Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 0.9 Mb.
|
8. Системы линейных однородных уравнений Структура теории систем линейных уравнений во многом аналогична таковой для одного уравнения. Идя в той же последовательности, мы сначала рассмотрим системы линейных однородных уравнений. Системой однородных линейных дифференциальных уравнений называется система уравнений (81) где квадратная матрица размером составленная из коэффициентов являющихся непрерывными функциями на интервале Неизвестные функции и их производные образуют матрицы-столбцы размером Линейная система однородных уравнений (или матричное уравнение) (81) и её решение обладают рядом замечательных свойств, которые перечислим без доказательства. Будем наряду с термином «система уравнений» говорить просто «уравнение», подразумевая при этом матричную форму записи системы уравнений. 1. Множество всех решений системы (81), определенных на является линейным пространством. 2. Любое из решений можно продолжить на весь интервал 3. Линейное пространство изоморфно фазовому пространству этой системы. Фундаментальной системой решений линейной однородной системы уравнений называется базис линейного пространства решений т. е. линейно независимых решений этой системы. Матрицу столбцами которой являются решения, образующие фундаментальную систему решений, называют фундаментальной матрицей.
5. Любое решение уравнения (81) является линейной комбинацией решений фундаментальной системы решений. 6. Любые решений уравнения (81) линейно зависимы. Заметим, что свойства 4, 5, 6 являются следствием более сильного утверждения (свойства) 1. Определителем Вронского системы вектор-функций называется определитель матрицы, столбами которой являются элементы этой системы: 7. Система решений уравнения (81) будет фундаментальной тогда и только тогда, когда её определитель Вронского отличен от нуля в какой-нибудь точке Если вронскиан обращается в нуль в одной точке интервала, то он тождественно равен нулю на всем интервале. 8. Для определителя Вронского системы решений уравнения (81) имеет место формула Лиувилля-Остроградского: где след матрицы 9. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами Если в системе (81) элементы матрицы А коэффициентов не зависят от то такая система называется линейной однородной системой с постоянными коэффициентами. Она имеет вид (82) где числовая квадратная матрица размером матрицы-столбцы размером Разумеется, всё, что сказано о системах уравнений выше, справедливо и для системы (82). Вместе с тем существуют эффективные методы решения, применимые только к линейным однородным системам уравнений с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера заключается в представлении решения системы (82) в виде (83) где и n-мерные векторы, скалярная величина. Оказывается, что представление (83) будет решением системы (82), если собственное значение матрицы а вектор её собственный вектор, соответствующий числу При этом, если все корни характеристического уравнения имеют кратность, равную единице ( единичная матрица размером ), и соответствующие собственные векторы этой матрицы, то общее решение системы (82) будет где произвольные числа. Если кратность какого-нибудь собственного числа превышает единицу, то возможны два случая. Первый – когда число линейно независимых собственных векторов совпадает с кратностью собственного числа. В этом случае данному собственному числу соответствует линейно независимых решений исходной системы: Второй случай – когда собственному числу кратности соответствует линейно независимых векторов и при этом Тогда решения системы, соответствующие числу , следует искать в виде (84) Чтобы найти векторы нужно подставить представление (84) в исходную систему (82). Приравнивая коэффициенты подобных членов в левой и правой частях, получим алгебраические уравнения для определения векторов Если среди собственных чисел матрицы окажется комплексное число , то построенное описанным выше методом решение будет тоже, вообще говоря, комплексным. Взяв его действительную и мнимую части (для действительной матрицы ), получим два линейно независимых (действительных) решения, соответствующие этому собственному числу. Другой метод решения линейных однородных систем, который мы здесь рассмотрим, основан на понятии функции экспоненты матрицы. Экспонентой матрицы называется сумма ряда (85) где единичная матрица. Матричная экспонента обладает следующими свойствами. 