Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 0.9 Mb.
|
Уравнение Эйлера где не является уравнением с постоянными коэффициентами, но заменой независимой переменной оно сводится к таковому.
где преобразуется с помощью подстановки
рассматриваемое на промежутке заменой сводится к уравнению
при значении параметра с помощью замены искомой функции сводится к уравнению с постоянными коэффициентами и интегрируется в элементарных функциях. Достаточно в качестве новой искомой функции взять Тогда, выразив отсюда в терминах новой зависимой переменной подставив в исходное уравнение, получим (после упрощения) уравнение
с помощью замены искомой функции приводится к уравнению в котором коэффициент Если то имеем уравнение с постоянными коэффициентами. Если окажется, что то уравнение будет уравнением Лагранжа. 5. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами После того, как в предшествующих разделах нами рассмотрены линейные неоднородные уравнения и линейные однородные с постоянными коэффициентами, об уравнениях линейных неоднородных с постоянными коэффициентами (62) где непрерывная на функция, остается сказать совсем немного. Так как фундаментальную систему решений линейного уравнения с постоянными коэффициентами всегда можно построить, то для нахождения общего интеграла линейного неоднородного уравнения (62) достаточно найти одно частное решение последнего. Это тоже всегда можно сделать, используя или метод Лагранжа вариации произвольных постоянных, или метод Коши. Таким образом, решение уравнения (62) может быть найдено в квадратурах. Интегрирование уравнения (62) ещё более упрощается и сводится только к алгебраическим операциям (без квадратур) в некоторых частных случаях, когда правая часть линейно неоднородного уравнения имеет специальный вид. Рассмотрим несколько таких ситуаций.
(63) многочлен степени комплексная (или действительная) постоянная, называемая контрольным числом правой части (63). Пусть, кроме того, контрольное число является корнем характеристического уравнения оператора кратности Тогда функция (64) где многочлен степени будет частным решением уравнения (62). Коэффициенты полинома могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов. Отметим, что частное решение вида (64) однозначно, т. е. оно единственно среди решений такого вида. Если число то говорят, что имеет место резонансный случай, если ( не является корнем характеристического уравнения), то нерезонансный. 2. Пусть теперь правая часть уравнения (62) имеет вид (65) действительные постоянные, полиномы соответственно степени и с действительными коэффициентами. В этом случае частное решение уравнения (62) с правой частью (64) может быть построено в виде где многочлены степени коэффициенты которых могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов, кратность контрольного числа правой части как корня характеристического уравнения оператора Случай называют, как и выше, резонансным, нерезонансным.
(66) поэтому частное решение можно найти тоже в виде тригонометрического ряда с неопределенными коэффициентами (67) В формулах (66) и (67) для простоты мы положили период Также для простоты и наглядности дальнейшие формулы приведём для уравнения второго порядка в левую часть которого (см. п.5 предыдущего раздела) не входит первая производная искомой функции. Сделанные упрощения не ограничивают общности метода. После сделанных упрощений уравнение (62) примет вид (68) После подстановки ряда (69) в уравнение (68) с учетом (66), приравнивая коэффициенты соответствующих гармоник и свободные члены (выражение называется -й гармоникой), получим формальное решение в виде ряда (69) Полученное решение существует при и представляет собой сходящийся ряд (в силу свойств ряда Фурье (66) функции ). Случай (резонансный случай) следует рассматривать особо. 6. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов Решение дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами далеко не всегда удается свести к квадратурам. В таких случаях часто эффективным оказывается метод интегрирования уравнений, основанный на представлении решения в виде степенного ряда. Рассмотрим этот метод применительно к однородному уравнению второго порядка: (70) Будем предполагать, что его коэффициенты есть аналитические функции на интервале т. е. представимы в виде степенных рядов (71) сходящихся при Тогда, оказывается, что решение уравнения (70) будет тоже аналитической функцией на том же интервале, т. е. представимо в виде ряда (72) сходящегося при Подстановка решения (72) в уравнение (70) и приравнивание к нулю коэффициентов при степенях даёт рекуррентную систему уравнений для определения коэффициентов (73) Два первых коэффициента можно задавать произвольно. Нулевые значения соответствуют тривиальному решению Если же для уравнения (70) нужно решить задачу Коши с начальными данными то из первого уравнения системы (73) определяется коэффициент из второго и т. д. 14. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные понятия и методы решения Если система дифференциальных уравнений, связывающая независимую переменную и функций разрешена относительно старших производных этих функций т. е. имеет вид (74) то она называется канонической. При этом число называется порядком системы. Каноническая система (74) при т. е. система дифференциальных уравнений первого порядка называется нормальной системой: (75) Решением системы (75) на интервале называется совокупность функций непрерывно дифференцируемых на I и обра-щающих уравнения системы (75) в тождества относительно Интегралом системы (75) на интервале I называется функция определенная и непрерывная вместе с частными производными в некоторой области переменных и принимающая при любых постоянное значение при подстановке в неё произвольного решения системы. Равенство где интеграл нормальной системы, произвольная постоянная, называется первым интегралом системы (75). Задача Коши для системы (75) формулируется следующим образом: найти решение системы (75), удовлетворяющее начальным данным (76) где заданные числа. Приведём (без доказательства) теорему о существовании и единственности решения задачи Коши. Теорема. Пусть правые части нормальной системы (75) определены в мерной области изменения переменных Если в некоторой окрестности точки функции непрерывны и имеют непрерывные производные то существует интервал изменения переменной в котором решение системы (75), удовлетворяющее начальным данным (76), существует, и оно единственно. Общим решением системы (75) называется совокупность функций (77) зависящая от произвольных постоянных и при любых допустимых значениях постоянных обращающая уравнения системы (75) в тождества, и при этом в области, в которой выполнены условия теоремы существования и единственности, из семейства решений (77) можно получить решение задачи Коши с любыми начальными данными. Основными методами решения нормальной системы являются метод исключения и метод выделения интегрируемых комбинаций. Первый из них позволяет свести систему уравнений вида (75) к одному дифференциальному уравнению n-го порядка. Поясним это на примере. Пример 29 . Найти общее решение системы дифференциальных уравнений Решение. Найдем из первого уравнения, После дифференцирования левой и правой частей последнего равенства подставив выражения и через во второе уравнение системы, получим дифференциальное уравнение второго порядка: Общее решение этого однородного дифференциального уравнения будет Отсюда сразу находим Таким образом, при любых постоянных система функций является решением исходной системы примера. Пример 30. Найти решение системы удовлетворяющее начальным данным Решение 1. Сначала, применяя метод исключения, приведем систему уравнений задачи Коши к одному уравнению. Дифференцирование первого уравнения даёт Подставив сюда выражение для из системы, получим, Из первого уравнения системы можно выразить функцию через Тогда или Это неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, к которому в результате применения метода исключения свелась система уравнений задачи. 2. Решение последнего предполагает сначала, как нам уже известно, отыскание общего решения соответствующего однородного уравнения Его характеристическим уравнением будет уравнение которое имеет один корень кратности два. Следовательно, Частное решение неоднородного уравнения найдем методом неопределен-ных коэффициентов. Пусть тогда Подстановка в уравнение дает и, следовательно, Окончательно находим общее решение неоднородного уравнения 3. Теперь уже можем найти общее решение системы. Для этого осталось найти функцию которая будет следующей Таким образом, решением системы будет пара функций которые, напомним, являются двупараметрическим семейством.
условия задачи: Решением исходной задачи Коши будет пара функций Важно отметить, что методом исключения к одному уравнению сводится не всякая система. В качестве примера, когда это не так, можно привести следующую систему двух уравнений: Если в ней выражение для из первого уравнения подставить во второе, то получим два не связанных между собой уравнения, каждое из которых содержит только по одной неизвестной функции: и Оба уравнения есть уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, и их решениями соответственно будут функции Другим методом интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений является метод выделения интегрируемых комбинаций. Он зак-лючается в получении из системы (75) такого уравнения, которое можно было бы проинтегрировать и получить первый интеграл системы. Если таким способом будут найдены независимых первых интегралов системы (75), то их совокупность даст общий интеграл системы. К сожалению, ограниченный объем данного пособия не позволяет изложить метод подробнее, поэтому мы ограничимся только приведенным выше указанием его идеи. Для лучшего уяснения понятия систем дифференциальных уравнений и задач для них дадим физическую интерпретацию нормальной системы. Для простоты ограничимся рассмотрением системы из двух уравнений. Будем считать, что независимая переменная t есть время: (78) Решение системы (78) есть некоторая кривая в плос-кости Oxy декартовой прямоугольной системы координат. Плоскость Оху называется фазовой плоскостью, (или пространством, если порядок системы ), а кривая фазовой траекторией системы (78). Системы вида (78) в механике принято называть динамическими системами. Сама система определяет поле скоростей движущейся точки в плоскости в любой момент времени t. Её решение суть уравнения движения точки, они определяют положение точки при произвольном значении t. Начальные условия (задачи Коши для динамической системы (78)) задают положение точки в начальный момент: Уравнения движения определяют также траекторию движения, будучи уравнениями этой кривой в параметрической форме. В заключение отметим, что нормальная система координат (75) может быть записана ещё в так называемой симметричной форме. Если уравнения системы (75) записать в виде то следующие отсюда равенства (79) принято называть симметричной формой нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Термин «симметричная» объясняется тем, что в систему (79) независимые и зависимые переменные входят равноправно и, следовательно, могут быть обозначены одной буквой с индексом. Например, можно обозначить х через Кроме того, знаменатели в (79) можно умножить на любую функцию тех же переменных, отличную от нуля в области их изменения. Если, наконец, обозначить через то мы приходим к более распространенному в литературе виду симметричной формы нормальной системы: (80) Вид (80) бывает более удобен, чем (75) при решении системы методом выделения интегрируемых комбинаций. При решении систем в симметричной форме, к которой применимы те же методы, что и к системе (75), бывает полезно использовать свойство равных дробей: если есть равные дроби и произвольные числа то |
