрение к занятиям математика-прикладника. Они полагают, что прикладными вопросами могут заниамться лишь бесталанные люди, которые не могут дать ничего полезного абстрактной математике. Это ошибочная и, несомненно, вредная точка зрения. Математик-прикладник, не узкий ремесленник, а творец очень высокого ранга. Ему необходимо знакомство не только с математикой, но и глубокое знание предмета прикладного исследования. Он должен создать математическую модель изучаемого явления и найти, а в ряде случаев просто изобрести, новые методы исследования. Последние годы дают нам многочисленные примеры, когда вопросы практики даже очень узкие и недостаточно сформулированные, приводили к созданию новых областей математических исследований и к глубокому преобразованию наших взглядов на содержание и задачи математики. Так, в течение тысячелетий многочисленными безвестными тружениками закладывался фундамент современной математики. Постепенно люди научились выполнять арифметические действия с целыми числами, а затем и с рациональными дробями, научились правильно вычислять площади довольно сложных фигур и объемы простейших тел. Уже в ту пору люди изобрели вспомогательные средства для упрощения взаимных расчетов, пусть эти изобретения очень примитивны, но их создание стало важным элементом человеческой культуры. И если теперь человечество знает гораздо больше и мечтает о решении проблем, которые совсем недавно казались фантастикой, то в этом заслуга предшествующих поколений, на опыте которых базируются наши знания. Примитивный математический аппарат, вызванный к жизни несложными потребностями охотника, скотовода, земледельца и воина тех далеких времен, оказался явно недостаточным. Когда начала развиваться астрономия, далекие путешествия потребовали разработки методов ориентации в пространстве. Жизненная практика и практика развивающихся естественных наук стимулировала дальнейшее развитие математики. И действительно, в течение каких-нибудь двухсот лет в Древней Греции был сделан принципиально новый шаг – математика стала формироваться как дедуктивная наука. В культурном развитии человечества произошел скачок, равный которому трудно найти на протяжении всей истории научных знаний. Математика развивается. В ней строятся новые кварталы и сносятся устаревшие здания. Многие мелкие строения объединяются в единые комплексы, а между отдаленными областями проводятся дороги взаимосвязи. Этот своеобразный мир растет вширь и вверх. Но, что особенно важно, он не замыкается в себе, а стремится установить дружеские связи с другими областями знания и оказать им посильную помощь. Естественно, что в таком большом хозяйстве время от времени приходится проводить не только мелкие ремонтные работы, но и капитальную перестройку, чтобы устаревшие здания и мелкие улицы не мешали дальнейшему развитию целого района. Время от времени математикам приходится окинуть взглядом всю математику и ее место в системе наук. Пройдемте и мы по вековым ступеням ее развития на этапе прошлого тысячелетия. Начнем с геометрии. В течение последних столетий второго тысячелетия до н.э. в бассейне Средиземного моря и в прилежащих к нему областях очень многое изменилось в экономике и политике. Бронзовый век сменился тем нашим веком, который мы зовем веком железа, и происходило это в смутное время переселений и войн. Вытеснение бронзы железом означало не только переворот в военном деле, но и ускорение роста экономики благодаря удешевлению средств производства, и это сделало возможным более деятельное участие широких слоев общества в делах экономического и общественного значения. Это сказалось и в двух важных новшествах: в замене неудобного письма Древнего Востока легко доступным алфавитом и во введении чеканной монеты, что послужило оживлению торговли. Наступило то время, когда культурные ценности уже не могли дальше оставаться исключительным достоянием восточного чиновничества. Деятельность «морских разбойников» - так египетские тексты характеризуют некоторые переселяющиеся народа – первоначально сопровождались некоторыми культурными потерями. Критская цивилизация исчезла, египетское искусство пришло в упадок, наука Вавилона и Египта окостенела на столетия. Мы не имеем никаких математических текстов этого периода. Когда положение снова стало устойчивым, древний Восток оправился, оставаясь, в основном, верным традициям, но было расчищено место для цивилизации целиком нового склада – греческой цивилизации. Те города, КОТОРЫЕ ВОЗНИКЛИ НА ПОБЕРЕЖЬЕ Малой Азии и в самой Греции, уже не были административными центрами страны оросительного земледелия. Это были торговые города, где феодалы-землевладельцы были обречены на поражение в борьбе, которую им довелось вести с независимым, обретшим политическое самосознание классом купцов. Новый общественный уклад создал новый тип человека. Купец-путешественник жил в период географических открытий. Он не признавал ни абсолютного монарха, ни власти, предстающей в виде охранительного божества. А кроме того он мог пользоваться известным досугом благодаря своему богатству и труду своих рабов. Он мог поразмыслить об окружающем его мире; отсутствие вполне установившейся религии привело многих обитателей этих прибрежных городов к мистицизму, но это способствовало и противоположному – росту рационализма и научному подходу. Современная математика родилась в этой атмосфере ионийского рационализма – математика, которая ставила не только восточный вопрос – «как?», но и современный научный вопрос – «почему?». Согласно преданию отцом греческой математики является купец, милетский философ Фалес, в первой половине 6 века до н.