Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 0.9 Mb.
|
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный технический университет» ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Уравнения n-го порядка. Системы уравнений Методические указания Омск – 2005 Составители: Бояркин Геннадий Николаевич, к.ф.-м.н; Зобнин Александр Иванович, к.ф.-м.н.; Рассказова Марина Николаевна, к.ф.-м.н. Печатается по решению редакционно–издательского совета Омского государственного технического университета Содержание 1.Общие сведения о линейных дифференциальных уравнениях …….42.Линейные однородные уравнения n-го порядка…………………….. 83.Линейные неоднородные уравнения …………………………………164.Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами 195.Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 226.Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов …………………………………………………………………….. 237.Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные понятия и методы решений……..…………………………………….. 258.Системы линейных однородных уравнений…………………………..309.Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами…3110.Линейные неоднородные системы …………………………………….3311.Понятие устойчивости решений дифференциальных уравнений……34Приложение. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в прикладном пакете Mathad…………………………………….. 36Библиографический список……………………………………………..39 1. Общие сведения о линейных дифференциальных уравнениях n-го порядка Мы переходим к рассмотрению очень важного и наиболее теоретически разработанного раздела теории обыкновенных дифференциальных уравнений – теории линейных дифференциальных уравнений. В разделах первой части этот вопрос уже освещался. В частности, были затронуты линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Рассмотрим общую ситуацию. Линейным дифференциальным уравнением  -го порядка называется уравнение вида , (38)где функции называемые коэффициентами, непрерывны на некотором интервале причем Функцию принято называть правой частью уравнения, или свободным членом линейного уравнения. Иногда её тоже относят к коэффициентам, подразумевая при этом, что есть коэффициент при Разумеется, запись линейного уравнения (38) в форме, когда присутствует в левой части со знаком минус, также правомерна и тоже достаточно распространена в литературе.Другими словами, уравнение называется линейным, если функция линейно зависит от переменных Зависимость от может быть, как видим из определения, нелинейной.Так как по определению то линейное уравнение (38) после деления его на коэффициент при высшей производной превращается в линейное дифференциальное уравнение -го порядка в канонической форме: (39)где Если при то уравнение (39) называется линейным неоднородным уравнением. Если при то уравнение (39) называется линейным однородным. При этом уравнение (40)называется линейным однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (39). Линейное однородное уравнение всегда имеет своим решением которое называется тривиальным решением.Краткая запись линейного неоднородного уравнения (39) имеет вид где так называемый линейный дифференциальный оператор -го порядка определенный на множестве раз непрерывно дифференцируемых на функций. Переписав уравнение (39) в виде (41)и заметив, что функция непрерывна вместе с частными производными при и любых можно сделать вывод, что правая часть уравнения (39) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Более того, доказано, что для произвольной точки и произвольно выбранных начальных значений решение задачи Коши для уравнения (39) существует на всем интервале и оно единственно.Для общей математической эрудиции читателя отметим, что в последнем предложении речь идет о так называемой теореме существования и единственности в целом (на интервале), а в предшествующем ему предложении – о теореме существования и единственности в малом (в малой окрестности). Теорема «в целом» – более сильный результат, чем теорема «в малом», то есть доказать первую (в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и задач для них) удается гораздо реже, чем вторую. Над доказательством теорем существования и единственности для различных уравнений и задач для них работает большое количество математиков в разных странах мира. В прикладном отношении эти теоремы важны для обоснования тех или иных числовых расчетов на ЭВМ, порой очень сложных и заменяющих собой дорогостоящие эксперименты (в различных областях научных и технических исследований). Полностью обоснованными (с математической точки зрения) принято считать только такие числовые модели, для которых доказаны теоремы существования и единственности («в малом» или «в целом»), а также доказано (или дана некоторая оценка), что численное решение мало (в каком-то смысле) отличается от точного решения задачи, которое чаще всего для реальных задач найти не удается. Теория линейных дифференциальных уравнений, как уже говорилось, довольно-таки хорошо разработана. Помимо доказательств теоремы существования и единственности («в малом» или «в целом») созданы методы и алгоритмы построения точных решений уравнений и задач, обработка которых на ЭВМ уже не представляет принципиальных трудностей. Отметим два важных свойства линейных дифференциальных уравнений. Оба свойства касаются линейных преобразований искомой функции и независимого переменного, позволяющих не выходить за рамки класса линейных уравнений, методы решения которых, напомним, достаточно полно разработаны (о соответствующих пакетах программ для ЭВМ смотрите «Приложение» в конце пособия). По сути приводимые ниже линейные преобразования можно отнести к методам решения, ибо при этом результат, уже полученный для одного уравнения, может быть распространен на некоторые другие. Если говорить не только об обыкновенных дифференциальных уравнениях, но и об уравнениях с частными производными (а также задачах для них), то следует отметить, что преобразование зависимых и независимых переменных представляют собой очень эффективный метод решения (и исследования свойств) дифференциальных уравнений (и задач для них). Это целое направление в современной математике. Первое свойство заключается в том, что при замене независимой переменной уравнение остается линейным. При этом предполагается, что есть произвольная n раз непрерывно дифференцируемая функция, имеющая обратную на интервале, на котором рассматривается исходное уравнение. Также подразумевается, что Заметим, что при такой подстановке однородное линейное уравнение переходит снова в однородное. Второе свойство утверждает, что уравнение остается линейным при линейном преобразовании зависимого переменного по формуле Здесь новая искомая функция, и подразумевается, что функции и имеют непрерывные производные порядка до включительно, на рассматриваемом интервале.Оба свойства доказываются непосредственным вычислением всех производных искомой функции в терминах новых переменных и подстановкой результатов вычислений в уравнение. Уместно отметить, что при втором преобразовании производная -го порядка от по выражается через первых производных от по линейно (но неоднородно), поэтому линейность уравнения не нарушается. 2. Линейные однородные уравнения -го порядкаЛинейное однородное уравнение -го порядка (в канонической форме) (40) имеет видгде функции непрерывны на интервале Приведем (без доказательства) основные свойства решений этого уравнения.1. Если решения уравнения (40), то и любая их линейная комбинация где является решением уравнения (40).2. Если линейное однородное уравнение (40) с действительными коэффициентами имеет комплексное решение то функции каждая по отдельности будут решениями уравнения (40). Линейная комбинация частных решений уравнения (40), где – порядок уравнения, содержит произвольных констант. Вопрос о том, будет ли эта комбинация общим решением уравнения (40), разрешается в связи с понятием линейной зависимости системы (набора) функций.Функции называются линейно зависимыми на множестве , если существуют постоянные такие, что (42)причем Если же тождество (42) имеет место только при то функции называются линейно независимыми на I. |
Добавить документ в свой блог или на сайт