1. Если произведение двух матриц и коммутативно, т. е. то 2. Если где жорданова матрица, то Оказывается, что матрица является решением матричной задачи Коши: т. е. фундаментальной матрицей системы (82). Из второго свойства следует, что решение системы (82), удовлетворяющее условию определяется выражением Это значит, что построение решений системы уравнений (82) сводится к задаче построения матрицы по матрице коэффициентов системы. Для вычисления матрицы используется представление матрицы в виде где жорданова форма матрицы Тогда Жорданова клетка представима в виде где Поэтому Матрица находится с помощью ряда (85). Если это размер матрицы Жордана то и, следовательно в (85) отличными от нуля будут только первые членов. 10. Линейные неоднородные системы Линейной неоднородной системой называется система (86) где n-мерные векторы, квадратная матрица размером коэффициентов. Самым распространенным методом решения линейной неоднородной системы (86) является знакомый нам уже метод вариации произвольных постоянных, если только уже построено решение соответствующей однородной системы: (87) Решение однородной системы (87) имеет вид (88) где фундаментальная матрица системы (87), произвольный постоянный n-мерный вектор. Частное решение неоднородной системы (86) можно искать, по аналогии с теорией для одного уравнения, в виде Компоненты вектора являются решением системы уравнений Общее решение неоднородной системы (86) будет представлять собой сумму общего решения однородной системы (87) и частного решения неоднородной системы (87). Другой метод решения систем линейных неоднородных уравнений – это знакомый нам уже метод интегрируемых комбинаций, позволяющий приводить систему к одному уравнению более высокого порядка. Для линейных неоднородных систем с постоянными коэффициентами, т. е. систем (87), в которых матрица не зависит от в ряде случаев частное решение удаётся найти методом неопределенных коэффициентов. Такие случаи определяются видом функций Не излагая здесь этот вопрос подробно, отметим лишь, что функции могут состоять из сумм и произведений полиномов экспонент и тригонометрических функций Тогда частное решение ищется в виде тех же комбинаций с неопределенными коэффициентами, которые находятся путём подстановки решения в систему и приравнивания коэффициентов при подобных членах. 11. Понятие устойчивости решений дифференциальных уравнений Применение математики к исследованиям в различных областях знаний зачастую сводится к тому, что модель того или иного явления описывается системой дифференциальных уравнений (не обязательно обыкновенных). При этом требуется, чтобы интересующее исследователя решение удовлетворяло дополнительным условиям (начальным данным, краевым условиям, условиям затухания, условиям на разрыве решения и т. д.). В этом случае мы имеем дело, как уже говорилось, с задачей для дифференциального уравнения (или системы). Даже в тех редких ситуациях, когда удаётся найти точное решение задачи (системы или уравнения), важное значение имеет качественный анализ решений. Один из вопросов качественного анализа наряду с вопросами, например, существования и единственности решения – это исследование решений на устойчивость. Последнее приобрело особое значение в связи с бурным развитием ЭВМ и вычислительных методов, что позволило строить приближенные решения таких задач, которые в первой половине прошлого столетия казались недоступными. Кратко рассмотрим понятие устойчивости на примере нормальной системы дифференциальных уравнений: (89) в которой все непрерывны при Решение системы (89) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого существует такое что для всякого решения той же системы, начальное значение которого удовлетворяет неравенству (90) при всех выполняется неравенство Если же для некоторого такого не существует, то решение называется неустойчивым. Решение называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и, кроме того, все решения с достаточно близкими начальными условиями неограниченно приближаются к при т. е. если из неравенства (90) следует, что при Вопрос об устойчивости данного решения системы (89) сводится к вопросу об устойчивости нулевого решения другой системы, получаемой из (89) заменой искомой функции по формуле Приведем не- которые из критериев устойчивости. 1. Часто (но не всегда!) вопрос устойчивости решения системы (89) удаётся исследовать с помощью первого приближения, которое строится путём выделения линейной части функций вблизи точки Тогда вопрос об устойчивости решения можно решить с помощью следующей теоремы. Теорема Ляпунова. Пусть дана система (91) в которой постоянные, бесконечно малые порядка выше первого, точнее, при при (92) где Если все собственные значения матрицы имеют отрицательные вещественные части, то нулевое решение системы (91) асимптотически устойчиво. Если вещественная часть хоть одного собственного числа положительна, то нулевое решение неустойчиво.