э. посетивший Вавилон и Египет. Но если он даже целиком легендарная фигура, то за нею стоит нечто вполне реальное. Это – образ, соответствующий тем условиям, в которых закладывались основы не только современной математики, но и всей современной науки и философии. Первоначально греки занимались математикой, имея одну основну цель – понять, какое место во вселенной занимает человек в рамках некоторой рациональной схемы. МАТЕМАТИКА ПОМОГЛА НАЙТИ ПОРЯДОК В ХАОСЕ, СВЯЗАТЬ ИДЕИ В ЛОГИЧЕСКИЕ ЦЕПОЧКИ, ОБНАРУЖИТЬ ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ. ОНА БЫЛА НАИБОЛЕЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ИЗ ВСЕХ НАУК. В шестом веке до н.э. на развалинах Ассирийской империи возникла новая обширная восточная держава – Персия Ахеменидов. В обстановке общественной и политической борьбы философы и наставники излагали свою теорию и заодно новую математику. Впервые в истории группа критически мыслящих «софистов» стала рассматривать проблемы математического характера скорее с целью уяснения их сути, чем ради пользы. Так как такой подход позволил софистам дойти до основ точного мышления вообще, было бы чрезвычайно поучительно познакомиться с их рассуждениями. К несчастью, до этого периода дошел лишь один цельный математический фрагмент, принадлежащий ионийскому философу Гиппократу из Хиоса. Математические рассуждения в этом фрагменте на весьма высоком уровне и достаточно типично то, что в нем рассматривается совсем «непрактический», но теоретически существенный вопрос о так называемых луночках – плоских фигурах, ограниченных двумя круговыми дугами. Этот вопрос – найти площадь таких луночек, у которых площадь рационально выражается через диаметр, - имеет прямое отношение к центральной проблеме греческой математики – квадратуре круга. Анализ этой проблемы у Гиппократа показывает, что у математиков золотого века Греции была упорядоченная система плоской геометрии, в которой в полном объеме применялся принцип логического заключения от одного утверждения к другому («апагоге»). Были заложены аксиоматики, на что указывает название приписываемой Гиппократу книги «Начала», название всех греческих аксиоматических трактатов, включая трактат Евклида. Гиппократ исследовал площади плоских фигур, ограниченных как прямыми линиями, так и дугами окружности. Он учит, что площади подобных круговых сегментов относятся как квадраты стягивающих их хорд. Он знает теорему Пифагора, а также соответствующее неравенство для прямоугольных треугольников. Весь его трактат уже мог бы быть отнесен к евклидовой традиции, если бы он не был старше Евклида более чем на столетие. Проблема квадратуры круга – одна из самых знаменитых «математических проблемы античности», которые в этот период стали предметом исследования. Эти проблемы таковы. Трисекция угла, то есть разделение любого заданного угла на три части. Удвоение куба, то есть определение ребра такого куба, который имел бы объемы вдвое больше объема заданного куба. (так называемая делийская задача). Квадратура круга, то есть нахождение такого квадрата, площадь которого была бы равна площади данного квадрата. Значение этих проблем в том, что их нельзя точно решать геометрически с помощью конечного числа построений прямых линий и окружностей – это можно сделать только приближенно – вследствие чего эти проблемы стали средством для проникновения в новые области математики. В связи с этими проблемами были открыты конические сечения, некоторые кривые третьего и четвертого порядка и трансцендентная кривая, названная квадратиссой. Математики разных эпох, включая нашу, показали, какая связь существует между этими греческими проблемами и современной теорией уравнений, связь, затрагивающая вопросы об областях рациональности, алгебраические числа и теорию групп. Вероятно от группы софистов, которые в некоторой степени были связаны с демократическим движением, отмежевалась другая группа философов с математическими интересами, примыкающая к аристократическим объединениям. Они называли себя пифагорийцами в честь основателя этой школы – Пифагора. Пифагор считал, что в основе всего мироздания лежит число. Интерес Пифагор и его школы к свойствам чисел стал источником позднейшей истории чисел. Память об этом сохранена в названии таблицы Пифагора. Пифагор искал числовые соотношения в геометрических построениях. Ему был известен так называемый египетский треугольник со сторонами, выраженными числами 3, 4, 5. Египтяне знали, что это прямоугольный треугольник и употребляли его для определения прямых углов при восстановлении разливами Нила границ земельных участков. Пифагор показал зависимость между сторонами египетского треугольника, которая выражается формулой 32 + 42 = 52. Занимаясь поисками треугольников, стороны которых равны a, b, c, Пифагор вывел формулы, которые в современной символике могут быть выражены так: , где с означает произвольное целое число. Оказалось, что всякий треугольник с такими сторонами является прямоугольным треугольником. Теперь прямоугольные треугольники со сторонами, выраженными натуральными