II. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

. II. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальное уравнение называется однородным, если оно представимо в виде . Данное уравнение решается подстановкой , при которой , . III. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение вида называется линейным. Данное уравнение решается методом Бернулли, при котором решение уравнения ищется в виде . Одна из функций ( или ) может иметь произвольный вид, а вторая функция находится в зависимости от первой: В силу произвольности функции можно выражение в скобках приравнять к нулю, тогда уравнение равносильно системе из двух уравнений: . Решая первое уравнение системы, находим , а затем решаем второе и находим . Дифференциальные уравнения второго порядка. I. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Уравнение вида решается последовательным двукратным интегрированием. Уравнение вида , не содержащее функцию в явной форме, подстановкой , приводится к виду и решается как дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение вида , не содержащее независимой переменной в явной форме, подстановкой , приводится к виду . II. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид , где - постоянные. Если - корни характеристического уравнения , то общее решение дифференциального уравнения имеет следующий вид: 1. Если - действительные числа, то . 2. Если - действительные числа, то . 3. Если - комплексные числа, то . III. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида , где - постоянные. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения является суммой общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения : . Частное решение для некоторых видов правых частей : 1. , где - многочлен степени : а) Если не совпадает с корнями характеристического уравнения, то , где - многочлен степени с неопределенными коэффициентами. б) Если совпадает ровно с одним из корней характеристического уравнения, то , где - многочлен степени с неопределенными коэффициентами. в) Если совпадает с двумя из корней характеристического уравнения, то , где - многочлен степени с неопределенными коэффициентами. 2. , где - многочлен степени , - многочлен степени : а) Если не совпадают с корнями характеристического уравнения, то , где , и - многочлены степени с неопределенными коэффициентами. б) Если совпадают с корнями характеристического уравнения, то , где , и - многочлены степени с неопределенными коэффициентами. Приложение 1. Некоторые элементарные функции. Частный случай: Частный случай: Приложение 2. Значения тригонометрических функций. 0 1 0 -1 0 1 0 1 0 -1 0 0 1 - -1 0 1 - -1 0 - 1 0 -1 - 1 0 -1 - Список литературы Ефимов А.В., Демидович Б.П. и др. Сборник задач по математическому анализу, ч.1,2. – 1986. Берман Н.Г. Сборник задачник по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1964-1977. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1962-1989. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление, ч.1,2 - М.: Наука, 1962-1988. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике, ч.1,2 - М.: Рольф, 2002. Валентина Андреевна Шефель Татьяна Эрнестовна Захарова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Учебное пособие (для студентов ИЭФ) Редактор: В.К.Трофимов Корректор: Д.С.Шкитина Подписано в печать формат бумаги 60х84/16, отпечатано на ризографе, шрифт №10, изд.лист , заказ № , тираж . СибГУТИ 630102, Новосибирск, ул.Кирова, 86

Похожие:

	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Общие сведения о линейных дифференциальных уравнениях линейные однородные уравнения n-го порядка Линейные неоднородные уравнения...		Скорпион 24 октября 22 ноября Уравнения 1 есть дифференциальные уравнения Навье1 – Стокса2 движения вязкой жидкости, являющиеся математическим описанием полей...
	Корреляционный анализ профиля Уравнения 1 есть дифференциальные уравнения Навье1 – Стокса2 движения вязкой жидкости, являющиеся математическим описанием полей...		Беседа «Сквернословие и здоровье» Цель Уравнения 1 есть дифференциальные уравнения Навье1 – Стокса2 движения вязкой жидкости, являющиеся математическим описанием полей...
	Томский Экзотариум, первый стационарный зоопарк Уравнения 1 есть дифференциальные уравнения Навье1 – Стокса2 движения вязкой жидкости, являющиеся математическим описанием полей...		Проверочная работа по теме «Организм человека» Уравнения 1 есть дифференциальные уравнения Навье1 – Стокса2 движения вязкой жидкости, являющиеся математическим описанием полей...
	На правах рукописи Игнатьев Алексей Александрович Уравнения 1 есть дифференциальные уравнения Навье1 – Стокса2 движения вязкой жидкости, являющиеся математическим описанием полей...		Конспект урока по теме «Скорость химических реакций» Уравнения 1 есть дифференциальные уравнения Навье1 – Стокса2 движения вязкой жидкости, являющиеся математическим описанием полей...
	«Группа 47» как явление немецкой послевоенной литературы Уравнения 1 есть дифференциальные уравнения Навье1 – Стокса2 движения вязкой жидкости, являющиеся математическим описанием полей...		Конспект открытого урока по естествознанию 3 «б» класс Тема: «Органы дыхания» Уравнения 1 есть дифференциальные уравнения Навье1 – Стокса2 движения вязкой жидкости, являющиеся математическим описанием полей...
	Тема: Опора тела и движение. Осанка – стройная спина! Цели Уравнения 1 есть дифференциальные уравнения Навье1 – Стокса2 движения вязкой жидкости, являющиеся математическим описанием полей...		Экзаменационные вопросы по математике для тп,МХ,ап-06-21. 1 Первообразная... ...
	Экспериментальное исследование энергетического баланса динамически... Уравнения 1 есть дифференциальные уравнения Навье1 – Стокса2 движения вязкой жидкости, являющиеся математическим описанием полей...		Секреторная функция поджелудочной железы кур при добавке к комбикорму... Уравнения 1 есть дифференциальные уравнения Навье1 – Стокса2 движения вязкой жидкости, являющиеся математическим описанием полей...
	Список научных и научно-методических работ Сагалаева Вадима Александровича... Уравнения 1 есть дифференциальные уравнения Навье1 – Стокса2 движения вязкой жидкости, являющиеся математическим описанием полей...		Материалы для проведения беседы по проблематике сквернословия главы... Уравнения 1 есть дифференциальные уравнения Навье1 – Стокса2 движения вязкой жидкости, являющиеся математическим описанием полей...