Производной от функции в силу системы (89) называется функция где правые части системы (89). Теорема Ляпунова. Если существует дифференцируемая функция удовлетворяющая в области условиям 1) 2) то нулевое решение системы (89) устойчиво по Ляпунову. Если вместо условия 2 выполнено более сильное условие 3) а функция непрерывна при то нулевое решение системы (89) асимптотически устойчиво. Фигурирующая в этой теореме функция v называется функцией Ляпунова. Если решение системы (89) неизвестно, то общего метода построения функции Ляпунова не существует. Заметим, что в ряде случаев функцию Ляпунова удается построить в виде квадратичной формы или в виде суммы квадратичной формы и интегралов от нелинейных функций, входящих в правую часть этой системы. В заключение отметим, что различных критериев устойчивости (неустойчивости) существует достаточно много, однако ограниченный объем пособия не позволяет рассмотреть важный в теории дифференциальных уравнений вопрос устойчивости подробнее. Приложение Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в прикладном пакете Mathcad 2 000 В настоящее время разработано и используется в учебных и прикладных целях несколько математических систем: Derive, Mathcad, Matlab, Mathematica, Maple. Каждая имеет свои преимущества и недостатки. Mathcad ориентирована и создавалась для численного решения математических задач. Запись задачи в рабочей области листа Mathcad выглядит почти также, как если бы Вы решали задачу на обычном листе без компьютера. Windows-стандарты, которыми студент уже успел овладеть, работая в приложениях Office, остаются прежними. Вызов меню, панелей инструментов, работа с окнами, сохранение, создание и редактирование документов делается привычным образом с помощью знакомых команд известных меню Файл, Вид, Правка и т. д. Мы не ставим задачу познакомить читателя со всеми возможностями пакета, а укажем функции Mathcad, позволяющие решать дифференциальные уравнения и системы дифференциальных равнений. Существуют различные версии системы, одна из последних версий Mathcad 2 000 русифицирована. Новости разработчиков, примеры решения различных задач, в том числе прикладных, а также электронные обучающие уроки можно найти на сайте www.exponenta.ru . Обратим внимание читателя, что любой документ в Mathcad состоит из отдельных блоков различного типа: тексты (комментарии к задаче) – текстовая область, формулы – формульный редактор, графики – математическая область, таблицы. Расположение блоков имеет принципиальное значение, они выполняются слева направо и сверху вниз. При этом текстовый курсор в каждой области имеет свои очертания. Нужно обратить внимание, что существуют разные типы и области действия переменных. Принцип передачи данных сквозной – от одного объекта к другому: от математических выражений к таблицам, от них – к графикам, при этом изменение начальных значений ведет к перерасчету всей цепочки в задаче. Не вдаваясь в подробное описание системы, перейдем собственно к предмету. В Mathcad разнообразные встроенные функции классифицированы, выбор осуществляется с помощью диалогового окна Insert Function (Вставить функцию), вызываемого командой Function (Функция) из раздела меню Insert (Вставка). Для решения дифференциальных уравнений Mathcad предоставляет пользователю библиотеку встроенных функций из категории Differential Equation Solving, предназначенных для численного решения дифференциальных уравнений. Для вставки шаблона функции необходимо выбрать нужную функцию из категории, шаблон которой появится в том месте, где находился курсор. После этого шаблон требует заполнения, ввода необходимых аргументов функции. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными можно решить или проверить собственное решение с помощью обычного символьного интегрирования, используя команду Integrate подпункта Variable меню Simbolics. |