числами, мы называем пифагорийскими треугольниками. Пифагору приписывается открытие теоремы, согласно которой квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равен сумме квадратов, построенных на его катетах. Это так называемая терема Пифагора. Вначале считали, что стороны каждого прямоугольного треугольника можно выразить такими натуральными числами a, b, c, которые будут удовлетворять формуле . Дальнейшие исследования математиков пифагорийской школы показали, что это не так. Например, равнобедренный прямоугольный треугольник, составляющий половину квадрата, не является пифагорийским треугольником, потому что нельзя найти такие три натуральных числа a, b, c, которые бы удовлетворяли условию при , . Для пифагорийцев это было ужасным открытием: вера в то, что все явления во Вселенной можно объяснить с помощью натуральных чисел, была подорвана. Открытие, что мир чисел противоположен миру геометрических построений, произвело такое большое впечатление, что сторонники пифагорийской школы сохранили это открытие в тайне и в дальнейших работах геометрические исследования всячески отделяли от арифметических. Это сильно тормозило развитие греческой арифметики, но в тоже время способствовало быстрому развитию геометрии. Второй исключительной по значению геометрической теоремой, приписываемой Пифагору, является теорема о сумме углов треугольника, равной двум прямым углам. Пифагор, как утверждает его ученик Прокл, с особенным увлечением занимался прогрессиями, как арифметическими, так и геометрическими. Поэтому, возможно, ему принадлежит идея так называемого пифагорийского круга. Считается также, что Пифагор первым сформулировал положение, что плоскость вокруг точки может быть полностью заполнена лишь тремя видами правильных многоугольников, а именно: равносторонними треугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками. Пифагору, наконец, должна быть известна очень важная теорема о том, что площади подобных фигур относятся друг к другу как квадраты соответствующих сторон. Если эта теорема действительно открыта Пифагором, то он мог решать и такие задачи, как построение плоских фигур, подобных одной из данных фигур и равных по площади одной из них. Вышеприведенное предположение очень правдоподобно, так как построением фигур, и не только плоских, Пифагор занимался с особым увлечением.

Похожие:

	Рефератов по дисциплине «введение в специальность» Темы рефератов по дисциплине «введение в специальность» (блок кафедры экономической теории и прикладной экономики) для студентов...		Программа курса адаптационного периода «Введение в школьную жизнь» Программа выстроена на основе курса «Введение в школьную жизнь» (авторы Г. А. Цукерман, К. Н. Поливанова), реализуется в начале сентября...
	Программа интегрированного курса адаптационного периода «Введение в школьную жизнь» Программа выстроена на основе курса «Введение в школьную жизнь» (авторы Г. А. Цукерман, К. Н. Поливанова), реализуется в начале сентября...		Адаптационный курс по математике для студентов первого курса Автор... Г. С. Меркин, С. А. Зинин, В. А. Чалмаев М., «Русское слово», 2010 и в соответствии с Федеральным компонентом государственного стандарта...
	Программа курса «политология: введение в специальность» На её основе выстраивается группа специальных курсов и политологических дисциплин, дополняются, развиваются и конкретизируются в...		Рефератов по дисциплине «Ведение в специальность» Задание по «Ведению в специальность» для студентов 1-го курса специальности «Электроснабжение» зфо
	Методические указания по педагогической практике «введение в специальность»... «Введение в специальность» педагогическая практика учебного характера. Данная практика предшествует практике «Пробные уроки и занятия»...		Рабочая программа по дисциплине Введение в специальность Дисциплина «Введение в специальность» является вводным предметом специальности «Организация перевозок и управление на транспорте...
	Программа курса «история и методология прикладной математики» Основные этапы развития математики: взгляды на периодизацию А. Н. Колмогорова и А. Д. Александрова. Формирование первичных математических...		Учебно-методический комплекс по дисциплине введение в специальность ...
	Рабочая программа по дисциплине В. В введение в специальность ...		Жохов В. И. Преподавание математики в 5 6 классах: методическое пособие Рабочая программа учебного курса математики для 5 класса составлена на основе Примерной программы основного общего образования по...
	Рабочая программа по дисциплине Введение в специальность Программой учебной дисциплины «Введение в специальность» предусматривается изучение основных вопросов развития страхования в Российской...		С правка-доклад по обстановке на территории Пермского края на 08. 00 08 августа 2013 года Курсовая работа по дисциплине «Бухгалтерский учет» выполняется студентами в соответствии с учебным планом на завершающем этапе обучения...
	Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «История... История отрасли и введение в специальность: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «История отрасли и введение...		Учебно-методический комплекс материалов по дисциплине «Введение в специальность» Целью изучения дисциплины является изучение студентами основного понятийного аппарата, а также овладение специальной терминологией,...